Bài tập tìm góc nhỏ nhát giữa 2 mặt phẳng năm 2024
Tác giả: Trần Mạnh Tường Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 A. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Show
Trong hình vẽ trên, ta có thể thấy P Q n p; ;
2 đường thẳng, đường thẳng a nằm trên mặt phẳng Pvà vuông góc với , đường thẳng b nằm trên mặt phẳng Q và vuông góc với .Khi đó P Q a b; ;b a (Δ) (P) I (Q)
phẳng còn lại. Bước 3: Dựng hình chiếu vuông góc I của điểm M hoặcđiểm H đến giao tuyến . Khi đó P Q MIH;
Cho hai mặt phẳng P Q d .Từ A P , dựng AK d AH Q ; .Khi đó d AKH nên P Q AKH; .Khi đó sin AH AK , hay ####### ; sin ; d A Q d A d Bình luận: Phương pháp này có ưu điểm là ta không cần xác định rõ hình hài của góc giữa hai mặt phẳng, chỉ cần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và điểm đến đường thẳng, các khoảng cách này lại cũng có thể tính thông qua tỉ số giữa diện tích tam giác với một cạnh hoặc tỉ số giữa thể tích một đa diện với diện tích của 1 mặt. II. VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1: (Phương pháp xác định góc loại 1) Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a. A A A B A C a' ' ' 2 . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BB CC', '. Xác định cosincủa góc giữa A BC' và A MN' .####### A. 3 ####### 15 ####### . B. 8 3. ####### 15 ####### C. 8 3 ####### 15 ####### . D. 4 3 ####### 15 Lời giải Chọn B Phân tích: Rõ ràng hai mặt phẳng A BC' và A MN' có điểm chung là A'và có BC MN, là2 đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng có thể xác định dễ dàng. Từ đó ta đi theo ý tưởng sử dụng phương pháp “ xác định góc”. Lại do các tam giác như A BC A MN A B C' , ' , ' ' 'là các tam giác cân nên từ A'ta có thể thấy xuất hiện nhiều đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến. Từ đó ta có thể lựa chọn “Phương pháp xác định góc loại 1” Gọi K là trung điểm của BC. Do tam giác ABCđều và tam giác ABC cân tại A nên (Δ) (P) (Q) M I H P Q d A α H K Qua các phân tích trên, ta thấy rằng việc lựa chọn phương pháp khoảng cách có thể sẽ hợp lí hơn. Sau đây, ta sẽ cùng tìm hiểu cách vận dụng phương pháp này: Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt đáy ABC. Vì A A A B A C nên H chính làtâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác,trong tam giác ABC có BA BC , ABC 1200 nêntâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm đốixứng của điểm B qua trung điểm M của đoạn AC. Ta có hình vẽ Vì là góc giữa hai mặt phẳng ABBA vàBCC B nên ####### , sin , d A BCC B d A BB ####### ####### ####### ####### . Trong đó: ####### - ####### // ####### // ####### AA BB ####### AH BC ####### ####### ####### ####### // ####### // ####### AA BCC B ####### AH BCC B ####### ####### ####### AHA BCC B // BCC B ABC ####### , , , 3 ####### 2 d A BCC B d A BC d H BC a - , , 215####### 4 d A BB d B AA SBAA a AA ####### ####### ####### , 2 5 sin , 5 d A BCC B d A BB ####### ####### ####### ####### . Câu 3: (Sử dụng phương pháp dùng định nghĩa) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA x và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SCD tạo với nhau một góc ####### 60. 0 ####### A. 32ax. B.2ax. C. x a. D. x a 2. Lời giải Chọn C Phân tích: Rõ ràng ta thấy hai mặt phẳng SBC và SCD có giao tuyến là SC nên có thể nghĩ đến phương pháp xác định góc hoặc phương pháp khoảng cách đều được. Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ thử tư duy theo phương pháp dùng định nghĩa để rèn luyện sự linh hoạt của tư duy và sự phong phú của cách làm. Để sử dụng phương pháp dùng định nghĩa, ta cần xác định được 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng này. Ta làm như sau Từ A kẻ AH vuông góc với SB H SB . Ta có SA BCAB BC BC SAB BC AH mà AH SB suy ra AH SBC . Từ A kẻ AK vuông góc với SD K SD Tương tự, chứng minh được AK SCD . Như vậy, đến đây ta đã xác định được 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng trên là AH và AK. Khi đó SC AHK suy ra SBC SCD; AH AK HAK; 60. 0 Lại có SAB SAD AH AK mà HAK 600 suy ra tam giác AHK đều. Tam giác SAB vuông tại S, có 22222 111 AH xa. AH SA AB x a Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2. SH SA AH x SH x x a SB x a Vì HK//BD suy ra 2 222222
SH HK x xa x x a SB BD x a x a a x a Qua 3 ví dụ trên,chúng ta thấy rằng, để xác định được góc giữa 2 mặt phẳng, chúng ta cần có tư duy linh hoạt, chủ động, nhãn quan sắc bén. Mời độc giả tiếp tục rèn luyện thông qua các ví dụ sau: III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng ####### 3 3 2 ####### 4 a . Gọi P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng P vàABCD.
Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )SBC và ( )MNP.
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc SC sao cho mặt phẳng MAB tạovới mặt phẳng SAB và mặt phẳng ABC các góc bằng nhau. TínhSMMC ####### . ####### A. 2 5 ####### 5 ####### . B. 5 ####### 2 ####### . C. 1 ####### 3 ####### . D. 1 ####### 2 ####### . HKCADBSCâu 11: Lăng trụ tam giác ABC A BC. có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và AA AB A C a . Gọi M là điểm trên cạnh AA sao cho 3 4 AM a. Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng MBCvà ABC là:####### A. ####### 2 ####### 2 . B. 2. C. 1 ####### 2 ####### . D. ####### 3 ####### 2 ####### . Câu 12: Xét khối chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông cân tại A,SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3. Gọi là góc giữa mặt phẳng SBC và ABC, tính coskhi thể tích khối chóp S ABC. nhỏ nhất. ####### A. cos 13. B. cos 2 ####### 2 . C. cos 3 ####### 3 . D. cos 23. ####### ĐÁP ÁN Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng ####### 3 3 2 ####### 4 a . Gọi P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng P vàABCD.
Lời giải Chọn B Gọi O tâm của hình vuông ABCD ta có SO ABCD .Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng ta có : P ABCD SC SO CSO, , Vì các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác đều có diện tích bằng ####### 3 3 2 ####### 4 a nên các cạnh của hình chóp có độ dài bằng a 3. Trong tam giác SCO vuông tại Ocó : SC a 3 ,62 2OC AC a ####### . Suy ra 0 sin 245 2 ####### CSO OC CSO ####### SC ####### Câu 3: Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông tại C; ABC 30. Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc SC sao cho mặt phẳng MAB tạovới mặt phẳng SAB và mặt phẳng ABC các góc bằng nhau. Tính SMMC ####### . ####### A. 2 5 ####### 5 ####### . B. 5 ####### 2 ####### . C. 1 ####### 3 ####### . D. 1 ####### 2 ####### . Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AC. ####### SAC ABC ####### SH AC ####### SH ABC ####### AC SAC ABC ####### SH SAC ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### . Gọi 1 là góc giữa mặt phẳng MAB và mặt phẳng ABCvà 2 là góc giữa mặt phẳng SAB với mặt phẳng ABC.Ta có: 1 d ; sin d ; ####### S MAB ####### S AB ; 2 d ; sin d ; ####### C MAB ####### C AB .Gọi K là hình chiếu của C lên AB; I là trung điểm của AK.Giả sử AC a BC a 3 ; ####### 3 ####### 2 a SH d ;C ABCK CB .sin30 3 ####### 2 a ; 3 2 4 HI CK a. Do ####### SH AB ####### SI AB ####### HI AB ####### ####### ####### nên d ; 2215####### 4 S AB SI SH HI a. Mặt khác sin sin 1 2 nên d ; d ; d ; d ; ####### S MAB C MAB ####### S AB C AB ####### d ; d ; 5 d ; d ; 2 ####### S MAB S AB ####### C MAB C AB ####### 5 ####### 2 ####### SM ####### CM ####### . I H A C B S K M Câu 4: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 60. Tam giác SAB đều vànằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC. Trên cạnh SA lấy điểm N sao cho SN NA 2. Khi đó, sin của góc giữa hai mặt phẳng DMN và ABCD bằng:####### A. 4 19 ####### 19 ####### . B. 5719 ####### . C. 34 ####### . D. 3 1919 ####### . Lời giải Chọn B Đáy ABCD là hình thoi cạnh a vàABC 60 nên tam giác ABC đều cạnh a.Gọi H là trung điểm của AB thì SH ABCD .Gọi E MN AC , AB DE Q , QN SH I . Khi đó ta có ED DMN ABCD .Xét tam giác SAC có MS EC NA.. 1 EC EA 2 ####### MC EA NS . Suy ra A là trung điểm của EC.Xét tam giác ECD có / / 1 ####### 2 ####### AQ CD AQ CD HA AQ . Và 2 AC AD AE EC CD DE HQ DE Ta có SH ABCD SH DE . Suy ra DE SHQ . Từ đó góc giữa mặt phẳng DMNvà mặt phẳng ABCD là góc HQN.Xét tam giác SHA có QA IH NS.. 1 IH 1 IH IS ####### QH IS NA IS ####### . Kẻ HK QN có sin ####### HQN HK ####### HQ ####### Ta có tam giác SAB là tam giác đều cạnh a nên 33 ####### 2 4 SHa IH a Tam giác HIK có 1 1 1 2 2 2 57 ####### 19 HK a HK HI HQ ####### Vậy sin 57 19 ####### HQN HK ####### HQ ####### . Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' ' cạnh a. Tính sin với là góc giữa hai mặt phẳngAB D' ' và BA C' '.####### A. ####### 2 2 sin 3 . B. ####### 3 sin 2 . C. ####### 3 sin 3 . D. ####### 2 sin 3 . Lời giải Chọn A Gọi I A C B D K A B AB ' ' ' ', ' '. Khi đó, IK AB D BA C ' ' ' 'Ta có, ####### ', ' ' sin ', d A AB D d A IK ####### Vì ' ' 2 2 IK A I A K a nên tam giác A IK' đều. Gọi E là trung điểm của IK ####### ', ' 6. ####### 4 d A IK A E a Gọi Hlà hình chiếu của A' trên AB D' '. Khi đó, d A AB D A H ', ' ' ' .Ta có 12 1 1 2 2 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 A H A A A B A D a a a a' ' ' ' ' ' ####### ' 3 ####### 3 A Ha Vì vậy, ####### 3 ####### ', ' ' 3 2 2 sin ', 6 3 4 a d A AB D d A IK a ####### . Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A BC. có AB2 3 và AA 2. Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh A B A C , và BC. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C vàMNP bằng####### A. 6 13 ####### 65 ####### . B. 13 ####### 65 ####### . C. 17 13 ####### 65 ####### . D. 18 13 ####### 65 ####### . Lời giải Chọn B Gọi I AC NC K AB BM , . Suy ra IK AB C MNP Ta có MN là đường trung bình của tam giác AB C MN B C IK BC// // Gọi Q là trung điểm của BC AQ B C ####### AQ IK. Vì A Q B C và AA BC nên BC AA Q IK AA QP IK EP Từ đây ta suy ra góc giữa AB C và MNP là góc giữa AQ và EP.Xét hình chữ nhật AA QP có AA 2 và A Q A B .sin60 3 AQ 13. Gọi E MN A Q nên E là trung điểm của A Q 5 2 |