Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ 1 điểm

Tiếp tuyến kẻ từ điểm [ [2;3] ] tới đồ thị hàm số y = [[3x + 4]][[x - 1]] là

Câu 55261 Vận dụng

Tiếp tuyến kẻ từ điểm $\left[ {2;3} \right]$ tới đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x + 4}}{{x - 1}}$ là

Đáp án đúng: c

Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \[{x_0}\,\,\left[ d \right]\]

Cho \[M \in \left[ d \right]\], tìm \[{x_0}\]

Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số --- Xem chi tiết

...

14:35:4227/09/2021

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C] đi qua 1 điểm cho trước, hay viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm tiếp xúc với đường tròn [C] cũng là một dạng toán trong phương  trình đường tròn mà chúng ta hay gặp.

Khối A [KhoiA] sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm trong bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua 1 điểm

Giả sử đường tròn [C] có tâm I[a; b]; bán kính R và điểm M[x0; y0]:

Viết phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua điểm M:

Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C] đi qua 1 điểm ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn [C]

- Bước 2: Tiếp tuyến [Δ] có vectơ pháp tuyến  và đi qua điểm M[x0; y0] nên [Δ] có dạng: A[x - x0] + B[y - y0] = 0 [với A2 + B2 ≠ 0]

- Bước 3: Vì [Δ] tiếp xúc với [C] nên khoảng cách: d[I;[Δ]] = R.

Giải phương trình này ta tìm được A và B.

II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn đi qua 1 điểm

* Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn [C]: x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm A[4; 6].

> Lời giải:

- Đường tròn [C] có tâm I[2; 2] và bán kính 

- Tiếp tuyến ∆ đia qua điểm A[4; 6] và có vectơ pháp tuyến  có phương trình dạng:

 A[x - 4] + B[y - 6] = 0

 ⇔ Ax + By - 4A - 6B = 0 [*]

- Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn [C] nên khoảng cách: d[I; ∆] = R

 

 

- Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào [*] ta được ∆1: x - 4 = 0.

- Nếu 4a = - 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào [*] ta được ∆2: 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0.

* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn [C]: [x - 1]2 + [y + 2]2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A[5; -2].

> Lời giải:

- Đường tròn [C] có tâm I[1; -2] và bán kính R = 2√2

- Tiếp tuyến đi qua điểm A[5; -2] và có vectơ pháp tuyến  có phương trình dạng:

 A[x - 5] + B[y + 2] = 0

 ⇔ Ax + By - 5A + 2B = 0 [*]

- Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn [C] nên khoảng cách: d[I; ∆] = R

⇔ 16A2 = 8[A2 + B2]

⇔ 8A2 = 8B2

⇔ A = B hoặc A = -B

+ Nếu A = B; ta chọn A = 1 ⇒ B = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x + y - 3 = 0

+ Nếu A = -B; chọn A = 1 thì B = -1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x - y - 7 = 0.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0.

> Lưu ý: Thường người ta phân biệt phương trình tiếp tuyến TẠI 1 điểm [tức điểm này thuộc đường tròn] và ĐI QUA 1 điểm [điểm này không thuộc đường tròn].

Tuy nhiên, đôi khi vẫn xảy ra trường hợp yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm nhưng điểm này lại thuộc đương tròn như câu b] bài 6 trang 84 SGK Hình học 10 sau đây.

* Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10: Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0.

b] Viết phương trình tiếp tuyến với [C] đi qua điểm A[-1; 0].

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ [x2 – 4x + 4] + [y2 + 8y + 16] = 25

⇔ [x – 2]2 + [y + 4]2 = 25.

Vậy [C] có tâm I[2; –4], bán kính R = 5.

- Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:

[–1 – 2]2 + [0 + 4]2 = 32 + 42 = 52= R2

⇒ A thuộc đường tròn [C]

Nên tiếp tuyến [d'] cần tìm tiếp xúc với [C] tại A, ta áp dụng các viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn.

⇒ [d'] là đường thẳng đi qua A[-1; 0] và vuông góc với IA nên nhận

 là VTPT.

⇒ phương trình [d'] có dạng: 3[x + 1] – 4[y - 0]= 0

⇔ 3x – 4y + 3 = 0.

Như vậy, ta dễ dàng kiểm tra nhanh xem điểm đó có thuộc đường tròn hay không bằng cách thay tọa độ điểm đó vào PT đường tròn để biết cách vận dụng viết PTTT tại 1 điểm hay đi qua 1 điểm.

> Lưu ý: Qua 1 điểm cho trước [điểm này không thuộc đường tròn] ta luôn tìm được 2 phương trình đường thẳng đi qua điểm này và tiếp xúc với đường tròn.

Như vậy KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đương tròn đi qua 1 điểm, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C]: y = f[x] đi qua điểm M[x1; y1]

Cách 1 :

Liên quan: viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm

– Phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :

y = k[ x – x1] + y1.

– [d] tiếp xúc với đồ thị [C] tại N[x0; y0] khi hệ:

có nghiệm xo

Cách 2 :

– Gọi N[x0; y0] là tọa độ tiếp điểm của đồ thị [C] và tiếp tuyến [d] qua điểm M, nên [d] cũng có dạng y = y’0[x – x0] + y0.

– [d] đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0′[x1 – x0] + y0 [*]

– Từ phương trình [*] ta tìm được tọa độ điểm N[x0; y0] , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng [d]

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = 2×3 – 3×2 + 5 có đồ thị là [C]. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A [19/12; 4] và tiếp xúc với đồ thị [C] của hàm số.

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = 6×2 – 6x

Gọi M[x0; y0]∈[C]⇔ y0 = 2×03 – 3×02 + 5 và y'[x0] = 6×02 – 6×0

Phương trình tiếp tuyến Δ của [C] tại M có dạng:

y – y0 = y’[x0][x – x0]

⇔ y – 2×03 + 3×02 – 5 = [6×02 – 6×0][x – x0 ]

⇔ [6×02- 6×0]x – 4×03 + 3×03 + 5 = y

A ∈ Δ ⇔4 =[6×02 – 6×0].[19/12] – 4×03 + 3×03 + 5

⇔8×03 – 25×02 + 19×0 – 2 = 0

⇔x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8

Với x0 = 1 ⇒ Δ:y = 4

Với x0 = 2 ⇒ Δ:y = 12x – 15

Với x0 = 1/8 ⇒ Δ:y = [-21/32]x + 645/128

Bài 2: Cho hàm số:

có đồ thị là [C] và điểm A[0; m]. Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến [C] sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R{1}

Gọi điểm M[x0; y0].

Ta có y’ = -3/[x-1]2

Tiếp tuyến Δ tại M của [C] có phương trình:

Vì tiếp tuyến qua A[0; m] nên ta có:

Yêu cầu bài toán ⇔ [*] có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Khi đó:

Ta có: [*] có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Vậy 1 ≠ m > [-2/3] là những giá trị cần tìm

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2×2 + [m – 1]x + 2m có đồ thị là [Cm]. Tìm m để từ điểm M[1; 2] vẽ đến [Cm] đúng hai tiếp tuyến.

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = 3×2 – 4x + m-1. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y =[3a2-4a+m-1][x-a] + a3-2×2+[m-1]a+2m

Vì M ∈ Δ ⇔2 = [3a2-4a+m-1][1-a] + a3-2×2+[m-1]a+2m

⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0 [*]

Yêu cầu bài toán tương đương với [*] có đúng hai nghiệm phân biệt. [1]

Xét hàm số: h[t] = 2t3+5t2-4t, t∈R.

Ta có: h’[t] = 6t2+10t-4. Cho h’[t] = 0 ⇒

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra [1]

⇒

là những giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho hàm số y = [1/3]x3-2×2+3x có đồ thị là [C]. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A[4/9; 4/3] và tiếp xúc với đồ thị [C] của hàm số.

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = x2-4x+3. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x

Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3

Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [-5/9]x + 128/81

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

, biết tiếp tuyến đi qua điểm M[6;4]

Hướng dẫn:

Ta có:

Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [3/4]x – 1/2

Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị [C]:

biết d đi qua điểm A[-6; 5]

Hướng dẫn:

Ta có:

Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [-1/4][x-6] + 2 = [-1/4]x + 7/2

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của [C]: y = x3 – 2×2 + x + 4 đi qua điểm M[ -4; -24]

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = 3×2-4x+1. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y = [3a2-4a+1][x-a]+a3-2a2+a+4

Vì A[-4; -24] ∈ Δ ⇔ -24 = [3a2-4a+1][-4-a]+a3-2a2+a+4

⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔

Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133[x+6]-240 = 133x+508

Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5[x-2]+6 = 5x-10

Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8[x+1]+2 = 8x+10

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số

tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm [-6; 5] là

Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm [2; 3] tới đồ thị hàm số

là:

A. y = -28x + 59; y = x + 1

B. y = -24x + 51; y = x + 1

C. y = -28x + 59

D. y = – 28x + 59; y = -24x + 51

Bài 3: Cho hàm số

có đồ thị [C]. Phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua điểm A[- 1; 0] là:

A.y = [3/4]x

B. y = [3/4][x+1]

C. y = 3[x + 1]

D. y = 3x + 1

Bài 4: Qua điểm A[0; 2] có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 – 2×2 + 2

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Bài 5: Cho hàm số y = – x4 + 2×2 có đồ thị [C]. Xét hai mệnh đề:

[I] Đường thẳng Δ: y = 1 là tiếp tuyến với [C] tại M[-1; 1] và tại N[1; 1]

[II] Trục hoành là tiếp tuyến với [C] tại gốc toạ độ

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ [I]

B. Chỉ [II]

C. Cả hai đều sai

D. Cả hai đều đúng

Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6×2 + 9x – 1 có đồ thị là [C]. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến [C]:

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0

Bài 7: Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng

A. 1 hoặc -1

B. 4 hoặc 0

C. 2 hoặc -2

D.3 hoặc -3

Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5?

A. m = -3 B. m = 3 C. m = -1 D. m = 2

Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của [C]: y = x3 biết nó đi qua điểm M[2; 0] là:

A. y = 27x ± 54

B. y = 27x – 9; y = 27x – 2

C. y = 27x ± 27

D. y = 0; y = 27x – 54

Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị [C]. Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với [C] thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:

A. M[4; 12] B. M[- 4; 12] C. M[-4; – 12] D. M[ 4; – 12]

Bài 11: Cho hàm số

có đồ thị [C]. Từ điểm M[2; -1] có thể kẻ đến [C] hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. y = -x + 1 và y = x – 3

B. y = 2x – 5 và y = -2x + 3

C. y = -x – 1 và y = – x + 3

D. y = x + 1 và y = – x – 3

Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 6x + 1 [C]. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] trong các phương trình sau, biết tiếp tuyến đi qua điểm N[0; 1].

Bài 13: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C], biết tiếp tuyến đi qua điểm M[-1; 3].

A. y = -6x – 2

B. y = -6x – 9

C. y = -6x – 3

D. y = -6x – 8

Bài 14: Cho hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến của [C], biết tiếp tuyến đi qua điểm A[4; 3]

Bài 15: Cho hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến đi qua A[ – 7; 5].

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
• Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án [phần 1]
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án [phần 2]

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Danh mục: Tin Tức

Nguồn: //banmaynuocnong.com

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại banmaynuocnong.com

• Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán 11 có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa 11 có đáp án chi tiết
• Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý 11 có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác