Giải hệ phương trình vô tỉ - lớp 9

Tài liệu gồm 17 trang hướng dẫn các phương pháp xử lí phương trình – hệ phương trình vô tỉ thường gặp trong các đề thi.

PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG VÀ HIỆU Phương pháp xét tổng và hiệu sử dụng cho các phương trình vô tỷ hoặc một phương trình có trong một hệ phương trình ở dạng √A ± √B = C. Điều kiện sử dụng ở chỗ ta nhận thấy C là một nhân tử của [A – B].

PHẦN II: DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ TỪ NGHIỆM VÔ TỶ
Phương pháp này tận dụng nghiệm vô tỷ mà máy tính đã dò được để đoán trước nhân tử của phương trình, hệ phương trình. Để sử dụng kỹ thuật này, chúng ta cần phải nắm được tốt quy tắc dò nghiệm SHIFT SOLVE.

PHẦN III: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Mục đích của phương pháp hệ số bất định là tạo ra các thêm bớt giả định sao cho có nhân tử chung rồi đồng nhất hệ số để tìm ra các giả định đó. Hệ số bất định có bản chất là phân tích nhân tử và có tác dụng mạnh trong các bài toán có nhiều hơn 1 nghiệm. [ads]

PHẦN IV: ĐẠO HÀM MỘT BIẾN
+ Kỹ thuật 1: Coi x là ẩn, y là tham số, tính đạo hàm f’x[x, y] và chứng minh hàm số đơn điệu và liên tục theo x.

+ Kỹ thuật 2: Phương trình f[x] = 0 có tối đa 1 nghiệm nếu f[x] đơn điệu và liên tục theo x. + Kỹ thuật 3: f[x] = f[y] → x = y nếu f[x] đơn điệu và liên tục theo x.

PHẦN V: LƯỢNG GIÁC HÓA PHẦN VI: ĐẶT 2 ẨN PHỤ+ Kỹ thuật 1: Đặt 2 ẩn phụ để đưa về hệ phương trình cơ bản.

+ Kỹ thuật 2: Đặt 2 ẩn phụ để phân tích đa thức thành nhân tử.

PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
+ Kỹ thuật 1: Đưa phương trình, hệ phương trình về dạng A^2 + B^2 ≤ 0.

+ Kỹ thuật 2: Sử dụng Cauchy với những bài có căn bậc lớn. + Kỹ thuật 3: Sử dụng Bunyakovsky. + Kỹ thuật 4: Sử dụng Minkowski. + Kỹ thuật 5: Sử dụng Schwartz.

+ Kỹ thuật 6: Sử dụng bất đẳng thức Jensen dành cho hàm lồi, hàm lõm.

A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức mở rộng  .

1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức .

3. Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối.

4. Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải hệ phương trình.

5. Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản:

B. Cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỷ .

Phương pháp 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình[ thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc].

Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối.

Phương pháp 3:  Đặt ẩn phụ

Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức

Phương pháp 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Phương pháp 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình[ thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc].

Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối.

  Phương pháp 3:  Đặt ẩn phụ:

Phương pháp 4: Đưa về dạng: +  = 0 hoặc A.B = 0

Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức

Phương pháp 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất

Tải về file word tại đây.

Xem thêm:

– Dạng toán tính giá trị của biểu thức chứa căn thức.

– Dạng toán chứng minh đẳng thức.

Related

Cập nhật lúc: 16:31 12-09-2018 Mục tin: LỚP 9

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

- Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.

+ Phương trình

+ Phương trình √A = √B ⇔ A = B.

+ Phương trình A2 = B2 ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ±B

- Cách 2: Đặt ẩn phụ.

- Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.

- Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a] √x = 3 [đkxđ: x ≥ 0]

⇔ x = 32 = 9 [t/m]

Vậy phương trình có nghiệm x = 9.

b]

[đkxđ: x ≥ -1]

⇔ x + 1 = 4

⇔ x = 3 [t/m]

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

c]

[đkxđ: x ≥ -3/2 ]

⇒ 2x + 3 = x2

⇔ x2 – 2x – 3 = 0

⇔ [x + 1][x – 3] = 0

⇔ x = -1 hoặc x = 3

Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

d]

[đkxđ: x ≥ 1].

⇒ x - 1 = [x-3]2

⇔ x – 1 = x2 – 6x + 9

⇔ x2 – 7x + 10 = 0

⇔ [x – 2][x – 5] = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 5

Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn.

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

a] Đặt

⇒ x2 + 5x + 3 = t2

⇒ 2x2 + 10x = 2[x2 + 5x] = 2. [t2 - 3] = 2t2 - 6

Khi đó phương trình trở thành:

t + 2t2 - 6 - 15 = 0 ⇔ 2t2 + t – 21 = 0

⇔ [t-3] [2t + 7/2] = 0 ⇔ t = 3 [T/M] hoặc t = -7/2[L].

Với t = 3 thì

⇔ x2 + 5x + 3 = 9

⇔ x2 + 5x - 6 = 0

⇔ [x-1] [x+6] = 0

⇔ x = 1 hoặc x = -6

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1 và x = -6.

b] Đặt

⇒ x = t3.

Khi đó phương trình trở thành: t3 + t – 2 = 0 ⇔ [t – 1][t2 + t + 2] = 0 ⇔ t = 1 [Vì t2 + t + 2 > 0 với mọi t].

Với t = 1 ⇒ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

c]

[Đkxđ: x ≠ 0 và x - 1/x ≥ 0 ].

Chia cả hai vế cho x ta được:

Phương trình trở thành: t2 + 2t - 3 = 0

⇔ [t-1][t+3] = 0 ⇔ t = 1[t/m] hoặc t = -3[l]

Với t = 1 ⇒

⇔ x2 – 1 = x

⇔ x2 – x – 1 = 0

⇔ [x-1/2]2 = 5/4

Vậy phương trình có hai nghiệm

d] Đặt

Ta thu được hệ phương trình :

⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:

Hướng dẫn giải:

a] Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

b]

Điều kiện xác định :

⇔ x = 7.

Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c] Phương pháp giải: Đánh giá

VT = VP ⇔

Vậy phương trình vô nghiệm.

+ TH1: Xét

⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 .

Phương trình trở thành:

⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 [t.m]

+ TH2: Xét

[không tồn tại]

+ TH3: Xét

⇔ 5 ≤ x ≤ 10 .

Phương trình trở thành:

⇔ 1 = 4 [vô nghiệm]

+ TH4: Xét

⇔ x ≤ 5.

Phương trình trở thành:

⇔ x - 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 [thỏa mãn].

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4

Bài 1: Nghiệm của phương trình

là :

A. x = 6    B. x = 3    C. x = 9    D. Vô nghiệm.

Hiển thị đáp án

Bài 2: Phương trình

có số nghiệm là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

[đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1]

⇔ [x + 1][x + 3] = 8

⇔ x2 + 4x + 3 = 8

⇔ x2 + 4x – 5 = 0

⇔ x2 + 5x – x – 5 = 0

⇔ [x + 5][x – 1] = 0

⇔ x = -5 hoặc x = 1 [t/m]

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x - 5√x + 6 = 0 là:

A. 5    B. 9    C. 4    D. 13.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Đkxđ: x ≥ 0.

x - 5√x + 6 = 0

⇔ x - 3√x - 2√x + 6 = 0

⇔ [√x - 3] [√x - 2] = 0

[đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1]

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 13.

Bài 4: Phương trình

có nghiệm là:

A. x = 4    B. x = -3    C. x = -3 và x = 4    D. Vô nghiệm.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

[đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1]

⇒ 25 – x2 = [x – 1]2

⇔ 25 – x2 = x2 – 2x + 1

⇔ 2x2 – 2x – 24 = 0

⇔ x2 – x – 12 = 0

⇔ x2 – 4x + 3x – 12 = 0

⇔ [x – 4][x + 3] = 0

⇔ x = 4 hoặc x = -3.

Thử lại chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình.

Bài 5: Phương trình

có số nghiệm là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. Vô số.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

[đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1]

⇔ |x-3| = x-3 ⇔ x ≥ 3

Vậy phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 hay phương trình có vô số nghiệm.

Bài 6: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a]

[đkxđ: x ≥ -3/2 ]

⇔

⇔ 2x + 3 = 1/4

⇔ 2x = -11/4

⇔ x = -11/8

Vậy phương trình có nghiệm x = -11/8 .

b]

[đkxđ: x ≥ 0]

⇔ 3x = 144

⇔ x = 48

c]

[đkxđ: x ≥ -1]

⇔ x + 1 = 25

⇔ x = 24.

Vậy phương trình có nghiệm x = 24.

Bài 7: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a]

⇔ x2 + x + 1 = 2x2 – 5x + 9

⇔ x2 – 6x + 8 = 0

⇔ x2 – 2x – 4x + 8 = 0

⇔ [x – 2][x – 4] = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 4.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4.

b]

⇒ 3x2 + 4x + 1 = [x – 1]2

⇔ 3x2 + 4x + 1 = x2 – 2x + 1

⇔ 2x2 – 6x = 0

⇔ 2x[x – 3] = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

⇔ x2 + 5x - 2 = 4

⇔ x2 + 5x - 6 = 0

⇔ [x + 6][x – 1] = 0

⇔ x = 1 hoặc x = -6

Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 1.

⇒ 4[x+1][2x+3] = [21-3x]2

⇔ 4[2x2 + 2x + 3x + 3] = 441 – 126x + 9x2

⇔ 8x2 + 20x + 12 = 441 – 126x + 9x2

⇔ x2 – 146x + 429 = 0.

⇔ x2 – 3x – 143x + 429 = 0

⇔ [x – 3][x – 143] = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 143.

Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143.

Bài 8: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a]

Đặt

+ Th1:

⇔ x = 1.

+ Th2:

⇔ x = -7.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -7.

b]

[đkxđ: x ≥ -1]

Đặt

⇒ a2 - b2 = [2x+3] - [x+1] = x + 2

⇒ a – b = a2 – b2

⇔ [a – b][a + b] – [a – b] = 0

⇔ [a – b][a + b – 1] = 0

⇔ a = b hoặ a + b = 1

+ Th1: a = b ⇒

⇔ 2x + 3 = x + 1 ⇔ x = -2 < -1 [Loại]

+ Th2: a + b – 1 = 0.

Mà a ≥ 1; b ≥ 0 nên a + b ≥ 1 hay a + b – 1 ≥ 0.

Phương trình chỉ xảy ra ⇔

⇔ x = -1 .

Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

c]

[đkxđ: x2 – 2x – 3 ≥ 0]

Phương trình trở thành: t2 + 3t - 4 = 0

⇔ t2 + 4t – t – 4 = 0

⇔ [t + 4][t – 1] = 0

⇔ t = -4 [L] hoặc t = 1 [T/M]

⇔

⇔ x2 – 2x – 3 = 1

⇔ x2 – 2x – 4 = 0

⇔ [x – 1]2 = 5

Bài 9: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

[1]

Ta có:

⇒ VT [1] =

≥ 2 + 3 = 5.

VP [1] = 4 – 2x – x2 = 5 – [1 + 2x + x2] = 5 – [x + 1]2 ≤ 5.

VT = VP ⇔ ⇔ x = -1.

Thử lại x = -1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

Bài 10: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

[Đkxđ: x ≥ -1 ]

+ TH1:

Khi đó phương trình trở thành:

⇔ x = 3 [t.m]

+ TH2:

⇔ x < 3.

Khi đó phương trình trở thành:

⇔ 4 = 4 [đúng với mọi x]

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.