Bài toán về sự tương giao của 2 đồ thị

Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:

Phương pháp:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) trên TXĐ.

+ Tính \(h'\left( x \right)\), giải phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm và các điểm \(h'\left( x \right)\) không xác định.

+ Xét dấu \(h'\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.

- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) với trục hoành (đường thẳng \(y = 0\))

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\) có nghiệm trên đoạn cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

+ Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và các điểm \(f'\left( x \right)\) không xác định.

+ Xét dấu \(f'\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.

- Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\) có một, hai,… nghiệm là đường thẳng \(y = g\left( m \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), từ đó suy ra điều kiện của \(g\left( m \right)\).

- Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn \(m\) ở trên và tìm điều kiện của \(m\).

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục hoành.

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \(m\) và \(x\))

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0\)

- Bước 2: Tính \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c,\Delta ' = {b^2} - 3ac\)

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm:

+) Phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

+) Phương trình có 2 nghiệm nếu \(f\left( {{x_1}} \right) = 0\) hoặc \(f\left( {{x_2}} \right) = 0\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

+) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\end{array} \right.\)

- Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của \(m\).

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành.

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \(m\) và \(x\))

- Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0\)

- Bước 2: Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), phương trình trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\left( * \right)\).

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:

+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm phân biệt dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu (*) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng \(0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P = 0\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu (*) có 1 nghiệm kép bằng \(0\) hoặc có 1 nghiệm bằng \(0\) và 1 nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\S = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm hoặc nghiệm kép âm\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

9. Lý thuyết - Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị y=f(x), y=g(x) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} y=f(x)\\ y=g(x) \end{matrix}\right.\) - Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y =f(x), y=g(x) là f(x) = g(x) Nhận xét: Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm phương trình f(x) = g(x) - y=f(x), y=g(x) tiếp xúc nhau suy ra hệ \(\left\{\begin{matrix} f(x)=g(x)\\ f'(x)=g'(x) \ co \ nghiem \end{matrix}\right.\) II. Bài tập VD1: Cho \(y=\frac{x}{x-1}\) Tìm m đểm y = -x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Giải Xét pt hoành độ giao điểm \(y=\frac{x}{x-1}=-x+m\) ĐK: \(x\neq 1\) \(\Leftrightarrow x=-x^2+x+mx-m\) \(\Leftrightarrow x^2-mx+m=0 \ \ (1)\) đt \(y=-x+m\) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\neq 1\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =m^2-4m>0\\ 1-m+m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2-4m>0\) \(\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m<0\\ m>4 \end{matrix}\) VD2: Cho \(y=\frac{x}{x-1} \ (C)\). Tìm m để y = -x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của đồ thị. Giải PT hoành độ giao điểm \(\frac{x}{x-1} =-x+m\) ĐK: \(x\neq 1\) \(\Leftrightarrow x^2-mx+m=0 \ (1)\) Để \(y=-x+m\) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1, thỏa mãn \(x_1<10\\ m-1 \neq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m>1\\ m\neq 2 \end{matrix}\right.\) Cách 2: (1) Có 4 nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt \(\left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ S>0\\ P>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-4(m-1)>0\\ m>0\\ m-1>0 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-2)^2>0\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m>1 \end{matrix}\right.\) VD4: Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt (C) \(y=x^3-3mx^2+9x+1\) tại 3 điểm phân biệt. Giải PT hoành độ giao điểm \(x^3-3mx^2+9x+1=1 \ \ (1)\) \(\Leftrightarrow x^3-3mx^2+9x = 0\) \(\Leftrightarrow x(x^2-3mx+9) = 0\) \(\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x^2-3mx+9=0 \ \ (2) \end{matrix}\) y = 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi (1) có 3 nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. ĐK: \(\left\{\begin{matrix} \Delta =9m^2-36>0\\ 0^2-3m0+9\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2>4\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m>2\\ m<-2 \end{matrix}\) VD5: Cho \(y=\frac{2x+1}{x+1}\). Tìm m đểm y = -2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho \(S_{\Delta OAB}=\sqrt{3}\) Giải PT hoành độ giao điểm \(\frac{2x+1}{x+1}=-2x+m\) ĐK: \(x\neq 1\) \(\begin{matrix} \Leftrightarrow 2x+1=-2x^2-2x+mx+m\\ \Leftrightarrow 2x^2+(4-m)x+1-m=0 \ \ (1) \end{matrix}\) y =-2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1. ĐK: \(\left\{\begin{matrix} \Delta =(4-m)^2-8(1-m)>0\\ 2-(4-m)+1-m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+8>0\\ -1\neq 0 \end{matrix}\right.\) Vậy \(\forall m \ y=-2x\) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Gọi A \(A(x_A; -2x_A+m), \ \ B(x_B; -2x_B+m)\) \(d(0;AB)=\frac{\left | m \right |}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}}=\frac{\left | m \right |}{\sqrt{5}}\) do AB: -2x - y + m = 0

\(AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(2x_A-2x_B)^2}\) \(=\sqrt{5} \sqrt{(x_A-x_B)^2}\) \(=\sqrt{5} \sqrt{(x_A-x_B)^2-4x_A.x_B}\) \(=\sqrt{5} \sqrt{\left ( \frac{m-4}{2} \right )^2-4.\frac{1-m}{2}}=\sqrt{5}.\sqrt{\frac{m^2+8}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2} .\sqrt{m^2+8}\) \(S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}.d(O;AB).AB=\frac{1}{4}.\left | m \right |.\sqrt{m^2+8}\) \(S_{\Delta OAB}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\left | m \right |.\sqrt{m^2+8}=\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow m^2(m^2+8)=48\) \(\Leftrightarrow m^4+8m^2-48=0\) \(\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m^2=4\\ m^2=-12 \ (loai) \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow m=\pm 2\) Vậy \(m\in \left \{ -2;2 \right \}\)

NỘI DUNG KHÓA HỌC

ĐĂNG KÝ NHẬN EMAIL

ĐĂNG KÝ EMAIL nhận thông tin bài giảng video, đề thi và ưu đãi đặc biệt từ HỌC247

Copyright © 2022 Hoc247.vn Đơn vị chủ quản: Công Ty Cổ Phần Giáo Dục HỌC 247 GPKD: 0313983319 cấp ngày 26/08/2016 tại Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.Hồ Chí Minh Giấy phép Mạng Xã Hội số: 638/GP-BTTTT cấp ngày 29/12/2020 Địa chỉ: P401, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Quận Bình Thạnh, TP. HCM, Việt Nam. Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty CP Giáo Dục Học 247

Copyright © 2022 Hoc247.vn

Hotline: 0973 686 401 /Email: [email protected]

Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty CP Giáo Dục Học 247