Thế nào là các đường thẳng đồng quy

Gọi giao điểm của a,b là O

Vì a,b,m đồng quy nên: a,b,m cắt nhau tại O

Tương tự: a,b,b đồng quy nên cùng cắt nhau tại O

Suy ra: a,b,m,n cùng cắt nhau tại O

Vậy a,b,m,n đồng quy

Ba đường thẳng đồng quy là một dạng toán thường gặp trong các bài toán hình học THCS cũng như THPT. Vậy ba đường thẳng đồng quy là gì? Bài toán tìm m để 3 đường thẳng đồng quy? Điều kiện 3 đường thẳng đồng quy? Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy? …. Trong nội dung bài viết dưới đây, capdoihoanhao.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề tìm m để 3 đường thẳng đồng quy cũng như những nội dung liên quan, cùng tìm hiểu nhé!. 

Định nghĩa ba đường thẳng đồng quy: Cho ba đường thẳng [ a,b,c ] không trùng nhau. Khi đó ta nói ba đường thẳng [ a,b,c ] đồng quy khi ba đường thẳng đó cùng đi qua một điểm [ O ] nào đó.

Bạn đang xem: đường thẳng đồng quy là gì

Bạn đang xem: đồng quy là gì

Ba đường thẳng đồng quy trong mặt phẳng

Ba đường thẳng đồng quy đồ thị hàm số

Đây là dạng bài toán hàm số. để chứng minh ba đường thẳng bất kì đồng quy tại 1 điểm thì ta tìm giao điểm của hai trong số ba đường thẳng đó. Sau đó ta chứng minh đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm nói trên

Ví dụ:

Trong mặt phẳng [ Oxy ] cho phương trình ba đường thẳng :

[left{egin{matrix} a: x-y+6=0: 3x-y+7=0 c: [m-2]x+y-1=0 end{matrix}ight.]

Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy?

Cách giải:

Đầu tiên ta tìm giao điểm [ O ] của [ a ] và [ b ]

Vì [O=acap bRightarrow] tọa độ của [ O ] là nghiệm của hệ phương trình :

 [left{egin{matrix} x-y+6=0 3x-y+7=0 end{matrix}ight.]

[Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-frac{1}{2} y=frac{11}{2} end{matrix}ight.]

[Rightarrow O[-frac{1}{2};frac{11}{2}]]

Để ba đường thẳng [ a,b,c ] đồng quy thì [O[-frac{1}{2};frac{11}{2}] in c]

[Rightarrow [2-m].frac{1}{2}+frac{11}{2}-1=0]

[Leftrightarrow m=11]

Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy lớp 9

Trong các bài toán hình học phẳng THCS, để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy thì chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau đây :

Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.Sử dụng tính chất đồng quy trong tam giác:

Sử dụng chứng minh phản chứng: Giả sử ba đường thẳng đã cho không đồng quy. Từ đó dẫn dắt để dẫn đến một điều vô lý 

Ví dụ 1:

Cho tam giác [ ABC ]. Qua mỗi đỉnh [ A,B,C ] kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng lần lượt cắt nhau tại [ F,D,E ]. Chứng minh rằng ba đường thẳng [ AD,BE,CF ] đồng quy.

Cách giải:

Ta có:

[left{egin{matrix} AE || BCAB ||CE end{matrix}ight. Rightarrow ABCE] là hình bình hành

[Rightarrow AE=BC]

Chứng minh tương tự ta cũng có [ ACBF ] là hình bình hành

[Rightarrow AF=BC]

[Rightarrow AE=AF Rightarrow ] A là trung điểm [ EF ]

Tương tự ta cũng có : [ B ] là trung điểm [ DF ]

[ C ] là trung điểm [ DE ]

Như vậy, [ A,B,C ] là trung điểm của ba cạnh tam giác [ DEF ]

Do đó [Rightarrow AD,BE,CF] đồng quy tại trọng tâm tam giác [ DEF ]

Ví dụ 2:

Cho tam giác [ ABC ] có đường cao [ AH ]. Lấy [ D,E ] nằm trên [ AB,AC ] sao cho [ AH ] là phân giác của góc [widehat{DHE}]. Chứng minh ba đường thẳng [ AH,BE,CD ] đồng quy.

Xem thêm: Múi Giờ Utc Là Gì ? Giờ Utc Và Giờ Việt Nam Cách Nhau Mấy Tiếng?

Cách giải:

Qua [ A ] kẻ đường thẳng song song với [ BC ] cắt [ HD,HE ] lần lượt tại [ M,N ]

Vì [left{egin{matrix} MN || BC AH ot BC end{matrix}ight. Rightarrow AH ot MN]

Mặt khác [ AH ] lại là phân giác góc [widehat{MHN}]

[Rightarrow AH] vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác [ MHN ]

[Rightarrow Delta MHN] cân tại [ H ] và [ AH ] cũng là đường trung tuyến của [ MN ]

[Rightarrow AM=AN ;;;; [1]]

Do [ MN || BC ] nên ta có :

[Delta DMA sim Delta DHB Rightarrow frac{AD}{BD}=frac{MA}{HB} ;;;;[2]]

Tương tự ta cũng có:

[Delta ENAsim Delta EHCRightarrow frac{AE}{CE}=frac{NA}{HC} ;;;;[3]]

Từ [ [1][2][3] ] ta có :

[frac{DA}{DB}.frac{HB}{HC}.frac{EC}{EA}=frac{MA}{HB}.frac{HB}{HC}.frac{HC}{NA}=frac{AM}{AN}=1]

Ba đường thẳng đồng quy trong không gian

Trong không gian cho ba đường thẳng [ a,b,c ]. Để chứng minh ba đường thẳng này cắt nhau ta có thể sử dụng hai cách sau đây :

Cách 1:

Tìm [I=acap b]

Tìm hai mặt phẳng [ [P],[Q] ] chứa [ I ] thỏa mãn [c = [P]cap [Q]]. Khi đó hiển nhiên [ I in c ]

Cách 2:

Ta áp dụng định lý : Nếu [ 3 ] mặt phẳng đôi một cắt nhau theo [ 3 ] giao tuyến thì [ 3 ] giao tuyến đó song song hoặc đồng quy

Áp dụng vào bài toán, ta chỉ cần chứng minh ba đường thẳng [ a,b,c ] không đồng phẳng và cắt nhau đôi một

Ví dụ 1:

Cho hai hình bình hành [ ABCD, ABEF ] thuộc hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đoạn thẳng [ EC,DF ] lần lượt lấy hai điểm [ M,N ] sao cho [ AM,BN ] cắt nhau. Gọi [ I,K ] lần lượt là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành. Chứng minh rằng ba đường thẳng [ IK,AM,BN ] đồng quy.

Cách giải:

Gọi [O=AMcap BN]

Xét hai mặt phẳng [ [ACE],[BDF] ] ta có :

[left{egin{matrix} ACcap BD =I AE cap BF =K end{matrix}ight. Rightarrow IK =[AEC]cap [BDF] ;;;; [1]]

Mặt khác ta lại có :

[left{egin{matrix} O=AMcap BN AM in [AEC] BN in [BDF] end{matrix}ight. Rightarrow O] nằm trên cả hai mặt phẳng [ [ACE],[BDF] ;;;; [2]]

Từ [ [1][2] Rightarrow O in KI ]

Vậy [ AM,BN,KI ] đồng quy tại [ O ]

Ví dụ 2: Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy.

Tìm m để [d1]: y = 2x + 1; [d2]: y= -x-2 ; [d3]: y=[m-1]x – 4

Hãy tìm m để 3 đường thẳng đồng quy và vẽ hình để minh họa. 

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của [d1] và [d2]

y = 2x + 1 = -x-2

⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1

Suy ra ta có y = 2[-1] + 1 = -1

Như vậy giao điểm của [d1] và [d2] là I[-1;-1]

Để ba đường thẳng trên đồng quy [cùng giao nhau tại một điểm] thì điểm I phải thuộc đường thẳng [d3]

=> -1 = [m – 1][-1] – 4

⇔ m = -2

Khi đó thì phương trình đường thẳng [d3]: y = -3x – 4

Bài tập ba đường thẳng đồng quy

Sau đây là một số bài tập về 3 đường thẳng đồng quy để bạn đọc có thể tự rèn luyện :

Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy toán 9

Trong mặt phẳng [ Oxy ] cho ba đường thẳng :

[left{egin{matrix} d_1: y=2x+1 d_2: y=-x-2 d_3: [m-1]x-4 end{matrix}ight.]

Chứng minh ba đường thẳng cùng đồng quy

Cho tứ giác lồi [ ABCD ] và tam giác [ ABM ] nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các cạnh [ MA, MB ] của tam giác [ MAB ] ta lấy các điểm tương ứng [ A’, B’] sao cho các đường thẳng [ CA’, DB’ ] cắt nhau. Gọi [ H ] là giao điểm hai đường chéo của tứ giác [ ABCD ] .Chứng minh rằng các đường thẳng [ MH, CA’, DB’ ] đồng quy.

Ba đường thẳng cùng đồng quy tại một điểm 

Qua các điểm [ A,D ] nằm trên đường tròn kẻ các đường tiếp tuyến, chúng cắt nhau taị điểm [ S ]. Trên cung [ AD ] lấy các điểm [ A,B ]. Các đường thẳng [ AC,BD ] cắt nhau taị điểm [ P ] . Chứng minh rằng ba đường thẳng [ AB,CD,SP ] đồng quy

Bài viết trên đây của capdoihoanhao.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết cũng như phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề ba đường thẳng đồng quy. Chúc bạn luôn học tốt!

Trong Toán học, phần đại số và hình học đều có các bài toán chứng minh đồng quy. Vậy đồng quy là gì? Các cách chứng minh đồng quy ra sao? Cùng theo dõi nội dung của bài viết dưới đây để nắm rõ kiến thức về dạng toán này nhé!

Đồng quy là gì? Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Đồng quy là gì?

Trước khi tìm hiểu định nghĩa về đồng quy trong Toán học, chúng ta cùng xem xét ý nghĩa của “đồng quy” theo mặt từ ngữ. Thực chất “đồng quy” là một từ Hán Việt và được sử dụng phổ biến trong cuộc sống. Cụ thể:

• “Đồng”: Nghĩa là cùng nhau, song hàng, sát nhau.
• “Quy”: Nghĩa là tụ lại, tập trung, tập hợp ở một điểm cố định nào đó.

→ Do đó, đồng quy được hiểu là cùng gặp nhau ở một vị trí cụ thể. 

Đồng quy là gì trong Toán học? 

Trong Toán học, khi xem xét ý đồng quy là gì thì người ta sẽ quy định nghĩa này về ba đường thẳng đồng quy. Theo đó, cho 3 đường thẳng a, b, c không trùng nhau. Ba đường thẳng a, b, c được gọi là đồng quy với nhau khi chúng cùng đi qua một điểm O cố định. 

Đồng quy trong Toán học là gì?

Ở phần đại số, các bài toán hàm số liên quan đến đồng quy chính là cách chứng minh 3 đường thẳng bất kỳ đồng quy tại 1 điểm. Còn ở phần hình học mặt phẳng và hình học không gian, chứng minh đồng quy sẽ phức tạp hơn về tính chất các loại đường thẳng như đường cao, đường trung trực, đường phân giác,… Từ đó đòi hỏi học sinh cần nắm vững hệ thống kiến thức đồng quy. 

Các tính chất đường thẳng đồng quy trong hình học

Trong hình học, khi gặp các bài toán về chứng minh đồng quy thì người ta sẽ cố gắng đưa 3 đường thẳng đã cho về các loại đường đặc biệt nhằm áp dụng tính chất của chúng giúp bài toán giải quyết dễ dàng. Các tính chất quan trọng gồm:

Tính chất đồng quy của đường trung tuyến trong tam giác

• Ba đường trung tuyến của 1 tam giác sẽ đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm trong tam giác. Khi đó, nếu 2 đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm thì ta có thể suy ra được đường trung tuyến còn lại cũng đi qua điểm cố định đó. Đồng thời, trọng tâm chia đường trung tuyến thành 3 phần và chiếm ⅔ toàn độ dài. 
• Ba đường phân giác của 1 tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Khi đó, nếu 2 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm cố định thì ta có thể suy ra đường phân giác còn lại cũng đi qua điểm đó. Đồng thời, giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh tam giác.
• Ba đường trung trực của 1 tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khi đó, nếu 2 đường trung trực cắt nhau tại 1 điểm thì ta có thể suy ra đường trung trực còn lại cũng đi qua điểm đó. Đồng thời, giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác. 

Các bước chứng minh 3 đường thẳng đồng quy cơ bản trong Toán học

Bài toán đưa ra: Cho 3 đường thẳng khác nhau a, b, c. Chứng minh a, b, c đồng quy tại 1 điểm cố định O.

Gợi ý: Đối với bất kỳ bài toán nào trong hình học mặt phẳng, hình học không gian và hàm số trong phần đại thì có thể áp dụng nguyên lý chung gồm các bước sau:

• Bước 1: Tìm giao điểm của 2 trong số 3 đường thẳng đã cho.
• Bước 2: Chứng minh được đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm này.

Hướng dẫn cách giải từng loại bài tập toán đồng quy

1. Trong hình học mặt phẳng

Ở các bài toán hình học phẳng, để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm thì chúng ta có thể sử dụng các cách sau đây :

Cách 1: Sử dụng hệ quả các tính chất đồng quy trong tam giác của đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực và đường cao. 

Cách 2: Sử dụng cách chứng minh phản chứng: Đưa ra giả sử 3 đường thẳng đã cho không đồng quy; sau đó chứng minh điều giả sử là sai và đưa ra khẳng định mệnh đề đối nghịch là đúng. 

Chứng minh đường thẳng đồng quy thông qua tính chất điểm thẳng hàng

Cách 3: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm trong hình học phẳng.

Cách 4: Sử dụng tính chất các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và các đoạn thẳng tỉ lệ nhau:

→ Cho tam giác ABC và 3 điểm bất kì M, N, P nằm trên AB, AC và BC. Khi đó, 3 đường thẳng AM, BN, CP đồng quy tại 1 điểm khi và chỉ khi: MBMC=NCNA=PAPB=1

Cách 5: Chứng minh được các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.

2. Trong đồ thị hàm số

Đây là dạng bài toán hàm số trong phần đại số và để chứng minh ba đường thẳng bất kì đồng quy tại 1 điểm thì chúng ta sẽ vận dụng nguyên lý chung là tìm giao điểm của hai trong số ba đường thẳng đó. Sau đó, tiến hành chứng minh đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm này. 

Ví dụ: Trong mặt phẳng [Oxy], cho 3 phương trình đường thẳng: 

[a] x-y+6=0, [b] 3x-y+7=0, [c] [m-2]x+y-1=0

Tìm m để 3 đường thẳng a, b, c đồng quy tại 1 điểm.

Cách giải

Tìm giao điểm [O] giữa 2 đường thẳng a và b. Tọa độ của O sẽ là nghiệm của hệ phương trình: x-y+6=0 và 3x-y+7=0

→ O [ -12 ,112]

Để 3 đường thẳng đồng quy thì O[ -12 ,112] ∊ [c] 

→ [m-2].[-12]+112-1=0⇔m=11

3. Trong hình học không gian

Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c. Chứng minh ba đường thẳng này đồng quy tại 1 điểm cố định với 2 cách sau đây:

Chứng minh đồng quy trong không gian

Cách 1: Áp dụng nguyên lý cơ bản

• Tìm I=a∩b
• Tìm hai mặt phẳng [P],[Q] chứa [ I ] thỏa mãn c = [P] ∩ [Q]. Khi đó hiển nhiên I ∊ c

Cách 2: Áp dụng định lý, nếu 3 mặt phẳng chứa 3 đường thẳng a, b, c đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó sẽ song song hoặc đồng quy. Vì vậy, khi áp dụng vào bài toán thì ta chỉ cần chứng minh 3 đường thẳng a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau đôi một là được.

Luyện tập giải một số bài tập liên quan đến đồng quy

Bài 1: Cho tam giác ABC, ở mỗi đỉnh tam giác qua A, B, C tiến hành kẻ 3 đường thẳng song song với cạnh đối diện và chúng cắt nhau lần lượt tại F, D, E. Chứng minh rằng, ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm duy nhất.

Gợi ý 

Căn cứ vào đề bài, ta có: AE // BC và AB // CE

⇒  ABCE là hình bình hành → AE = BC

Chứng minh tương tự, ta có ACBF là hình bình hành

→  AF = BC và AE = AF

Do đó, A sẽ là trung điểm của EF

Tương tự, B sẽ là trung điểm của DF và là trung điểm của DE

Kết luận: A, B, C lần lượt là trung điểm của 3 cạnh tam giác DEF nên AD, BE, CF sẽ đồng quy tại trọng tâm của tam giác DEF.

Bài 2: Tìm m sao cho 3 đường thẳng d1, d2 và d3 đồng quy tại 1 điểm duy nhất.

[d1]: y = 2x + 1; [d2]: y = [-x] – 2; [d3]: y = [m-1]x – 4

Gợi ý

Gọi O là giao điểm của 2 đường thẳng d1, d2

Ta có, phương trình hoành độ là giao điểm của d1 và d2: 

y = 2x + 1 = [-x] – 2 ⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1

⇒ y = 2 x [-1] + 1 = -1

→  O [-1, -1] là giao điểm của d1 và d2.

Khi đó, để 3 đường thẳng đồng quy thì điểm I phải thuộc d3

⇒ -1 = [m – 1] x [-1] – 4 ⇔ m = -2

Như vậy, ta có phương trình đường thẳng d3 là: y = -3x – 4

Nội dung bài viết trên chúng tôi chia sẻ đến bạn đọc đồng quy là gì, tính chất đồng quy trong toán học. Với các cách chứng minh được tổng hợp thì hy vọng đã giúp bạn biết giải được các bài tập liên quan đến đồng quy nhanh chóng và dễ dàng nhất.