Bài 3: Lôgarit
Bài 3 trang 68 SGK Giải tích 12:
Rút gọn biểu thức:
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
- Giải Toán 12: Bài 3. Lôgarit
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHÂT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM số KIÊN THỨC CẦN BẢN Định nghĩa Cho hàm sổ y - f[x] xác định trên tập D. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm sổ y = f[x] trên tập D nếu f[x] < M với mọi X thuộc D và tồn tại Xo € D sao cho f[xc] = M. Kí hiệu M = maxf[x]. D Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trẽn tập D nếu f[x] > m với mọi X thuộc D và tồn tại Xoe D sao cho f[x0] = m. Kí hiệu: m = minf[x]. D Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b] Tìm các điểm X1, X2, Xn trên khoảng [a; b], tại đó t '[x] bằng 0 hoặc f '[x] không xác định. Tính f[a], f[xi], f[Xỉ] f[Xn], f[b]. Tìm sô lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong'các sô trên. Ta có: M = maxf[x], m = minf[x] [a: bi [a; bj PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Tilth giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cùa hàm sò: a] y = X1 - 3xz - 9x + 35 trên các đoạn [—1: 4] và [0: 5] bj y = X4 -- 3x? + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] 2 — x „ . c] y = 7—— trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2] 1 - X đ] y = \Iỗ - 4x trên đoạn [-1: 1], * Xét D = [-4; 4], HSLT trên [-4; 4] y' = 3x2 - 6x - 9; y' = 0 X = 3 e D X = -1 6 D Ta có: y[-4] = -41; y[4] = 15; y[-l] = 40; y[3] = 8 Vậy: max y = 40 ; min y =-41. xe[-4;4] xe[-4;4] * Xét D = [0; 5], HSLT trên [0; 5] X = 3 e D Vậy: Ta có: y[0] = 35; y[5] = 40; y[3] = 8 inaxy = 40; miny - 8 . [0:5] ‘ [OS] y' = 4x:ì - 6x = 2x[2x2 - 3]; y' = 0 * ■ Với D = [0: 31 thìx = -^| e D. IISLT trên [0; 3] Ta có y[0] = 2; y[3] = 56, y[ ] = - — . Vậy miny = V2 4 [0:3r * Với D = [2; 5J. HSLT trên [2; 5] thì X = 0; X = ± nên: y[2] = 6; y[5] = 552 Vậy min y = 6; max y = 552 . [2:5] ■ [2;5] ■ 2. 3. 4, D = [-1; 1] : y' = r-: 2 . < 0, Vx e [-1; 1] 0]. Cạnh còn lại là 8 - X [0 < X < 8]. Khi đó diện tích hình chữ nhật là: s = x[8 - x] = 8x - X2 => S' = 8 - 2x; S' = 0 o X = 4 Bảng biến thiên: X 0 4 8 S' + 0 — //////////// s CĐ'^— MaxS = [0:H] S[4] = 16 X = 4 Trong tát cả các hình chữ nhật cùng diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. Vậy khi hình chữ nhật là hình vuông thì diện tích lớn nhát. , , 48 Gọi X là một cạnh của hình chữ nhật [x > 0]. Cạnh còn lại là —. x Chu vi hình chữ nhật là: p = 2 p' z 0 o x' - 48 o x = 4\f3 Bảng biến thiên: Tính giá trị lớn nhất của các hàm sô: a] y = —í— ; b] y = 4x“ - 3x’. . ' 1 + X Vậy khi hình chữ nhật trở thành hình vuông thì chu vi nhỏ nhát. éỹiải a] Tập xác định: D = R —8x _. y' = 7T. - ; y' = 0 X = 0 [y = 4] [1 + X ] b] Tập xác định: D = y' = 12x y' = 0 12x:ì = 12x2[l - X] [y = 0] [y = 1] Vậy maxy = 1. - I I 4 5. Tính giá trị nhỏ nhát ciia các hàm sô sau: a] y = IX I: b] y = X + — [x > 0]. Bảng biến thiên: X —OC' 0 +OO V' + 0 — y 0. 4——-._ 0 Vậy maxy = 4. tfiai. Tập xác định: D = R Ta có Ixl >0 với Vx e R, dấu bằng xảy ra khi X = 0. Vậy miny = 0. Xét D = [0; +°o] c. BÀI TẬP LÀM THÊM Tìm giá trị lớn nhâ’t, nhỏ nhát, của hàm số: y = 2x + Võ - X2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây trong đoạn đã chỉ ra: y = 2x:i + 3x2 - 12x + 1 trong [-1; 5] y = Võ - 4x trong [-2; 0] Dựng hình chừ nhật có diện tích lớn nhât biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16 cm. Chứi g minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhât và có diện tích lứn nhf'it. Trong các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, xác định hình nón có thể tích lớn nhất.
Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
- Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
- Sách giáo khoa hình học 12
- Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
- Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 12
- Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
- Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
- Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
- Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
- Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
- Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12
Sách giải toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 20: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a] y = x2 trên đoạn [-3; 0];
b] y = [x + 1]/[x – 1] trên đoạn [3; 5].
Lời giải:
a] y’ = 2x ≤ 0 trên đoạn [-3; 0]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [-3,0].
Khi đó trên đoạn [-3,0]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất = 0.
b] y’ = [-2]/[x-1]2 < 0 trên đoạn [3; 5]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [3; 5].
Khi đó trên đoạn [-3,5]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 và giá trị lớn nhất bằng 2, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 5 và giá trị nhỏ nhất = 1.5.
Cho hàm số
Có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính.
Lời giải:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2. Thay x = -2 vào hàm số y đã cho ta có giá trị nhỏ nhất là -2.
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3. Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3.
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f[x] trên tập xác định.
Lời giải:
1.TXĐ: D = R.
2. y’ = 2x/[1 + x2]2 . Cho y’ = 0 thì x = 0.
3. Bảng biến thiên:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là – 1 tại x = 0.
Bài 1 [trang 23-24 SGK Giải tích 12]: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a] y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5] ;
b] y = x4 – 3x2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] ;
c]
d]
Lời giải:
a] TXĐ: D = R.
y’ = 3x2 – 6x – 9;
y’ = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 3.
+ Xét hàm số trên đoạn [-4; 4] :
y[-4] = -41 ;
y[-1] = 40 ;
y[3] = 8
y[4] = 15.
+ Xét hàm số trên [0 ; 5].
y[0] = 35 ;
y[3] = 8 ;
y[5] = 40.
b] TXĐ: D = R
y’ = 4x3 – 6x
y’ = 0 ⇔ 2x.[2x2 – 3] = 0 ⇔
+ Xét hàm số trên [0 ; 3] :
+ Xét hàm số trên [2; 5].
y[2] = 6;
y[5] = 552.
c] TXĐ: D = [-∞; 1] ∪ [1; +∞]
⇒ hàm số đồng biến trên [-∞; 1] và [1; +∞].
⇒ Hàm số đồng biến trên [2; 4] và [-3; -2]
d] TXĐ: D = [-∞; 5/4]
⇒ Hàm số nghịch biến trên [-∞; 5/4]
⇒ Hàm số nghịch biến trên [-1; 1]
Bài 2 [trang 24 SGK Giải tích 12]: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
Nửa chu vi hình chữ nhật là: 16 : 2 = 8cm.
Gọi độ dài 1 cạnh của hình chữ nhật là x [cm]
⇒ độ dài cạnh còn lại là : 8 – x [cm]
⇒ Diện tích của hình chữ nhật là:
S = x[8 – x] = 8x – x2 = 16 – [16 – 8x + x2] = 16 – [x – 4]2 ≤ 16.
⇒ Smax = 16
Dấu bằng xảy ra khi [x – 4]2 = 0 ⇔ x = 4.
Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16cm thì hình vuông cạnh bằng 4cm có diện tích lớn nhất bằng 16cm2.
Bài 3 [trang 24 SGK Giải tích 12]: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x [m] [điều kiện: x > 0].
⇒ độ dài cạnh còn lại :
[m]
⇒ chu vi hình chữ nhật :
Xét hàm số
Bảng biến thiên trên [0; +∞]:
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m2 thì hình vuông cạnh 4√3 m có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4 [trang 24 SGK Giải tích 12]: Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
Lời giải:
a] TXĐ: D = R
Ta thấy: 1 + x2 ≥ 1
⇒
b] TXĐ : D = R
⇒ y’ = 12x2 – 12x3 = 12x2[1 – x]
y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: max y = y[1] = 1.
Bài 5 [trang 24 SGK Giải tích 12]: Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Lời giải:
a]
– Cách 1:
Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x
⇒ Hàm số có giá trị nhỏ nhất là min y = 0 khi x = 0.
– Cách 2:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: min y = 0
b] D = [0; +∞]
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: min y = y[2] = 4