Đề bài - bài 156 trang 99 sbt toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho \(\widehat {EDC} = \widehat {ECD} = {15^0}\).

a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho \(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

a. Xét \( EDC\) và \( FDA :\)

\(\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\)

\(DC = AD\) (do ABCD là hình vuông)

\(\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\)

Do đó: \( EDC = FDA\) (g.c.g)

\( DE = DF\)

\( DEF\) cân tại D

Ta lại có:

\( \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC} \)\( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} - \left( {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right) \)\( = {90^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {60^0} \)

Vậy \( DEF\) đều.

b. Vì \(\widehat {ECD} = {15^0}\) và \(\widehat {DCB} = {90^0}\) nên \(\widehat {ECB} = 90^0-{15^0}=75^0\)

Vì \(\widehat {FDA} = {15^0}\) và \(\widehat {FDE} = {60^0}\) (do tam giác FDE đều) nên \(\widehat {EDA} = 60^0+{15^0}=75^0\)

Xét \( ADE\) và \( BCE:\)

\(ED = EC\) (vì \( EDC\) cân tại E)

\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\)

\(AD = BC\) (do ABCD là hình vuông)

Do đó: \( ADE = BCE\) (c.g.c)

\( AE = BE\) (1)

Trong \( AFD\) ta có:

\(\widehat {AFD} = {180^0} - \left( {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right) \)\(= {180^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {150^0} \)

\( \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0} \)\( \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} - \left( {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right) \)\( = {360^0} - \left( {{{150}^0} + {{60}^0}} \right) \)\(= {150^0} \)

Xét \( AFD\) và \( AEF:\)

\(AF\) cạnh chung

\(\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\)

\(DF = EF\) (vì \( DFE\) đều)

Do đó: \( AFD = AEF\) (c.g.c)

\( AE = AD\)

\(AD = AB\) (do ABCD là hình vuông)

Suy ra: \(AE = AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AE = AB = BE.\)

Vậy \( AEB\) đều.