10:38:5419/07/2021
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là bài toán các em rất hay gặp trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia, vì vậy đừng bỏ lỡ khi gặp dạng này nhé.
Bài này sẽ giúp các em biết cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [trong miền giá trị].
• Bài tập cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
I. Định nghĩa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số y = f[x] xác định trên tập D.
• Số M là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số f[x] trên D nếu f[x] ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f[x0] = M.
Ký hiệu:
• Số m là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số f[x] trên D nếu f[x] ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f[x0] = m.
Ký hiệu:
* Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
trên khoảng [0;+∞]
> Lời giải:
- Trên khoảng [0;+∞], ta có:
- Bảng biến thiên:
Vậy tại x = 1. Không tồn tại giá trị lớn nhất của f[x] trên khoảng [0;+∞].
II. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
• Định lý:
- Hàm số liên tục trên một đoạn thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a ; b]
+ Bước 1: Tìm các điểm xi ∈ [a ; b][i = 1, 2, . . . , n] mà tại đó f'[xi] = 0 hoặc f'[xi] không xác định.
+ Bước 2: Tính f[a], f[b], f[xi] [i = 1, 2, . . . , n] .
+ Bước 3: Tìm
> Chú ý: Cũng như ở mục I. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f[x] xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
- Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất [các em lưu ý sự khác biệt một khoảng và một đoạn].
* Ví dụ 1: Cho hàm số:
có đồ thị như Hình 10 [hình dưới]. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính.
> Lời giải:
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2.
Thay x = -2 vào hàm số y đã cho ta có giá trị nhỏ nhất là -2.
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2,3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3.
Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3.
* Ví dụ 2: Lập bảng biến thiên hàm số
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f[x] trên tập xác định.
> Lời giải:
- TXĐ: D = R.
- Ta có: y' = 2x/[1 + x2]2 . Cho y' = 0 thì x = 0.
- Bảng biến thiên:
Trên đây là nội dung lý thuyết về Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn. KhoiA hy vọng các em đã hiểu rõ và có thể vận dụng giải các bài tập liên quan, chúc các em học tốt. Mọi góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết.
Tags
Bài viết khác
- Công thức tính khoảng vân, Công thức xác định vị trí vân sáng, thí nghiệm Y-âng: Giao thoa ánh sáng - Vật lý 12 bài 25
- Hiện tượng tán sắc ánh sáng là gì? Thí nghiệm tán sắc ánh sáng của Niu-tơn và ứng dụng - Vật lý 12 bài 24
- Bài tập Crom [Cr] và hợp chất của Cr: Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5 trang 155 SGK Hóa 12 bài 34
- Thuyết điện từ Maxwell [Mắc xoen], Mối quan hệ giữa điện trường và từ trường, Điện trường xoáy - Vật lý 12 bài 21
- Bài tập Điện từ trường: Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 111 SGK Vật lí 12 bài 21
- Bài tập Sóng điện từ: Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 122 SGK Vật lí 12 bài 22
- Đặc điểm của Sóng điện từ là gì? Sóng vô tuyến là gì? Sự phản xạ của các sóng ngắn trên tầng điện li - Vật lý 12 bài 22
- Bài tập Nhôm [Al] và hợp chất của Al: Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 128, 129 SGK Hóa 12 bài 27
- Bài tập Kim loại kiềm thổ và hợp chất của kim loại kiềm thổ: Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 trang 118, 119 SGK Hóa 12 bài 26
- Bài tập Kim loại kiềm và hợp chất kim loại loại kiềm: Giải bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 111 SGK Hóa 12 bài 25
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = x{e^x}\] trên đoạn \[\left[ {1;2} \right]\].
A.
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 2{e^2}\]
B.
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = e\]
C.
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 1\]
D.
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 2\]
Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Quy tắc tìm] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cùng tổng hợp lại các kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng
Xét hàm số y = f[x] xác định trên tập D, ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f[x] trên D nếu:
\[\left\{ \begin{array}{l} f[x] \le M,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f[{x_0}] = M \end{array} \right.\].
Kí hiệu: \[M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f[x]\].
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D nếu:
\[\left\{ \begin{array}{l} f[x] \ge m,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f[{x_0}] = m \end{array} \right.\].
Kí hiệu: \[m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f[x]\].
II. QUY TẮC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
Xét hàm số y = f[x] xác định trên tập D:
Bước 1: Tính f′[x] và tìm các điểm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D\] mà tại đó f′[x]=0 hoặc hàm số không có đạo hàm.
Bước 2: Lập bảng biến thiên cho hàm số và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên đoạn [a; b], xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]:
Bước 1: Tính f′[x] và tìm các điểm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D\] mà tại đó f′[x]=0 hoặc hàm số không có đạo hàm.
Bước 2: Tính các giá trị \[f\left[ a \right],f\left[ {{x}_{1}} \right],f\left[ {{x}_{2}} \right],...,f\left[ {{x}_{n}} \right],f\left[ b \right].\].
Bước 3: Khi đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b] thuộc các giá trị vừa tính trên:
- \[\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f\left[ x \right]=\text{max}\left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right],f\left[ {{x}_{2}} \right],...,f\left[ {{x}_{n}} \right],f\left[ a \right],f\left[ b \right] \right\}.\].
- \[\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{min}}}\,f\left[ x \right]=\text{min}\left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right],f\left[ {{x}_{2}} \right],...,f\left[ {{x}_{n}} \right],f\left[ a \right],f\left[ b \right] \right\}.\].
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên đoạn [a; b], xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]:
Bước 1: Tính f′[x] và tìm các điểm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D\] mà tại đó f′[x]=0 hoặc hàm số không có đạo hàm sao cho \[a\le x_1 < x_2