Tứ diện \[ABCD\]. Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 4 điểm \[A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\].
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm . Bài 13 trang 225 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Ôn tập cuối năm Hình học
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A[1 ; 0 ; 2], B[1 ; 1 ; 0], C[0 ; 0 ; 1] và D[ 1 ; 1 ; 1].
1. Chứng minh A, B,C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.
2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
3. Viết phương trình đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D.
4. Viết phương trình mặt cầu [S] ngoại tiếp tứ diện ABCD.
5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] tại đỉnh A.
6. Xác định toạ độ của điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp[BCD].
7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
1. \[\overrightarrow {CA} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left[ {{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right],{\rm{ }}\overrightarrow {CB} {\rm{ }} = \left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }}; – 1} \right],{\rm{ }}\overrightarrow {CD} {\rm{ }} = \left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right]\]
\[ = > \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = [ – 1;2;1]\]
\[\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right].\overrightarrow {CD = } 1 \ne 0\]
=> A, B, C, D không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.
2. \[{V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right].\overrightarrow {CD} } \right| = {1 \over 6}.\]
3. Vectơ chỉ phương của đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D có thế lấy là vectơ pháp tuyến của mp[ABC] hay vectơ \[\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left[ { – 1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right].\]
Vậy đường cao đó có phương trình chính tắc là \[{{x – 1} \over { – 1}} = {{y – 1} \over 2} = {{z – 1} \over 1}.\]
4. Phương trình mặt cầu [S] ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
\[{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} – {\rm{ }}2ax{\rm{ }} – {\rm{ }}2by{\rm{ }} – {\rm{ }}2cz{\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
Do A, B, C, D thuộc [S] nên ta có hệ phương trình
Quảng cáo\[\left\{ {\matrix{ {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}4c – d – 5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b – d – 2{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr {2c – d – {\rm{ 1}} = {\rm{ }}0} \hfill \cr {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b{\rm{ }} + {\rm{ }}2c – d – 3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.} \hfill \cr } } \right.\]
Giải hệ ta có : \[a = {3 \over 2},b = – {1 \over 2},c = {1 \over 2},d = 0.\]
Vậy phương trình mặt cầu [S] là
\[{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} – 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y – z{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
Suy ra [S] có tâm là \[I\left[ {{3 \over 2}; – {1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\] và bán kính \[R{\rm{ }} = {{\sqrt {11} } \over 2}.\]
5. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] tại A có vectơ pháp tuyến là
\[\overrightarrow {AI} = \left[ {{1 \over 2}; – {1 \over 2}; – {3 \over 2}} \right] = {1 \over 2}\left[ {1; – 1; – 3} \right].\]
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
\[\matrix{ {\left[ {x{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} – {\rm{ }}\left[ {y{\rm{ }} – {\rm{ }}0} \right]{\rm{ }} – {\rm{ }}3\left[ {z{\rm{ }} – {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr { x – y – 3z{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.} \hfill \cr } \]
6. Ta viết phương trình mp[BCD], đó là mặt phẳng đi qua \[C\left[ {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\] và các vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n {\rm{ = }}\left[ {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }}; – {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right].\]
Vậy mp[BCD] có phương trình : \[x – y{\rm{ }} = 0.\]
Đường thẳng qua A và vuông góc với mp[BCD] có phương trình là
\[\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = – t \hfill \cr z = 2. \hfill \cr} \right.\]
Gọi K là giao điểm của đường thẳng này với mp[BCD], toạ độ của K là nghiệm của hệ
\[\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = – t \hfill \cr z = 2 \hfill \cr x – y = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow K = \left[ {{1 \over 2};{1 \over 2};2} \right].\]
Vì A ‘ là điểm đối xứng với A qua mp[BCD] nên ta có
\[\left\{ \matrix{ {x_{A’}} + {x_A} = 2{x_K} \hfill \cr {y_{A’}} + {y_A} = 2{y_K} \hfill \cr {z_{A’}} + {z_A} = 2{z_K} \hfill \cr} \right. \Rightarrow A’ = \left[ {0;1;2} \right].\]
7. Dễ dàng nhận thấy BD song song với mp[xOz] mà mp[xOz] chứa AC nên \[d\left[ {AC,BD} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}d\left[ {B,\left[ {xOz} \right]} \right]{\rm{ }} = 1.\]
Cho tứ diện ABCD với . Bài 51 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 2. Phương trình mặt phẳng
Cho tứ diện ABCD với A[3;5;-1], B[7;5;3], C[9;-1;5], D[5;3;-3]. Viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc nó song song với MN. Vì vậy, để mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] cách đều bốn đỉnh A, B, C, D của hình tứ diện thì :
+] Hoặc mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện. Có bốn mặt phẳng như vậy.
Quảng cáo+] Hoặc mp\[\left[ \alpha \right]\] chứa hai đường trung bình của tứ diện.Có ba mặt phẳng như vậy.
Tóm lại, ta có bảy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài là
\[\eqalign{ & x – z – 6 = 0;x + y – 10 = 0;x + 2y – z – 8 = 0;\cr&2x + y – z – 14 = 0; x – y – z – 2 = 0;\cr&2x + y + z – 16 = 0;5x + y – 2z – 28 = 0. \cr} \]
Đã gửi 02-08-2012 - 00:01
Cho tứ diện ABCD với $A[3;5;-1]$; $B[7;5;3]$; $C[9;-1;5]$; $D[5;3;-3]$. Viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Đã gửi 06-10-2012 - 22:59
Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, BC, CD, DA, AC, BD$. Dễ thấy, các mặt phẳng $[MRQ], [PQS], [NPR], [MNS]$ đều cách đều 4 đỉnh của tứ diện $ABCD$. Ta có: $M[5;5;1];N[8;2;4];P[7;1;1];Q[4;4;-2], R[6;2;2], S[6;4;0]$. Do đó: $$[MNS]: x+y-10=0$$ $$[PQS]: x-z-6=0$$ $$[NPR]: x+2y-z-8=0$$ $$[MRQ]: 5x+y-2z-28$$
Đã gửi 05-10-2016 - 23:13
Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, BC, CD, DA, AC, BD$. Dễ thấy, các mặt phẳng $[MRQ], [PQS], [NPR], [MNS]$ đều cách đều 4 đỉnh của tứ diện $ABCD$. Ta có: $M[5;5;1];N[8;2;4];P[7;1;1];Q[4;4;-2], R[6;2;2], S[6;4;0]$. Do đó: $$[MNS]: x+y-10=0$$ $$[PQS]: x-z-6=0$$ $$[NPR]: x+2y-z-8=0$$
$$[MRQ]: 5x+y-2z-28$$
nãy xem đáp án mấy trang mạng cũng bảo 4 mp. nhưng tôi tính ra 7mp cơ, xét mp chia 4 điểm thành 2 phần
TH 1: 1 điểm vs 3 điểm nằm về hai phía, sẽ có 4mp VD: qua trung điểm A và song song [BCD]
TH 2:2 điểm vs 2 điểm nằm về hai phía, sẽ có 3mp. VD: qua trung điểm AB và hai đt AD và BC
Đã gửi 13-10-2016 - 19:41
nãy xem đáp án mấy trang mạng cũng bảo 4 mp. nhưng tôi tính ra 7mp cơ, xét mp chia 4 điểm thành 2 phần
TH 1: 1 điểm vs 3 điểm nằm về hai phía, sẽ có 4mp VD: qua trung điểm A và song song [BCD]
TH 2:2 điểm vs 2 điểm nằm về hai phía, sẽ có 3mp. VD: qua trung điểm AB và song song hai đt AD và BC
vodanh1512 làm đúng rồi