Giáo trình Đại học Ngoại Thương

Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNGTS PHÙNG DUY QUANGTOÁN CAO CẤPỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCHKINH TẾNhà xuấ t bản Đa ̣i ho ̣c Sư pha ̣m Hà nô ̣i, 20161LỜI NÓI ĐẦUCuố n sách “Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế ” được biên soạn tươngứng chương trình Toán cao cấp trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chínhNgân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đạihọc Ngoại thương Hà nội. Ngoài ra cuốn sách còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho sinhviên các trường đại học có học Toán cơ sở cũng như các học viên chuẩn bị các kiến thứcToán cao cấp cho việc ôn thi đầu vào hệ Sau đại học các trường Đại học Kinh tế quốcdân Hà nội, Đại học Ngoại thương Hà nội.Với mục đích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của toán học cao cấptrang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của toán họccao cấp khi tiếp cận các bài tập. Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập toáncao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, bộsách này được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốtmôn Toán cao cấp. Với mục đích đó ngoài các khái niệm toán học, chúng tôi cố gắngtrình bày các kết quả toán học, và ý nghĩa của các định lý để người đọc hiểu và vận dụngkết quả đó vào trong giải bài tập toán cao cấp. Bên cạnh đó sách cũng mạnh dạn đưa vàokhối lượng tương đối lớn các ví dụ cùng với các phương pháp giải toán, kết với các ví dụáp dụng toán cơ sở trong các bài toán kinh tế để người đọc thấy được mạch ứng dụng củatoán học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế.Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuố n sách được kếtcấu như sau:Chương 1. Ma trận và định thứcChương 2. Không gian véc tơChương 3. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụngChương 4. Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số và ứng dụngChương 5. Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng2Cuố n sách lầ n đầ u tiên ra mắ t ba ̣n đo ̣c nên không thể tránh các sai sót. Mo ̣i góp ý xingửi về TS Phùng Duy Quang, Trưởng Khoa Cơ bản, Trường Đa ̣i ho ̣c Ngoa ̣i thương, điạchỉ email: quang hoă ̣c ân tro ̣ng giới thiê ̣u cùng ba ̣n đo ̣c.Hà nội, ngày 04 tháng 12 năm 2015Chủ biênTS Phùng Duy QuangTrưởng bô ̣ môn Toán, Trưởng Khoa Cơ bảnTrường Đa ̣i ho ̣c Ngoa ̣i thương3MỤC LỤCChương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC .......................................................................................5§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận ................................................................................... 5§2. Định thức của ma trận vuông .............................................................................................. 12§3. Ma trận nghịch đảo ............................................................................................................. 23§4. Hạng của ma trận ................................................................................................................ 29CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉCTƠ .........................................................................................34§1. Khái niệm về không gian véc tơ ......................................................................................... 34§2. Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ ............................................................................... 37§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ .............................................. 42§4. Không gian vectơ con ......................................................................................................... 50§5. Không gian Euclide thực .................................................................................................... 54Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG ...........................................57§1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính ................................................................................ 57§2. Phương pháp giải hệ phương trình ...................................................................................... 61§3. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế ............................................................. 70Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG .......84§1. Hàm một biến số ................................................................................................................. 84§ 2. Giới hạn của dãy số ............................................................................................................ 89§ 3. Giới hạn của hàm số .......................................................................................................... 96§4. Hàm số một biến số liên tục.............................................................................................. 100§5. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến số ................................................................................... 102§6. Ứng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế....................................................................... 108§7. Tích phân hàm một biến số ............................................................................................... 115§8. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế ..................................................................... 142Chương 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG .........................145§ 1. Giới hạn và liên tục .......................................................................................................... 145§2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến ................................................................. 153§3. Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế ....................................................... 159§4. Cực trị hàm nhiều biến ...................................................................................................... 169§ 5. Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế ............................................... 177TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 1884Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận1. Các khái niệmCho m, n là các số nguyên dươngĐịnh nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có mdòng và n cột được gọi là ma trận cấp m  n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bêntrong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông. Ma trận cấp m  n có dạng tổng quát như sau: a 11 a 21 ...a m1a 12a 22...a m2... a 1n  a 11a... a 2 n hoặc  21 ...... ...... a mn a m1a 12a 22...a m2... a 1n ... a 2 n ... ... ... a mn Viết tắt là A = [aij]n xn hoặc A = [aij]n xn2 5  7  . A là một ma trận cấp 2 x 3 với6 7 1 Ví dụ 1. Cho ma trận A  a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1Định nghĩa 2.• Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ởvị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau.• Ma trận chuyển vị của A là AT : AT = [aji]n xn• Ma trận đối của ma trận A là ma trận – A = [- aij]n x n1  3Ví dụ 2. Cho ma trận A  4  1 . Xác định AT, - A2 0 Giải :  1 34 21Ta có A   ;  A   4 1310 2 0T• Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 :   [0]m x nVí dụ 3. Các ma trận không cấp 2x2 và 2x3 là0 00 0 02 x 2  ; 2 x 3 0 0 00 05• Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trậnA là ma trận dòng. a 11 Ví dụ 4. Ma trận cột A   ...  , ma trận dòng là A  a 11 ... a m1  . a n1 • Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một matrận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phầntừ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a n1, a n 12 ,… , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ.Ví dụ 5. Cho các ma trận vuông cấp 1, cấp 2, cấp 3 là1 2 3  1 3A  1; B  ; B   2  1 4 4 11 1 3• Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đườngchéo chính bằng 0.+] Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với i > j:a 11 a 120 a22A   ... ...00 00...a 1n 1......a 2 n 1...... a n 1 n 1...0a 1n a 2 n ... a n 1 n a nn +] Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với i < j: a 11a 21A   ...a n 11 a n10...0a 22.........0...a n 1 2a n2... a n 1 n 1... a n n 10 0 ... 0 a nn Ví dụ 6. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp3.Giải:1 2  51 2  51 0 0A  2  1 4  ; B  0 1 4  ; C  2  1 01 10 0 6 1 1 66 6• Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng 0• Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọilà ma trận đơn vị cấp n:10E n  ...0 001...00...............00...1000 ...01 • Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n[R]• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n[R]6 22 5  7 Ví dụ 7. Cho ma trận A  và B   57 6 7 1  7 m 2 a] Tìm AT và – Ab] Tìm m để AT = BGiải: 2 6 2  5 7 a] Ta có A   5 7 và A   6  7  1 7 1T6  2 6  2b] A  B   5 7   57   m 2  1  m  1 7 1  7 m 2 T2. Phép toán trên ma trậna] Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 sốĐịnh nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m  n: A  a ij mn ; B  b ij mnTổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m  n, kí hiệu A + B và được xác địnhnhư sau: A  B  a ij  b ii mnTích của ma trận A với một số  là một ma trận cấp m  n, kí hiệu  A và được xácđịnh như sau: A  .a ij mnHiệu của A trừ B: A – B = A + [-B]Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính7Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m  n,  ;  là các số bất kì ta luôncó:1] A + B = B + A2] [A + B] +C = A + [B + C]3] A + 0 = A4] A + [-A] = 05] 1.A = A6]  [A + B] =  A +  B7] [  +  ]A =  A +  A8] [   ]A =  [  B]1  2 4  2 1  2;B   . Khi đó0 1  12 1 3 Ví dụ 8. Cho các ma trận A  1  2 4 2 1  2  4  7 14 2A  3B  2. [3].0 1  12 1 3   6  1  111 3Ví dụ 9. Cho ma trận B   . Tìm ma trận C sao cho 3B – 2[B + C] = 2E5 3Giải:121 1 3 1 0  1 / 2 3 / 22 5 3 0 1  5 / 2 1 / 2 Phương trình đã cho  C  B  E  .b] Phép nhân ma trận với ma trậnCho hai ma trận : a 11aA =  21 ...a m1a 12a 22...a m2... a 1n ... a 2 n ;... ... ... a mn  b11b21B=  ...b n1b12b 22...bn2... b1p ... b 2 p ... ... ... b np Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B.Định nghĩa 4.Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m  p, kí hiệu là AB và được xácđịnh như sau:8 c11cAB =  21 ...c m1c12c 22...c m2... c1n ... c 2 n ... ... ... c mn ntrong đó c ij  a i1 b1 j  a i 2 b 2 j  ...  a in b nj   a ik b kj ; i  1,2,..., m; j  1,2,..., p k 1Chú ý 1.• Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của matrận đứng sau.• Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trướcvà số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.• Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij là tích vô hướng của dòngthứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.0 1 4 1 2và B   . Tính A.B và B.A1 3 23 1Ví dụ 10. Cho hai ma trận A  Giải :1 2 0 1 4 1.0  2.1 1.1  2.3 1.4  2.2 2 7 8 .3 1 1 3 2 3.0  1.1 3.1  1.3 3.4  1.2 1 6 14Ta có A.B  Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA.1 2 3  1 2  1 0Ví dụ 11. Cho ma trận A  ; B  2  1 1 0  . Tính A.B, BA  3 2 03 0 2 1 Giải:1 2 3  17  1 2  1 0 3 5Ta có A.B  .2  1 1 0    3 2 0 3 0 2 1  1  8  7 3 Còn B.A không tồn tạiCác tính chất cơ bản của phép nhân ma trậnTính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được.1] [AB]C = A[BC]2] A[B+C] = AB+AC; [B+C]D =BD +CD3]  [AB] = [  A]B = A[  B]94] AE = A;EB =BĐặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A5]  AB   BT A TTChú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu A.B   thì chưa chắcA   hoặc B   .0 1 0 0 ;B  .0 0 1 0Ví dụ 12. Cho các ma trận A  1 00 0 ; B.A   và AB  BA0 0 0 1 Khi đó A.B  1 01 0 0 0 0 00 0 ;B, ta có A.B  .0 0 0 0  0 1  0 0 0 1 Ví dụ 13. Cho A  c] Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác địnhA0 = E; An = An -1. A [ n là số nguyên dương]a b  . Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trìnhc d Ví dụ 14. Cho A  X 2  [a  d]X  [ad  bc]  Giải:a b a ba b1 0. [a  d]. [ad  bc].c d  c d c d 0 1Ta có A 2  [a  d]A  [ad  bc]E  0  0 0 a 2  bc [a  d]b a [a  d] b[a  d] ad  bc  . [đpcm]2 ad  bc 0 0[a  d]c bc  d  c[a  d] d[a  d]  0= 1 123n . Tính A , A , ..., A [n là số tự nhiên]01Ví dụ 15. Cho ma trận A  Giải:1 1 1 1 1 21 2 1 1 1 3; A3   ; .... ; tương tự ta có thể dự0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1Ta có A 2  1 n đoán A n  .0 1 Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức An.Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi códạngi] đổi chỗ 2 dòng [cột] cho nhau: d i  d j [c i  c j ]10ii] nhân một dòng [cột] với một số khác 0: kd i [kc i ]iii] nhân một dòng [cột] với một số rồi cộng vào dòng [cột] khác: hd i  d j [hc i  c j ]1  2 4 6Ví dụ 16. Cho ma trận A  2 1  2 5 . Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau:1  1 2 4[1] nhân dòng 2 với 2[2] hoán vị dòng 1 cho dòng 2[3] nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3Giải:61  2 4 61  2 4Phép biến đổi [1]: A  2 1  2 5  4 2  4 201  1 2 41  1 24 1  2 4 6 2 1  2 5Phép biến đổi [2]: A  2 1  2 5  1  2 4 61  1 2 41  1 2 461  2 4 6 1 2 4Phép biến đổi [3]: A  2 1  2 5   21  2 5 1  1 2 4 3  3 6  6Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chấti] Các dòng khác không [tức là có một phần tử khác 0] nếu có thì luôn ở trên các dòngbằng không [tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0].ii] Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bênphải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên.Ví dụ 17. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang10A001 51 10 00 06 81  10 13 5; B0 02  50 00 032204 71  1 28  1; C  0 2 1 .1  10 0 00 111§2. Định thức của ma trận vuông1. Khái niệm định thức a 11 a 12aaCho ma trận A =  21 22 ... ...a n 1 a n 2... a 1n ... a 2 n . Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A... ... ... a nn ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij [i,j= 1, 2, 3, ..., n]. a 11 a 12Ví dụ 1. A  a 21 a 22a 31 a 32a 13 a 23  . Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của Aa 33 Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A làaM11   22a 32a 23 a 23 a 22 aa; M12   21; M13   21a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 aM 21   12a 32a 13 a 13 a 12 aa; M 22   11; M 23   11a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 aM 31   12a 22a 13 a 13 a 12 aa; M 32   11; M 33   11a 23 a 21 a 22 a 21 a 23  a 11 a 12aaĐịnh nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A =  21 22 ... ...a n 1 a n 2... a 1n ... a 2 n .... ... ... a nn Định thức của A, ký hiệu det[A] hoặc A được định nghĩa như sau:* Định thức cấp 1: A = [a11] thì det[A] = a11aa a 11 a 12 thì det[ A]  11 12  a 11a 22  a 12 a 21a 21 a 22a 21 a 22 * Định thức cấp 2: A  Ví dụ 2. Tính định thức D Giải: Ta có D 162 141 6 1.14  6.2  2 .2 14Ví dụ 3. Giải phương trình:x29250412x2Giải: Ta có925 4x 2  25.9 .4Do đó PT  4x 2  25.9  0  x 2 25.9 15x.42* Định thức cấp 3:a 11 a 12det A  a 21 a 22a 31 a 32a 13a 23  a 11.a 22 .a 33  a 12 .a 23 .a 31  a 13 .a 21.a 32  a 13 .a 22 .a 31  a 12 .a 21.a 33  a 11.a 23 .a 32a 33Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử màmỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chínhhoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song vớiđường chéo chính.* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặccác phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đườngchéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”sau:•••••••••••••Dấu +•••Dấu ••Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứnhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéonhư quy tắc thể hiện trên hình:a1a2a3b1b2b3Dấu -c1c2c3a1a2a3b1b2b3Dấu +13a1a2a3b1b2b3c1c2c3a1a2b1b2c1 Dấu +c2Dấu -1 2 3Ví dụ 4.Tính định thức  3  2 0 12 2 1Giải: Ta có  3  1.0.1 + 2.[-2].1 + 3.2.[-2] – 3.0.2 – 1.[-2].2] – 1.1.[-2] = -10.x2Ví dụ 5. Giải phương trình 14x 11 102 1Giải:x2Ta có 14x 1x  11 1  x 2  3x  2 . Do đó PT  x 2  3x  2  0  .x22 1• Định thức cấp n [n  3 ]:+] Khai triển định thức theo dòng i:det[A] =nnj1j 1 a ij [1]i j det[Mij ]   a ij [1] i  j D ij với Dij  det[M ij ] .+] Khai triển định thức theo cột jndet[A] =ai 1ni jdet[M ij ]   a ij [1] i  j D ijij [ 1]i 11 2 3Ví dụ 6. Khai triển định thức sau :    1 2 41 1 5Giải: Khai triển định thức theo dòng 1 ta có  1.[1]11 .2 41 41 2 2.[1]1 2 . 3.[1]1 3 .1 51 51 1= 1. 6 – 2. [-9] + 3. [-3] = 15.2011 02010 x 2Ví dụ 7. Giải phương trình :2009 12008 42011 02010 x 2Giải: Đặt  4 2009 12008 40x120x120101101. Khai triển định thức theo dòng 1:1114x2 4  2011.[1]11 . 14x 1x21 1  2011. 12 14x 11 1.2 1Dùng định nghĩa định thức cấp ba, thu đượcx  1. 4  2011[ x 2  3x  2] . Khi đó PT  x 2  3x  2  0  x  22. Tính chất của định thứcA =[aij]n x n với  n  det[ A]Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:ai1a i2 ....a ij ....a in    bi1 bi2 ....bij ....bin    ci1 ci2 ....cij ....cin  ;a ij  bij  cij [j  1, n]Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếunnk 1kk 1k ia ij    k a kj [j  1, n ] . Ký hiệu d i    k d k ; dk = [ak1 ak2 ... akn]Tính chất 1. [Tính chất chuyển vị]Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó:det[AT] = det[A]a b T . CMR det[A ] =det[A]cdVí dụ 1. Cho A  Giải: Ta có det[A] =a ca b ad  bc . Suy ra đpcm.= ad- bc và det[AT] =b dc dChú ý 1. Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũngđúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho cácdòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột".Tính chất 2. [Tính phản xứng].Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.Ví dụ 2. So sánh hai định thức: D ca bvà D' c dadbGiải: Ta có D = ad – bc và D’= bc- ad = -DHệ quả 1. Một định thức có hai dòng giống nhau thì bằng không.Chứng minhGọi định thức có hai dòng như nhau. Đổi chỗ hai dòng đó ta được, theo tính chất 2 ta có15 n = -  n  2 n  0   n  0Ví dụ 3.a b 0.a bTính chất 3. [Tính thuần nhất]. Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một sốk thì được định thức mới bằng k lần định thức cũa 11...ka i1...a n1a 12...ka i 2...a n2... a 1na 11 a 12... ...... ...... ka in  k. a i1 a i 2... ...... ...a n1 a n 2... a nn...............a 1n...a in...a nnĐịnh lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưanhân tử chung ra ngoài dấu định thứcHệ quả 2. Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thứccó hai dòng giống nhau nên nó bằng không.12  2 6717  68 34  170Ví dụ 4. Chứng minh định thức sau chia hết cho 17:  4 211467119Giải:1226712  2 6717.1 17.[4] 17.2 17.[10]1  4 2  10Ta có  4  17. 17.D .21142 1 1 4671196 7 11 9Vì D là định thức tạo bởi các số nguyên nên D cũng là số nguyên. Do đó  4 17Tính chất 3. [Tính cộng tính]. Nếu định thức có một dòng là tổng hai dòng thì định thứcbằng tổng của hai định thức.a11a12bi1  ci1 bi2  ci2a n1an2a1na11a12a1na11a12a1nbin  cin  bi1bi2bin  ci1ci2cina n1 a n 2a nna nna n1 a n 216a nnHệ quả 3. Nếu định thức có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì địnhthức ấy bằng không.Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất.Hệ quả 4. Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thứckhông đổi.Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trậntrong quá trình tính định thức cấp n:* Đổi chỗ 2 dòng [cột] cho nhau: d i  d j [c i  c j ] , phép biến đổi này định thức đổi dấu* Nhân một dòng [cột] với một số khác 0: kd i [kc i ] , phép biến đổi này định thức tăng lênk lần.* Nhân một dòng [cột] với một số cộng vào dòng [cột] khác: hd i  d j [hc i  c j ] , phép biếnđổi này không làm thay đổi giá trị của định thức.abcVí dụ 5. Tính định thức  3 a'b'c'ax  a ' y bx  b' y cx  c' yGiải:Nhân dòng 1 với [-x], dòng 2 với [-y] cộng vào dòng 3 ta được:  3a2[a  1] 2Ví dụ 6. Tính định thức  4 [a  2] 2[a  3] 2b2[b  1] 2[b  2] 2[b  3] 2c2[c  1] 2[c  2] 2[c  3] 2 xd 1  yd2  d 3d2[d  1] 2[d  2] 2[d  3] 2Giải:Nhân dòng 1 với [-1], rồi cộng lần lượt vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 được:a2b2c2d2 d1  d i2a  1 2b  1 2c  1 2d  14 i  2 , 3, 4 4a  44b  4 4c  4 4d  46a  9 6b  9 6c  9 6d  917a b ca ' b ' c'  00 0 0Sau đó nhân dòng 2 với [- 2] cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với [-3] cộng vào dòng 4được:a2b2c2d22d 2 d32a  1 2b  1 2c  1 2d  1= 0 [vì có 2 dòng tỷ lệ nhau]4  3d 2  d 422226666abVí dụ 7. Tính định thức  4  cab2bcabc2cabca21111Giải:a  b  c 1a  b  c 1Cộng các cột vào cột 1 ta được:  4  a  b  c  1bcabca  b  c 12cabca21111Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài:11 4  [a  b  c  1]. 1bcabc12cabca2111013.Các phương pháp tính định thứcCho định thức cấp n:a 11 ... a 1 j... ... ... n  a i1...... a ij... ...... a 1n... .........a in...a n1 ... a nj ... a nma] Phương pháp khai triển [Sử dụng định nghĩa]• Phần bù đại số của a ijXóa đi dòng thứ i và cột thứ j [dòng và cột chứa phần tử a ij ] của A ta được một matrận con [n - 1], kí hiệu là M ij . Định thức của M ij được gọi là định thức con cấp n -1tương ứng với phần tử aij của A và A ij  [1] i  j det[ M ij ]  [1] i  j .D ij được gọi là phần18bù đại số của phần tử aij của định thức d. Cho định thức cấp n là  n . Khi đó  n có thểtính theo hai cách sau:i] Công thức khai triển theo dòng thứ i :nnj1j1 n   a ij [1] i  j . det[ M ij ]   a ijA ij [1]ii] Công thức khai triển theo cột thứ j:nni 1i 1 n   a ij [1] i  j . det[ M ij ]   a ij A ij [2]Hệ quả. Đối với định thức cấp n là  n , ta cóni]aj1ij khi i  k[3]A kj   n0 khi i  knii]ai 1ij khi j  k[4]A ik   n0 khi j  kNhận xét: Mục đích của công thức [1] hoặc [2] là chuyển việc tính định thức cấp n vềtính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2.Khi áp dụng công thức [1] hoặc [2], ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0nhất để khai triển. Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về địnhthức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dòng hoặc cột như vậy.1 2 1b]  3  3 1 21 2 42 1 1Ví dụ 8. Tính định thức a]  3  3  1 24 5 0Giải:a] Khai triển định thức theo dòng 3 ta có: 3  4.[1] 31 .1 12 1 5.[1] 3 2 . 0  12  5  7 .1 23 2b] Khai triển định thức theo cột 1 ta có: 3  1.[1]11 .1 22 12 1 3.[1] 21 . [1][ 1] 31 . 0  30  5  35 .2 42 41 211051 01 3130 1Ví dụ 9. Tính định thức a]  4 b]  4 2  4 1  30 03 5 212 3190 20 31 44 11Giải:a] Nhân cột 1 với [-1] cộng vào cột 2, nhân cột 1 với [-5] cộng vào cột 4; rồi khai triểnđịnh thức theo cột 1, ta được1000418418 c1  c 2  1418114  1.[1] .  6  1  13   6  1  135 c1  c 4 2 6  1  13 8 2  14  8 2  143  8 2  14Cộng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 với [-2] cộng vào dòng 2, rồi khai triển định thứctheo cột 2 ta được:4 182 5 4   2 0  5  1.[1]1 2 . 20 2 d1  d 3 16  30 16 0  30d1  d 2b] Nhân cột [-2] với cột 1 rồi cộng với cột 4104 0201030 00 51 44 9Khai triển định thức theo dòng 1 ta được104 0201030 01 0 5 1 0 50 511 1.[1] . 0 1 4  0 1 4 .1 43 4 93 4 94 9Nhân cột 1 với 5 cộng vào cột 3, khai triển định thức theo dòng 1 ta được1 0 01 4 4  0 1 4  1.[1]11 . 24  16  84 243 4 24Ví dụ 10. Tính định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dướia 110a]  n  ...00a 12...a 1n 1a 1na 22 ...... ...a 2 n 1...a 2n...00... a n 1 n 1...0a n 1 na nna 11a 21b]  n  ...a n 11a n1...00a 22.........0...0...a n 1 2a n2Giải:Ta chỉ cần xét ý a] Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 :200... a n 1 n 1... a n n 10a nna 110 n  ...00a 12...a 1n 1a 22 ...... ...a 2 n 1...00a 1na 22a 2n......  a 11.[1]11 .0a n 1 n0a nn... a n 1 n 1...0a 11a 21Tương tự, ta có  n  ...a n 11a n10...0a 22.........0...a n 1 2a n2......a 2 n 1...a 2n...... a n 1n 1...0a n 1 na nn ...  a 11.a 22 ...a nn0... a n 1 n 1... a n n 10...  a 11a 22 ...a nn0a nnb] Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức củama trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:a 11 a 120 a 22... ...00a 11 0... a 1naa 22... a 2 n a 11.a 22 .a 33 ...a nn hoặc 21... ...... ...a n1 a n 2... a nn... 0... 0 a 11a 22 ...a nn... ...... a nnVí dụ 11. Tính các định thức1a151 a 1  b15a15 b]  4  151a101a112341 034a]  5   1  2 041  2  3 01  2  3  4a2a2a3a3a4a4a 2  b2a2a3a 3  b3a4a4a2a3a 4  b4Ví dụ 12. Tính định thức011a]  6 11110xxxx1x0xxx1xx0xx1xxx0x1xxxx0axxb]  6 xxxxaxxxxxxaxxxxxxaxxxxxxaxxxxxxaGiải: a]• Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra  6  0• Nếu x  0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân tửchung [n -1] ra ngoài ta được:210x1 x6  2 .x xxxx0xxxxxx0xxxxxx0xxxxxx0xxxxxx5 x 2.x x xxx0xx0xxxxxx0xxxxxx0xxxxxx0xxxxxx0Nhân dòng 1 với [-1] rồi cộng vào các dòng khác ta được:x xxxxx0 x 0000005 0 0 x 056  2 . 2 .x [ x ] 5  5x 30 x 00x 0 0x0 000 x 00 0000 xb] Cộng các cột vào cột 1, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ta đượca  5x x x ...a  5x a x ...a  5x x a ...6 ...... ... ...a  5x x x ...a  5x x x ...xxx...axx1x1x1 a  5x .......x1a1xax...xxxxa...xx..................xxx...axxxx...xaNhân dòng 1 với [-1] và cộng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta được1xx0 ax000ax n  a  5x .... ......000000...xx...00...00 a  5x .[a  x ] 6... ......... a  x0...0ax22§3. Ma trận nghịch đảoTrong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuôngcấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo1. Định thức của tích hai ma trận vuôngCho hai ma trận vuông cấp n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x nĐịnh lý 1. Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trậnthành phần: det[AB]= det[A]det[B]Hệ quả: det[An] = [det[A]]nVí dụ 1. Cho A, B là ma trận vuông cấp 3 có det[A] = 2, det[B] = -2. Tính det[AB],det[A2B]; det[2AB]; det[A3]; det[2A].Giải: det[AB]= det[A].det[B]= 2. [-2] = -4det[A2B]= det[A2].det[B] = 22. [-2] = -8det[2AB] = 23.det[AB] = 8. [-4] = -32det[A3] = [det[A]]3 = 23 = 8det[2A] = 23.det[A] = 162. Định nghĩa ma trận nghịch đảoĐịnh nghĩa 1. Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu có matrận vuông B cấp n sao cho A.B = B.A = En thì ta nói ma trận A là khả nghịch và B đượcgọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A [hay A có ma trận nghịch đảo là B], và ký hiệuA-1 = B.1 0 1 01Ví dụ 2. a] Ma trận A =  là khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là A  0 1  .044 1 0 1 0  1 0  1 0 1 0.0 1   0 1 .0 4  0 1 .04  4  4  Vì ta có 0 0  không khả nghịch vì mọi ma trận vuông B cấp 2 đều có0 0 b] Ma trận   .B  B.    E .Sự duy nhất của ma trận nghịch đảoĐịnh lý 2. Ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì duy nhất3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảoĐịnh lý 3. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det[A] ≠ 0.23 A11A11-1và A =.A =.  12det[A]det[A]  A1nA n1 A n 2 A nn A 21A 22A 2n 2  1 3Ví dụ 3. Tìm A của A  0 3 15  2 4-12 1 3Giải: Ta có A  0 3 1  22  0 nên A là ma trận khả nghịch.5 2 4Tiếp theo xác định ma trận phụ hợp A của A:A11  [1]11 .3 11 31 3 14; A 21  [1] 21 . 2; A 31  [1] 31 . 102 42 43 1A12  [1] 21 .0 12 32 3 5; A 22  [1] 2 2 . 7; A 32  [1] 3 2 . 25 45 40 1A13  [1]13 .0 32 12 1 15; A 23  [1] 23 . 1; A 33  [1] 33 .65 25 20 3 14  2  10Khi đó ma trận phụ hợp của A là A   5  7  2  15  1 6 Ma trận nghịch đảo của A làA1 14  2  10   7 / 11 1 / 11 5 / 1111 A. 5  7  2    5 / 22 7 / 22 1 / 11det[ A] 22  15  1 6   15 / 22 1 / 22 3 / 11Từ khái niệm và điều kiện khả nghịch của ma trận, ta có một số tính chất sau:Định lý 4. Giả sử A, B là các ma trận vuông cấp n.i] Nếu A khả nghịch thì A-1, AT, kA [k  0], Am [m nguyên dương] cũng khả nghịch và[A-1]-1 = A ; [AT]-1 = [A-1]T ; [kA] 1 1 1A ; [Am]- 1 = [A-1]mkii] Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và [AB]-1 = B-1A-1iii] Nếu A khả nghịch thì các phương trình A.X = C, X.A = C có nghiệm duy nhấtA.X  C  X  A 1CXA  C  X  C.A 1241 3 2 7 Ví dụ 4. Tìm [A2]-1 với A   7  3Giải: Tìm ma trận nghịch đảo của A, ta được A 1   2 1  7  3 7  3  7  3  54  24 [A ]  .7  2 1  2 1   2 1   1622 1Khi đó [A ]1 24. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảoa] Phương pháp định thứcDựa vào định lý 2.12, ta có các bước tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = [aij]nn nhưsau:Bước 1: Tính det[A]Nếu det[A] = 0 thì A không khả nghịch.Nếu det[A] ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo.Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của A: A11AA =  12 A1nA 21A 22A 2nA n1 A n 2 A nn trong đó Aij là phần bù đại số của a ij .Bước 3: Tính B =1A . Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trậndet[A]A, tức là A-1 = BVí dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận1 2 3b] A  2 5 31 0 81 2 a] A  3 4 Giải:a]Bước 1: Ta có det[A] = 1.4 – 2.3 = -2  0 .Nên ma trận A khả nghịch và A 1 1.Adet[ A]Bước 2: Ta lập ma trận phụ hợp A của ma trận A. Ta có25