A. 2
B. 0
C. 4
D. 1
Lời giải:
Chọn D
Xét hàm số
f[x] = x5 – 5x2 + 5[m – 1]x – 8
TH1: f[x] = 0 có nghiệm x0 ∊ [-∞;1] thì hàm số y = |f[x]| không thể nghịch biến trên khoảng [-∞;1].
TH2: f[x] = 0 không có nghiệm x0 ∊ [-∞;1]
Ta có: f’[x] = 5x4 – 10x + 5[m – 1]
Khi đó y = |x5 – 5x2 + 5[m – 1]x – 8| = |f[x]| =
Nên
Hàm số nghịch biến trên [-∞;1] khi và chỉ khi y’ ≤ 0 với ∀ x ∊ [-∞;1]
Mà m ∊ ℤ nên m = 3
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |2x3 – mx + 1| đồng biến trên khoảng [1; +∞]?A. 2
B. 6
C. 3
D. 4
Lời giải:
Chọn C
Xét hàm số
f[x] = 2x3 – mx + 1
TH1: f[x] = 0 có nghiệm x0 ∊ [1;+∞] thì hàm số y = |f[x]| không thể nghịch biến trên khoảng [1;+∞].
TH2: f[x] = 0 không có nghiệm x0 ∊ [1;+∞]
Ta có: f’[x] = 6x2 – m
Khi đó y = |2x3 – mx + 1| = |f[x]| =
Nên
Hàm số nghịch biến trên khoảng [1;+∞] khi và chỉ khi y’ ≥ 0 với ∀ x ∊ [1;+∞]
⇒ m ∊ {1; 2; 3}
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số y = |3x4 – 4x3 – 12x2 + m| nghịch biến trên khoảng [-∞; -1]?A. 6
B. 4
C. 3
D. 5
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số f[x] = 3x4 – 4x3 – 12x2 + m ⇒ f’[x] = 12x3 – 12x2 – 24x = 12x [x2 – x – 2]
⇒ f’[x] = 0
BBT:
Nhận thấy: Hàm số y = |f[x]| nghịch biến trên khoảng [-∞; -1] ⇔ m – 5 > 0 ⇔ m ≥ 5.
Lại do ⇒ m ∊ {5; 6; 7; 8; 9}
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Loại 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số dạng phân thức hữu tỉ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [-10; 10] để hàm số đồng biến trên [1; +∞].A. S = 55
B. S = 54
C. S = 3
D. S = 5
Lời giải
Chọn B.
Xét hàm số với x ≠ -m – 2, có
Hàm số đồng biến [1; +∞] khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
TH1:
TH2:
Vậy m ∊ [1; +∞], lại do suy ra m ∊ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Vậy S = 54
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞]A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Đặt . ĐK: x ≠ -m
Khi đó
Để hàm số đồng biến trên [1;+∞] ⇔
Ta có
Vậy ⅓ < m ≤ 1
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên [3; +∞]?A. 4
B. 5
C. Vô số
D. 6
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: D = ℝ \{1}
Xét hàm số
Có
Khi đó
Hàm số đồng biến trên [3; +∞] ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [3; +∞]
Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-2; -1; 0; 1}
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Loại 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số chứa căn đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến trên [0;1].A. 4
B. 2
C. 3
D. 5
Lời giải
Chọn A
Đặt
Ta có
Do hàm số liên tục tại x = 0; x = 1 nên để hàm số nghịch biến trên [0;1] ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Do m nguyên nên m nhận các giá trị sau -3; -2; -1; 0
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ [-5; 5] để hàm số nghịch biến trên [2; 3]?A. 2
B. 3
C. 5
D. 9
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
Ta có
Cho f’[x] = 0
Ta thấy f’[x] < 0, ∀ x ∊ [2; 3] nên hàm số f[x] nghịch biến trên [2; 3]
Để nghịch biến trên [2; 3] thì
f[3] ≥ 0
Do m ∊ [-5; 5] nên m = {-2; -3; -4}
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ [0; 10] để hàm số đồng biến trên khoảng [1;+∞]?A. 11
B. 10
C. 12
D. 9
Lời giải
Chọn A
Tập xác định D = ℝ
Xét hàm số
Hàm số đồng biến trên khoảng [1;+∞]
TH1:
f’[x] ≥ 0, ∀ x ∊ [1;+∞]
Đặt t = x – 1, t > 0
Xét
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta có
TH2:
f’[x] ≤ 0, ∀ x ∊ [1;+∞]
Đặt t = x – 1, t > 0
Mà nên với mỗi giá trị của m luôn có giá trị của t dương đủ nhỏ để VT của [*] lớn hơn 0.
Suy ra không có giá trị nào của m để TH2 thỏa mãn.
Vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn là {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Loại 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số lượng giác đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = |f[x]| = |x3 – 3x2 +3[m2 + 5] x + [12 – 3m2] cosx| đồng biến trên [0; π]A. 3
B. 5
C. 4
D. Vô số
Lời giải
Chọn B
Đặt h[x] = x3 – 3x2 + 3[m2 + 5] x + [12 – 3m2] cosx.
Ta có h’[x] = 3x2 – 6x + 3[m2 + 5] – [12 – 3m2] sinx.
⇔ h’[x] = 3[x – 1]2 + 12[1 – sinx] + 3m2[1 + sinx] ≥ 0, ∀ x ∊ [0; π]
Vậy hàm số h[x] luôn đồng biến trên [0; π].
Để y = f[x] đồng biến trên [0; π]. Thì h[0] ≥ 0 ⇔ [12 – 3m2] ≥ 0 ⇔ m ∊ [-2; 2]
Kết luận: có 5 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Ví dụ 2. Các giá trị của tham số m để hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng là.A.
B.
C. m > 1
D. m ≥ 1
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số f[x] = sinx – cosx + m =
Khi đó y = |sinx – cosx + m| = |f[x]| = . Nên
Hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊
Với
Nên [1] ⇔ f[x] > 0, ∀ x ∊
Ví dụ 3. Cho hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1|. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên . Tính số phần tử của S .A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
Trên khoảng , hàm số y = sinx đồng biến
Đặt t = sin x, x ∊ ⇒ t ∊ [0;1]
Khi đó hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1| đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi
y = g[t] = |t3 – mt + 1| đồng biến trên [0;1]
Xét hàm số y = f[t] = t3 – mt + 1 trên khoảng [0;1] có f’[t] = 3t2 – m.
+] Khi m = 0
f’[t] = 3t2 > 0, ∀ t ⇒ y = f[t] = t3 + 1 đồng biến trên [0;1] và đồng thời y = f[t] = t3 + 1 cắt trục hoành tại điểm duy nhất t = -1
⇒ y = g[t] = |t3 – mt + 1| đồng biến trên [0;1] ⇒ m = 0 thỏa mãn
+] Khi m > 0
f’[t] = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Hàm số y = f[t] = t3 – mt + 1 đồng biến trên các khoảng và
TH1: ⇔ 0 < m < 3
Hàm số y = f[t] = t3 – mt + 1 nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
⇒ Không có giá trị của m để y = g[t] = |t3 – mt + 1| đồng biến trên [0;1]
TH2: ⇔ m ≥ 3
Để y = g[t] = |t3 – mt + 1| đồng biến trên [0;1] thì t3 – mt + 1 ≤ 0, ∀ x ∊ [0;1]
⇔ mt ≤ t3 + 1, ∀ x ∊ [0;1]
⇒ Không có giá trị của m thỏa mãn
Vậy chỉ có giá trị m = 0 thỏa mãn
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5;5] để hàm số y = |cos3x – 3m2cosx| nghịch biến trên .A. 1
B. 11
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn B
Đặt t = cos x, vì x ∊ ⇒ t ∊ [0;1]
Vì t =cos x là hàm số nghịch biến trên nên yêu cầu bài toán trở thành tìm m nguyên thuộc [-5;5] để hàm số y = |t3 – 3m2t| đồng biến trên [0;1].
Xét f[t] = t3 – 3m2t, t ∊ [0;1] ⇒ f’[t] = 3t2 – 3m2
TH1: Nếu m = 0 ⇒ f’[t] > 0, ∀ t ∊ [0;1] ⇒ f[t] luôn đồng biến trên [0;1]
Mà f [0] = 0 ⇒ y = |f[t]| luôn đồng biến trên [0; +∞]
⇒ y = |f[t]| luôn đồng biến trên [0;1]
Do đó m = 0 thỏa mãn bài toán [1]
TH2: m ≠ 0 ⇒ f’[t] = 0
*] Với m > 0 , ta có BBT sau:
Từ BBT suy ra hàm số y = |f[t]| luôn đồng biến trên [0; m]
YCBT tương đương [0;1] ⊂ [0; m] ⇔ m ≥ 1 [2]
*] Với m < 0 , ta có BBT sau:
Từ BBT suy ra hàm số y = |f[t]| luôn đồng biến trên [0; -m]
YCBT tương đương [0;1] ⊂ [0; -m] ⇔ m ≤ -1 [3]
Từ [1], [2] và [3] vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Loại 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số mũ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để y = |9x + 3x – m + 1| đồng biến trên đoạn [0;1]A. 1
B. 4
C. 3
D. 6
Lời giải
Chọn C
Đặt 3x = t ⇒ t ∊ [1;3] vì t ∊ [0;1]
⇒ t = |t2 + t – m + 1| =
Để hàm số đồng biến trên đoạn t ∊ [1;3] thì
Với mọi giá trị của t ∊ [1;3] thì 2t + 1 > 0 nên
Để y’ ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3] thì t2 + t – m + 1 ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3]
⇒ m – 1 ≤ t2 + t = g[t] , ∀ t ∊ [1;3]
Vậy có 3 giá trị nguyên {1; 2; 3} thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2020 để hàm số y = |4x + m.2x+1 + m + 2| đồng biến trên khoảng [0;1]?A. 2018
B. 2019
C. 2
D. 3
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số f[x] = 4x + m.2x+1 + m + 2 [1] trên khoảng [0;1]
Đặt t = 2x ⇒ t ∊ [1;2]
Hàm số [1] trở thành h[t] = t2 – 2mt + m + 2 trên khoảng [1;2].
Suy ra h’[t] = 2t – 2m
Ta có y = |f[x]| đồng biến trên khoảng [0;1]
Vì hàm số t = 2x đồng biến trên khoảng [0;1]
Do đó,
Vậy có 2018 số nguyên dương nhỏ hơn 2020 thỏa ycbt.
Ví dụ 3. Cho hàm số [1]. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng [2;4]?A. 234
B. Vô số
C. 40
D. Không tồn tại m
Lời giải
Chọn C
Đặt
Ta có ⇒ t ∊ [e2; e3], đồng thời x và t sẽ ngược chiều biến thiên.
Khi đó hàm số trở thành y = |t2 + 3t – 2m + 5| = [2]
Ta có:
Hàm số [1] nghịch biến trên khoảng [2;3] ⇔ hàm số [2] đồng biến trên khoảng [e2; e3]
∀ x ∊ [e2; e3]
⇔ t2 + 3t – 2m + 5 > 0 ∀ x ∊ [e2; e3]
∀ x ∊ [e2; e3]
Có ∀ x ∊ [e2; e3]
Với điều kiện m là số nguyên dương ta tìm được 40 giá trị của m.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m ∊ [-2019; 2020], để hàm số y = |e-x2 + ex2 – m| nghịch biến trên [1;e]?A. 401
B. 0
C. 2019
D. 2016
Lời giải
Chọn A
Đặt f[x] = e-x2 + ex2 – m ⇒ f’[x] = -2xe-x2 + 2ex2
Ta có y = |f [x]| =
Yêu cầu bài toán ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ [1;e] [*]
Vì x ∊ [1;e] nên -2xe-x2 + 2ex2 = , ∀ x ∊ [1;e]
Khi đó, [*] ⇔ f[x] ≤ 0, ∀ x ∊ [1;e]
⇔ e-x2 + ex2 – m ≤ 0, ∀ x ∊ [1;e]
⇔ e-x2 + ex2 ≤ m, ∀ x ∊ [1;e]
Ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = e-x2 + ex2 ∀ x ∊ [1;e] là e-x2 + ex2
Nên m ≥ e-x2 + ex2 ≈ 1618,18
Vậy có 401 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.
Loại 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f[x]| với f[x] là hàm số logarit đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng [-100; 100] của tham số m để hàm số y = |ln3x – 4x2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]?A. 101
B. 102
C. 103
D. 100
Lời giải
Chọn B
y = |ln3x – 4x2 + m|. Điều kiện x > 0
Xét hàm số g[x] = ln3x – 4x2 + m trên [1;e2]
⇒ g[x] nghịch biến trên [1;e2]
⇒ Hàm số y = |g[x]| = |ln3x – 4x2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]
⇔ ln3 – 4 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 4 – ln3
Mà m nguyên thuộc khoảng [-100; 100] nên m ∊ {-99; -98;…; -1; 0; 1; 2}
Vậy có 102 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số nguyên m < 2020 để hàm số y = |ln[mx] – x + 2| nghịch biến trên [1;4]?A. 2018
B. 2019
C. 1
D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Xét f[x] = ln[mx] – x + 2.
Dễ thấy ∀ x ∊ [1;4]: mx > 0 ⇔ m > 0
Khi đó
Do đó f[x] luôn nghịch biến trên [1;4]
Yêu cầu bài tóan tương đương với f[4] ≥ 0 ⇔ ln[4m] – 2 ≥ 0
Vậy m ∊ [2; 2019] có 2018 số nguyên thỏa mãn.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc [-2020; 2020] để hàm số y = |ln[x2 + 2x – m] – 2mx2 – 1| luôn đồng biến trên [0;10]?A. 4038
B. 2020
C. 2017
D. 2018
Lời giải
Chọn C
Ta xét hàm số f[x] = ln[x2 + 2x – m] – 2mx2 – 1 trên [0;10]
Điều kiện hàm số có nghĩa là x2 + 2x – m > 0, ∀ x ∊ [0;10]
⇔ x2 + 2x > m, ∀ x ∊ [0;10] [1]
Ta lại có x2 + 2x = x.[x + 2] > 0 với ∀ x ∊ [0;10] nên điều kiện [1] cho ta m ≤ 0 [2]
Đạo hàm do m ≤ 0 và x ∊ [0;10] nên
Suy ra f’[x] > 0 hàm số đồng biến trên [0;10].
Từ đó để hàm số y = |ln[x2 + 2x – m] – 2mx2 – 1| = |f[x]| đồng biến trên [0;10] điều kiện đủ là f[x] ≥ 0 với ∀ x ∊ [0;10] [3]
+] TH1: Xét m = 0
Khi đó f[x] = ln[x2 + 2x] – 1 có không thỏa mãn [3]
+] TH2: Xét m < 0
Do hàm số f[x] đồng biến nên ta chỉ cần f[0] ≥ 0 ⇔ ln[-m] – 1 ≥ 0 ⇔ -m ≥ e ⇔ m ≤ -e
Từ đó ta được:
⇔ m ∊ {-2019; -2018; -2017;…; -3} có 2017 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m trong đoạn [-3;3] để hàm số y = |ln[x3 + mx + 2]| đồng biến trên nửa khoảng [1;3]?A. 7
B. 4
C. 6
D. 5
Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định: x3 + mx + 2 > 0
Xét hàm số f[x] = ln[x3 + mx + 2]
Ta có:
Hàm số đồng biến trên nửa khoảng [1;3]
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Từ hai trường hợp trên suy ra m ≥ -2
Mà m ∊ [-3;3] ⇒ m ∊ {-2; -1; 0; 1; 2; 3}
Vậy có 6 số nguyên m thỏa mãn YCBT.