Trong loạt series chia sẽ kiến thức từ Trung Tâm Gia Sư Trí Việt, bài viết hôm nay chúng tôi sẽ chia sẽ kiến thức toán cơ bản về hàm mũ và logarit. Nhằm giúp bạn đọc hiểu thêm về các công thức tính hàm mũ và logarit.
Đang xem: Công thức logarit hóa
Trong toán học, logarit là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Điều đó có nghĩa logarit của một số là số mũ của một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên lũy thừa để tạo ra con số đó. Trong trường hợp đơn giản logarit là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân. Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3, vì 10 mũ 3 là 1000 [1000 = 10 × 10 × 10 = 103]; phép nhân được lặp đi lặp lại ba lần. Tổng quát hơn, lũy thừa cho phép bất kỳ số thực dương nào có thể nâng lên lũy thừa với số mũ thực bất kỳ, luôn luôn tạo ra một kết quả là số dương, vì vậy logarit có thể được tính toán cho bất kỳ hai số dương thực a và b trong đó a≠1.
Tóm tắt nội dung
1 Quy tắc tính logarit
Định Nghĩa Logarit
Cho hai số dương a và b với a≠1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.
Xem thêm: Thuê Bao Tiếng Anh Là Gì ? Thuê Bao Trả Sau Tiếng Anh Là Gì
|
John Napier là người phát minh ra logarit. Thuật ngữ “logarit” do ông đề nghị xuất phát từ sụ kết hợp hai từ Hy Lạp λόγoς [đọc là “logos” có nghĩa là tỉ số] và ‘αρiθμ ός [đọc là “aritmos” nghĩa là số] |
Quy tắc tính logarit
logarit của một tích
Cho ba số dương a, b, c với a ≠ 1, ta có:
Nhờ quy tắc này mà nhiều thế kỷ trước các nhà toán học và kỹ thuật có thể sử dụng bảng logarit để thực hiện phép nhân hai số thông qua phép cộng logarit, do phép cộng thì dễ tính hơn phép nhân. Nhà toán học John Napier đã phát minh ra phép tính này ở thế kỷ 17.
Để sử dụng bảng logarit, người ta thường đưa về logarit cơ số a = 10, gọi là logarit thập phân để thuận tiện cho tra bảng và tính toán. logarit tự nhiên lấy hằng số e [xấp xỉ bằng 2,718] làm cơ số, và nó được sử dụng rộng rãi trong toán thuần túy. Logarit nhị phân với cơ số bằng 2 được sử dụng trong khoa học máy tính.
Xem thêm: Cách Tải Plants Vs Zombies Garden Warfare 2, Plants Vs Zombies: Garden Warfare 2
Thang logarit cho phép thu hẹp các đại lượng về phạm vi nhỏ hơn. Ví dụ, độ Richter đo năng lượng của động đất cũng sử dụng thang đo logarit, savart là đơn vị logarit đo cao độ âm thanh, decibel là đơn vị logarit đo áp suất âm thanh. logarit cũng thường gặp trong các công thức khoa học và kỹ thuật, như đo độ phức tạp của thuật toán và fractal, thậm chí trong công thức đếm số nguyên tố.
logarit của một lũy thừa
Cho hai số dương a, b; với a ≠ 1. Với mọi α ta có: logabα = αlogab
Xem bảng tổng hợp công thức mũ và logarit tại đây:
Chuyên đề công thức logarit là một trong những câu hỏi dễ kiếm điểm, chính bởi vậy mà bạn cần lấy điểm tuyệt đối ở chuyên đề này. Để hệ thống và ôn luyện kiến thức giúp bạn có thể có 1 kỳ thi đại học đạt kết quả cao, bạn cũng có thể tham khảo dịch vụ gia sư luyện thi đại học ở phía dưới:
Gia sư luyện thi đại học tại tphcm
Xem video công thức logarit tại đây:
Nâng cao kỹ năng giải toán trắc nghiệm 100% dạng bài mũ – logarit, số phức – Tô Thị Nga
Nội dung sách:Chuyên đề 1. Mũ – LogaritVấn đề 1. Lũy thừa – Mũ – Logarit+ Chủ đề 1. Lũy thừa – Logarit+ Chủ đề 2. Hàm số mũ và hàm số logaritVấn đề 2. Phương trình mũ và logaritVấn đề 3. Bất phương trình mũ và logarit1. Phương pháp đưa về cùng cơ số2. Phương pháp mũ hóa, logarit hóa3. Phương pháp đặt ẩn phụ4. Giải bất phương trình mũ – logarit bằng phương pháp hàm số5. Giải bất phương trình mũ – logarit bằng phương pháp đánh giá – bất đẳng thứcVấn đề 4. Hệ phương trình và hệ bất phương trình mũ – logarit+ Dạng 1. Giải hệ mũ – logarit bằng phương pháp biến đổi tương đương+ Dạng 2. Giải hệ mũ – logarit bằng cách đặt ẩn phụ+ Dạng 3. Giải hệ mũ – logarit bằng phương pháp hàm số+ Dạng 4. Giải hệ mũ – logarit bằng phương pháp đánh giá bất đẳng thứcChuyên đề 2. Số phứcVấn đề 1. Số phứcVấn đề 2. Các bài toán về biểu diễn hình học của số phứcVấn đề 3. Tìm số phức có mô-đun lớn nhất, nhỏ nhấtVấn đề 4. Căn bậc hai của số phức và phương trình căn bậc hai – Các phương trình quy về bậc hai – Hệ phương trìnhVấn đề 5. Dạng lượng giác của số phức
Phương trình dạng: ${{a}^{f\left[ x \right]}}={{a}^{g\left[ x \right]}}$, với $a.b=1\,\left[ 1\ne a;b>0 \right]$ ta sẽ giải như sau:
Lấy logarit 2 vế với cơ số a ta được: ${{\log }_{a}}{{a}^{f\left[ x \right]}}={{\log }_{a}}{{a}^{g\left[ x \right]}}\Leftrightarrow f\left[ x \right]=g\left[ x \right]{{\log }_{a}}b$
Một số bài tập trắc nghiệm để biết Cách chọn cơ số trong phương pháp logarit hóa
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a] ${{7}^{x}}{{.27}^{\left[ 1-\frac{1}{x} \right]}}=3087$ b] ${{8}^{\frac{x}{x+2}}}={{36.3}^{2-x}}$ |
Lời giải chi tiết
a] ĐK: $x\ne 0$.Ta có: ${{7}^{x}}{{.27}^{\left[ 3\frac{x-1}{x} \right]}}={{7}^{3}}{{.3}^{2}}\Leftrightarrow {{7}^{x-3}}={{3}^{2-\frac{3x-3}{x}}}\Leftrightarrow {{7}^{x-3}}={{3}^{\frac{-x+3}{x}}}$
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được: ${{\log }_{3}}{{7}^{x-3}}={{\log }_{3}}{{3}^{\frac{-x+3}{x}}}$
$\Leftrightarrow \left[ x-3 \right]{{\log }_{3}}7=-\frac{x-3}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} {{\log }_{3}}7=-\frac{1}{x} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=\frac{-1}{{{\log }_{3}}7} \\ \end{array} \right.$
b] ĐK: $x\ne -2$, $PT\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3x}{x+2}}}={{2}^{2}}{{.3}^{2}}{{.3}^{2-x}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3x}{x+2}-2}}={{3}^{4-x}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3x}{x+2}}}={{3}^{4-x}}$
Logarit cơ số 2 cả 2 vế ta được: $\frac{x-4}{x+2}=\left[ 4-x \right]{{\log }_{2}}3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=4 \\ {} \frac{1}{x+2}=-{{\log }_{2}}3\Leftrightarrow x=-2-{{\log }_{3}}2 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: $x=4;x=-2-{{\log }_{3}}2$.
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a]${{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}=72$ b] ${{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}}=1$ c] ${{7}^{3x}}+{{9.5}^{2x}}={{5}^{2x}}+{{9.7}^{3x}}$ |
Lời giải chi tiết
a] ${{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}=72\Leftrightarrow \frac{{{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}}{9.8}=1\Leftrightarrow {{3}^{x-2}}{{.2}^{x-2}}=1\Leftrightarrow {{6}^{x-2}}=1\to x=2$
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.
b] ${{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}}=1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ {{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}} \right]={{\log }_{3}}1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{5}^{x}}+{{\log }_{3}}{{3}^{{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow x{{\log }_{3}}5+{{x}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow x\left[ {{\log }_{3}}5+x \right]=0\to \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=-{{\log }_{3}}5 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0$ và $x=-{{\log }_{3}}5$.
c] ${{7}^{3x}}+{{9.5}^{2x}}={{5}^{2x}}+{{9.7}^{3x}}\Leftrightarrow {{8.7}^{3x}}={{8.5}^{2x}}\Leftrightarrow {{7}^{3x}}={{5}^{2x}}\Leftrightarrow \lg \left[ {{7}^{3x}} \right]=\lg \left[ {{5}^{2x}} \right]\Leftrightarrow 3x.\lg 7-2x.\lg 5=0$
$\to x\left[ 3\lg 7-2\lg 5 \right]=0\Leftrightarrow x=0$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=0$.
| Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a] ${{5}^{x}}{{.8}^{\frac{x+1}{x}}}=500$ b] ${{5}^{x}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x+1}}}=50$ |
Lời giải chi tiết
a] ${{5}^{x}}{{.8}^{\frac{x+1}{x}}}=500$ , [1] Điều kiện: $x\ne 0$
$\left[ 1 \right]\Leftrightarrow {{5}^{x}}{{.2}^{3\frac{x+1}{x}}}={{5}^{3}}{{.2}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{\frac{x-3}{x}}}={{5}^{3-x}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{2}^{\frac{x-3}{x}}} \right]={{\log }_{2}}\left[ {{5}^{3-x}} \right]\Leftrightarrow \frac{x-3}{x}=\left[ 3-x \right]{{\log }_{2}}5$
$\Leftrightarrow \left[ x-3 \right]\left[ \frac{1}{x}+{{\log }_{2}}5 \right]=0\to \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=-\frac{1}{{{\log }_{2}}5}=-{{\log }_{5}}2 \\ \end{array} \right.$
b] ${{5}^{x}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x+1}}}=50$ , [2] Điều kiện: $x\ne -1$
$\left[ 2 \right]\Leftrightarrow {{5}^{x}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x+1}}}={{5}^{2}}.2\Leftrightarrow {{5}^{x-2}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x-1}-1}}=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{5}^{x-2}}{{.2}^{\frac{2x-1}{x-1}-1}} \right]={{\log }_{2}}1=0$
$\frac{2x-1}{x+1}-1+\left[ x-2 \right]{{\log }_{2}}5=0\Leftrightarrow x-2+\left[ x-2 \right]\left[ x+1 \right]{{\log }_{2}}5=0\to \left[ \begin{array} {} x-2=0 \\ {} 1+\left[ x+1 \right]{{\log }_{2}}5=0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-\frac{\left[ 1+{{\log }_{2}}5 \right]}{{{\log }_{2}}5}=-\frac{1}{\lg 5} \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2;x=-\frac{1}{\lg 5}$.
| Bài tập 4: Giải các phương trình sau
a] ${{2}^{x-3}}={{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}$ b] ${{x}^{2\lg x}}=10x$ |
Lời giải chi tiết
a] ${{2}^{x-3}}={{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{2}^{x-3}} \right]={{\log }_{2}}\left[ {{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}} \right]\Leftrightarrow x-3=\left[ {{x}^{2}}-5x+6 \right]{{\log }_{2}}5$
$\Leftrightarrow \left[ x-3 \right]\left[ 1-\left[ x-2 \right]{{\log }_{2}}5 \right]=0\to \left[ \begin{array} {} x-3=0 \\ {} x+{{\log }_{2}}5=1+2{{\log }_{2}}5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=\frac{{{\log }_{2}}50}{{{\log }_{2}}5}={{\log }_{2}}50 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=3;x={{\log }_{5}}50$
b] ${{x}^{2\lg x}}=10x$ , [4]. Điều kiện: $x>0$
$\left[ 4 \right]\Leftrightarrow \lg \left[ {{x}^{2\lg x}} \right]=\lg \left[ 10x \right]\Leftrightarrow 2{{\lg }^{2}}x-\lg x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \lg x=1 \\ {} \lg x=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=10 \\ {} x=\sqrt{10} \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=10;x=\sqrt{10}$
| Bài tập 5: Gọi ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{2}^{x-3}}={{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}$. Tính $P=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$
A. $P={{\log }_{3}}\frac{3}{2}$. B. $P={{\log }_{3}}\frac{2}{3}$. C. $P={{\log }_{3}}\frac{9}{4}$. D. $P={{\log }_{3}}\frac{4}{9}$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được: $\left[ x-3 \right]{{\log }_{3}}2=\left[ {{x}^{2}}-5x+6 \right]$
$\Leftrightarrow \left[ x-3 \right]{{\log }_{3}}2=\left[ x-3 \right]\left[ x-2 \right]\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x-2={{\log }_{3}}2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=2+{{\log }_{3}}2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$
Suy ra $P=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\left| 1-{{\log }_{3}}2 \right|={{\log }_{3}}\frac{3}{2}$. Chọn A.
| Bài tập 6: Gọi ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}={{2}^{x-3}}$. Biết ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$, tính $P=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}$
A. $P=4-{{\log }_{2}}5$. B. $P=4-{{\log }_{5}}2$. C. $P=1-{{\log }_{5}}2$. D. $P=1+{{\log }_{5}}2$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được: $\left[ {{x}^{2}}-5x+6 \right]=\left[ x-3 \right]{{\log }_{5}}2$
$\Leftrightarrow \left[ x-2 \right]\left[ x-3 \right]=\left[ x-3 \right]{{\log }_{2}}5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x-2={{\log }_{5}}2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=2+{{\log }_{5}}2 \\ \end{array} \right.$
Vì ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ nên ${{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=2+{{\log }_{5}}2\Rightarrow P=6-\left[ 2+{{\log }_{5}}2 \right]=4-{{\log }_{5}}2$. Chọn B.
| Bài tập 7: Biết tổng các nghiệm của phương trình ${{2}^{x+3}}={{5}^{{{x}^{2}}+2x-3}}$ bằng $a+b{{\log }_{5}}2$ với $\left[ a;b\in \mathbb{Z} \right]$. Tính $a+b$
A. $a+b=1$. B. $a+b=-1$. C. $a+b=-5$. D. $a+b=5$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được: $\left[ x+3 \right]{{\log }_{5}}2={{x}^{2}}+2x-3=\left[ x-1 \right]\left[ x+3 \right]$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-3 \\ {} x-1={{\log }_{5}}2\Leftrightarrow x=1+{{\log }_{5}}2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2+{{\log }_{5}}2\Rightarrow a=-2;b=1\Rightarrow a+b=-1$. Chọn B.