07:36:0907/03/2021
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về Đa thức, Bậc của đa thức là gì? Cách thu gọn đa thức qua bài viết này để giải đáp thắc mắc trên.
1. Đa thức là gì?
- Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
* Ví dụ: Đa thức: 5x2 - 3y2 + 9xy -7y có các hạng tử là 5x2; -3y2; 9xy; -7y;
> Nhận xét:
- Mỗi đa thức là một biểu thức nguyên.
- Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.
2. Thu gọn đa thức là gì? cách thu gọn đa thức
- Nếu trong đa thức có chứa các đơn thức đồng dạng thì ta thu gọn các đơn thức đồng dạng đó để được một đa thức thu gọn.
- Đa thức được gọi là đã thu gọn nếu trong đa thức không còn hai hạng tử nào đồng dạng.
* Ví dụ: Thu gọn đa thức sau:
* Lời giải:
- Ta thực hiện nhóm các hạng tử đồng dạng và thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng này để thu gọn đa thức, ta được:
→ Thu gọn đa thức: là làm cho đa thức không còn hạng tử nào đồng dạng với nhau.
→ Cách thu gọn đa thức: Ta cần nhóm các hạng tử đồng hạng và thực hiện các phép cộng các hạng tử đồng hạng này.
3. Bậc của đa thức là gì? cách tìm bậc của đa thức
• Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
* Ví dụ: Tìm bậc của đa thức sau:
* Lời giải:
- Ta có:
Đa thức này có 3 hạng tử là:
2 có bậc 0;
- Hạng tử có bậc cao nhất là có bậc 4;
- Vậy Bậc của đa thức Q là 4.
• Như vậy, để tìm bậc của đa thức trước ta ta phải rút gọn đa thức, rồi tìm hạng tử có bậc cao nhất.
4. Bài tập vận dụng cách thu gọn đa thức và tìm bậc đa thức
* Bài 24 trang 38 SGK Toán 7 tập 2: Ở Đà Lạt, giá táo là x[đ/kg] và giá nho là y[đ/kg]. Hãy viết biểu thức đại số biểu thị số tiền mua:
a] 5kg táo và 8 kg nho.
b] 10 hộp táo và 15 hộp nho, biết mỗi hộp táo có 12kg và mỗi hộp nho có 10kg.
Mỗi biểu thức tìm được ở hai câu trên có là đa thức không?
* Lời giải:
a] 1kg táo có giá x đồng. Vậy mua 5kg táo hết 5.x [đồng].
1kg nho giá y đồng. Vậy mua 8kg nho hết 8y [đồng].
Vậy, mua 5kg táo và 8kg nho hết số tiền là: T1 = 5x + 8y [đồng].
b] Mỗi hộp táo có 12 kg nên 10 hộp có 10.12 = 120 kg táo.
1kg táo có giá là x đồng. Vậy mua 12 hộp táo hết 120.x [đồng].
Mỗi hộp nho có 10 kg nên 15 hộp có 10.15 = 150kg nho.
1kg nho có giá là y đồng. Vậy mua 15 hộp nho hết 150.y [đồng].
Vậy, mua 10 hộp táo và 15 hộp nho hết số tiền là: T2 = 120x + 150y [đồng].
Các biểu thức T1, T2 đều là đa thức [Vì là tổng của những đơn thức]
* Bài 25 trang 38 SGK Toán 7 tập 2: Tìm bậc của mỗi đa thức sau:
a]
b]
* Lời giải:
- Cách làm: trước hết rút gọn đa thức, sau đó tìm hạng tử có bậc cao nhất ⇒ bậc của đa thức.
a]
Đa thức này có 3 hạng tử: 2x2 có bậc 2; [3/2]x có bậc 1; 1 có bậc 0;
⇒ Hạng tử 2x2 bậc 2 là bậc cao nhất nên đa thức có bậc 2.
b]
Đa thức sau khi rút gọn có 1 hạng tử là 10x3 có bậc 3 nên đa thức có bậc 3.
* Bài 26 trang 38 SGK Toán 7 tập 2: Thu gọn đa thức sau:
Q = x2 + y2 + z2 + x2 – y2 + z2 + x2 + y2 – z2
* Lời giải:
Q = x2 + y2 + z2 + x2 – y2 + z2 + x2 + y2 – z2
Q = [x2 + x2 + x2] + [y2 – y2 + y2] + [z2 – z2 + z2]
Q = 3x2 + y2 + z2
- Bậc của đa thức này là 2;
* Bài 27 trang 38 SGK Toán 7 tập 2: Thu gọn rồi tính giá trị của đa thức P tại x = 0,5 và y = 1:
* Lời giải:
- Thu gọn đa thức:
- Tính giá trị của đa thức với x = 0,5 = 1/2 và y = 1, thay vào ta được:
Vậy P = -9/4 tại x = 0,5 và y = 1.
* Bài 28 trang 38 SGK Toán 7 tập 2: Ai đúng? Ai sai?
Bạn Đức đố: "Bậc của đa thức M = x6 – y5 + x4y4 + 1 bằng bao nhiêu?"
Bạn Thọ nói: "Đa thức M có bậc là 6".
Bạn Hương nói: "Đa thức M có bậc là 5".
Bạn Sơn nhận xét: “ Cả hai bạn đều sai”
Theo em, ai đúng? Ai sai? Vì sao ?
* Lời giải:
Đa thức M có 3 hạng tử và bậc của chúng lần lượt là:
x6 có bậc 6
– y5 có bậc 5
x4y4 có bậc 4+4 = 8
Bậc 8 là bậc cao nhất
⇒ Đa thức M là đa thức bậc 8
Như vậy :
- Bạn Thọ và Hương nói sai.
- Nhận xét của bạn Sơn là đúng
- Câu trả lời đúng : Đa thức M có bậc là 8.
Tóm lại, với bài viết này ghi nhớ các kiến thức để trả lời được câu hỏi đa thức là gì? bậc của đa thức là gì? và cách thu gọn đa thức thực hiện như thế nào.
10:42:4807/03/2021
Cụ thể đa thức một biến là gì? cách sắp xếp đa thức một biến như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này.
1. Đa thức một biến là gì?
- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.
* Ví dụ: Các đa thức sau là đa thức một biến:
> Lưu ý: Một số cũng được coi là đa thức một biến.
2. Bậc của đa thức một biến
- Bậc của đa thức một biến khác đa thức không [đã thu gọn] là số mũ lớn nhất của biến có trong đa thức đó.
* Ví dụ: Tìm bậc của đa thức A[x] và B[y] sau:
* Lời giải:
- Ta có:
Đa thức A[x] có 5 hạng tử là: 9x5 có bậc 5; 5x3 có bậc 3; -3x2 có bậc 2; 2x có bậc 1; 3/5 có bậc 0;
Mà bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất [9x5 là 5] nên bậc của đa thức A[x] là 5.
- Ta có :
Đa thức B[y] có 3 hạng tử là: 3y3 có bậc 3; – 3y có bậc 1; 1/2 có bậc 0;
Mà bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất [3y3 là 3] nên bậc của đa thức B[y] là 3.
> Lưu ý: Trước khi tìm bậc của đa thức một biến chúng ta cần sắp xếp và rút gọn đa thức để tránh nhầm lẫn.
3. Cách sắp xếp đa thức một biến
- Nhằm thuận tiện trong tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến. [Trong các tính toán, chúng ta thường sắp xếp theo lũy thừa giảm dần]
* Ví dụ: Đối với đa thức: P[x] = 6x + 3 - 6x2 + x3 + 2x4
Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến ta được:
P[x] = 2x4 + x3 - 6x2 + 6x + 3
và theo lũy thừa tăng của biến, ta được:
P[x] = 3 + 6x - 6x2 + x3 + 2x4
> Lưu ý: Để sắp xếp các hạng tử của đa thức, trước tiên ta phải thu gọn đa thức đó.
4. Hệ số và cach tính giá trị của đa thức một biến
• Hệ số của đa thức
- Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất.
- Hệ số tự do là số hạng không chứa biến.
* Ví dụ: Xét đa thức: P[x] = 6x5 + 7x3 - 3x + 1/2
Ta nói 6 là hệ số của lũy thừa bậc 5 [hệ số cao nhất của số hạng cao nhất]; 7 là hệ số của lũy thừa bậc 3; -3 là hệ số của lũy thừa bậc 1; 1/2 là hệ số của lũy thừa bậc 0 [hệ số tự do].
• Cách tính giá trị của đa thức một biến.
- Giá trị của đa thức f[x] = a được kí hiệu là f[a] có được bằng cách thay x = a vào đa thức f[x] rồi thu gọn lại.
* Ví dụ: Tính giá trị của đa thức P[x] = 6x5 + 7x3 - 3x + 1/2 tại x = 1;
* Lời giải:
- Ta tính P[2] = 6.[1]5 + 7.[1]3 - 3.1 + 1/2 = 6 + 7 - 3 + 1/2 = 21/2.
5. Bài tập về đa thức một biến
* Bài 39 trang 43 SGK Toán 7 tập 2: Cho đa thức: P[x] = 2 + 5x2 – 3x3 + 4x2 – 2x – x3 + 6x5
a] Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P[x] theo lũy thừa giảm của biến.
b] Viết các hệ số khác 0 của đa thức P[x].
* Lời giải:
a] P[x] = 2 + 5x2 – 3x3 + 4x2 –2x – x3 + 6x5
P[x] = 2 + [5x2+ 4x2] + [– 3x3– x3] – 2x + 6x5
P[x] = 2 + 9x2 – 4x3– 2x + 6x5
Sắp xếp các hạng tử của P[x] theo lũy thừa giảm của biến, ta có
P[x] = 6x5 – 4x3 + 9x2 – 2x + 2
b] Hệ số của lũy thừa bậc 5 là 6
Hệ số của lũy thừa bậc 3 là – 4
Hệ số của lũy thừa bậc 2 là 9
Hệ số của lũy thừa bậc 1 là – 2
Hệ số của lũy thừa bậc 0 là 2
* Bài 40 trang 43 SGK Toán 7 tập 2: Cho đa thức Q[x] = x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 + 3x2 – 4x – 1
a] Sắp xếp các hạng tử của Q[x] theo lũy thừa giảm của biến.
b] Chỉ ra các hệ số khác 0 của Q[x].
* Lời giải:
a] Q[x] = x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 + 3x2 – 4x –1
Q[x] = [x2+ 3x2] + 2x4 + 4x3 – 5x6– 4x –1
Q[x] = 4x2 + 2x4 + 4x3 – 5x6 – 4x –1
Sắp xếp các hạng tử của Q[x] theo lũy thừa giảm của biến, ta có
Q[x] = – 5x6 + 2x4 + 4x3 + 4x2 – 4x –1
b] Hệ số lũy thừa bậc 6 là – 5
Hệ số của lũy thừa bậc 4 là 2
Hệ số của lũy thừa bậc 3 là 4
Hệ số của lũy thừa bậc 2 là 4
Hệ số của lũy thừa bậc 1 là –4
Hệ số của lũy thừa bậc 0 là –1.
* Bài 41 trang 43 SGK Toán 7 tập 2: Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là -1.
* Lời giải:
Đa thức bậc nhất thỏa mãn các điều kiện trên: 5x - 1
Đa thức bậc hai thỏa mãn các điều kiện trên: 5x2 - 1
Đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện trên: 5x3 - 1
Đa thức bậc bốn thỏa mãn các điều kiện trên: 5x4 - 1
. . .
Tổng quát: Đa thức bậc n [n là số tự nhiên]: 5xn - 1
* Bài 42 trang 43 SGK Toán 7 tập 2: Tính giá trị của đa thức P[x] = x2 – 6x + 9 tại x = 3 và tại x = -3.
* Lời giải:
- Thay x = 3 vào biểu thức P[x] ta được: P[3] = 32 – 6.3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0
Vậy P[3] = 0.
- Thay x = – 3 vào biểu thức P[x] ta được: P[– 3] = [– 3]2 – 6.[–3] + 9 = 9 + 18 + 9 = 36
Vậy P[-3] = 36.
* Bài 43 trang 43 SGK Toán 7 tập 2: Trong các số cho ở bên phải mỗi đa thức, số nào là bậc của đa thức đó?
| a] 5x2 – 2x3 + x4 – 3x2 – 5x5 + 1 | –5 5 4 |
| b] 15 – 2x | 15 – 2 1 |
| c] 3x5 + x3 – 3x5 + 1 | 3 5 1 |
| d] –1 | 1 –1 0 |
* Lời giải:
a] 5x2 – 2x3 + x4 – 3x2 – 5x5 + 1 = [5x2 – 3x2] – 2x3 + x4– 5x5 + 1
= 2x2 – 2x3 + x4– 5x5 + 1 = -5x5 + x4 – 2x3 + 2x2 +1.
⇒ Bậc của đa thức là 5.
b] 15 – 2x = -2x1 +15.
⇒ Bậc của đa thức là 1.
c] 3x5 + x3 - 3x5 +1 = [3x5 – 3x5] + x3 +1 = x3 + 1.
⇒ Bậc của đa thức bằng 3.
d] Đa thức -1 có bậc bằng 0.
Tóm lại, với bài viết này các em cần ghi nhớ đa thức một biến là gì? các hệ số của đa thức một biến, cách sắp xếp và tính giá trị của đa thức một biến tại một giá trị của x.