Giải bài tập toán 10 hình học trang 59 năm 2024

BÀI TẬP

1. Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a, (P1): $y^2$ = 7x;

b, (P2): $y^2$= $\frac{1}{3}$x

c, (P3): $y^2$= $\sqrt{2}$ x

a, Có 2p = 7

⇒ p = $\frac{7}{2}$ => $\frac{P}{2}$ = $\frac{7}{4}$

⇒ Toạ độ tiêu điểm của parabol là F($\frac{7}{4}$;0)

phương trình đường chuẩn của parabol là x + $\frac{1}{12}$=0

b, Có 2p =$\frac{1}{3}$

\=> p= $\frac{1}{6}$

\=> $\frac{P}{2}$ = $\frac{1}{12}$

\=> Toạ độ tiêu điểm của parabol là F($\frac{1}{12}$;0)

Phương trình đường chuẩn của parabol là: x+$\frac{1}{12}$=0

c, Có 2p = √2 => p= $\frac{\sqrt{2}}{2}$

\=> $\frac{P}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$

\=> Toạ độ tiêu điểm của parabol là F($\frac{\sqrt{2}}{4}$;0)

phương trình đường chuẩn của parabol là x+$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc \({60^0}\) (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Bức tường: AC=DG.

- Vẽ hình ảnh minh họa cho độ dài các cạnh của thang, bức tường.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều cao bức tường DG là x (m) (x>0)

Chiều dài chiếc thang là x+1 (m)

Khoảng cách từ chân thang sau khi bác Nam điều chỉnh là: \(EG = \frac{{DG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\) (m)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

\(BC = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} \)(m)

Bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m nên ta có:

\(\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} - 0,5 = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\left( * \right)\end{array}\)

Ta có \(\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt 3 }} \ge - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x \ge - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) (Luôn đúng do x>0)

Ta bình phương hai vế (*) ta được:

\(\begin{array}{l}2x + 1 = {\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,25\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{3} + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - 2} \right)x - \frac{3}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,7\left( {tm} \right)\\x \approx - 0,5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

2. Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

3. Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol để M1M2 nhỏ nhất.

Lời giải

1. Giao điểm của (H) với trục hoành có y = 0 nên x2a2−02b2=1 ⇒ x2 \= a2 ⇒ x = ± a;

Hơn nữa hoành độ A1 nhỏ hơn hoành độ A2 nên ta có: A1(−a; 0), A2(a; 0).

Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là A1(−a; 0), A2(a; 0).

2. Ta có: x2a2−y2b2=1

⇔ x2a2=1+y2b2

Mà y2b2≥ 0 nên x2a2≥1 hay x2 ≥ a2

⇔ |x| ≥ |a|

⇔ x ≥ a hoặc x ≤ - a .

Vậy điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ 0 nên x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ 0 nên x ≥ a.

2. Gọi toạ độ điểm M1(x1;y1), M2(x2;y2), tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó x1 ≤ – a và x2 ≥ a.

Ta có

M1M2→x2−x1;y2−y1 ⇒ M1M2 \= (x2−x1)2+(y2−y1)2;

A1A2 = (a−(−a))2+(0−0)2 \= 2a.

Vì x1 < 0 và x2 \> 0 nên x2 – x1 \= x2+x1 (1)

Mặt khác ta có: x1 ≤ –a và x2 ≥ a ⇒ x2 ≥ a và x1 ≥ a

⇒ x2+x1 ≥ a + a = 2a (2)

Từ (1) và (2) ta có: x2 – x1 ≥ 2a ⇒ (x2 – x1)2 ≥ (2a)2

Ta lại có: (y2 – y1)2 ≥ 0

⇒ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≥ (2a)2 + 0 = (2a)2

⇒ (x2−x1)2+(y2−y1)2 ≥ 2a hay M1M2 ≥ A1A2

Vậy M1M2 nhỏ nhất khi M1M2 \= A1A2

Dấu “=” xảy ra khi diểm M1 ≡ A1(-a; 0) và M2 ≡ A2(a; 0).

Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2:

Một cột trụ hình hyperbol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5m (Tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là chỗ nhỏ nhất ở chính giữa, như hình vẽ sau:

Gọi A1, A2 lần lượt là giao điểm của hypebol với trục hoành mà O là trung điểm của A1A2 nên A1(−0,4 ; 0), A2(0,4 ; 0) hay a = 0,4.

Gọi phương trình hypebol của hình trụ có dạng : x20,42−y2b2=1.

Gọi M là một điểm trên đỉnh cột nằm ở nhánh bên phải của trục tung hypebol. Ta có toạ độ điểm M(0,5; 3).