Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức có dạng: ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết [trong đó a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ].
2. Tập nghiệm của pt bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c kí hiệu là [d].
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương pháp:
Nếu cặp số thực [x0, y0] thỏa mãn ax+by=c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax+by=c.
Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c
1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y [ hoặc y theo x ] rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax+by=c.
Dạng 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c, ta làm như sau:
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ theo ẩn kia.Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của xBước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t.
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 [trang 7 SGK Toán 9 Tập 2]:
Lời giải
a] Xét cặp [-2; 1]. Thay x = -2 ; y = 1 vào phương trình 5x + 4y = 8 ta được :
5x + 4y = 5.[-2] + 4.1 = -10 + 4 = -6 ≠ 8
⇒ cặp số [-2; 1] không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Xét cặp[0; 2]. Thay x = 0 ; y = 2 vào phương trình 5x + 4y = 8 ta được
5x + 4y = 5.0 + 4.2 = 8
⇒ cặp số [0; 2] là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Xét cặp [-1; 0]. Thay x = -1 ; y = 0 vào phương trình 5x - 4y = 8 ta được:
5x + 4y = 5.[-1] + 4.0 = -5 ≠ 8
⇒ cặp số [-1; 0] không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Xét cặp [1,5 ; 3]. Thay x = 1,5 ; y = 3 vào phương trình 5x + 4y = 8 ta được
5x + 4y = 5.1,5 + 4.3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8
⇒ [1,5; 3] không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Xét cặp [4;-3].Thay x = 4 ; y = -3 vào phương tình 5x + 4y = 8 ta được:
5x + 4y = 5.4 + 4.[-3] = 20 – 12 = 8
⇒ [4; -3] là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Vậy có hai cặp số [0; 2] và [4; -3] là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
b] Xét cặp số [-2; 1].Thay x = -2 ; y = 1 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:
3x + 5y = 3.[-2] + 5.1 = -6 + 5 = -1 ≠ -3
⇒ [-2; 1] không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Xét cặp số [0; 2] . Thay x = 0 ; y = 2 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:
3x + 5y = 3.0 + 5.2 = 10 ≠ -3
⇒ [0; 2] không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Xét cặp [-1; 0].Thay x = -1 ; y = 0 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:
3x + 5y = 3.[-1] + 5.0 = -3
⇒ [-1; 0] là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. .
Xét cặp [1,5; 3]. Thay x = 1,5 ; y = 3 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:
3x + 5y = 3.1,5 + 5.3 = 4,5 + 15 = 19,5 ≠ -3
⇒ [1,5; 3] không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Xét cặp [4; -3]. Thay x = 4 ; y = -3 vào phương trình 3x + 5y = -3 ta được:
3x + 5y = 3.4 + 5.[-3] = 12 – 15 = -3
⇒[4; -3] là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Vậy có hai cặp số [-1; 0] và [4; -3] là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
Bài 2 [trang 7 SGK Toán 9 Tập 2]:
Lời giải
a] 3x – y = 2 [1]
⇔ y = 3x – 2.
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là [x; 3x – 2] [x ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình [1] là đường thẳng y = 3x – 2 [Hình vẽ].
+ Tại x = \[ \frac{2}{3} \] thì y = 0 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm [ \[ \frac{2}{3} \] ; 0].
+ Tại x = 0 thì y = -2 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm [0; -2].
Vậy đường thẳng y = 3x – 2 là đường thẳng đi qua điểm [ \[ \frac{2}{3} \] ; 0] và [0; -2].
b] x + 5y = 3 [2]
⇔ x = 3 – 5y
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là [3 – 5y; y] [y ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của [2] là đường thẳng x + 5y = 3.
+ Tại y = 0 thì x = 3 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm [3; 0].
+ Tại x = 0 thì \[ y=\frac{3}{5} \] ⇒ Đường thẳng đi qua điểm [0; \[ \frac{3}{5} \] ].
Vậy đường thẳng x + 5y = 3 là đường thẳng đi qua hai điểm [3; 0] và [0; \[ \frac{3}{5} \] ].
b] \[ c]4x-3y=-1\Leftrightarrow 3y=4x+1\Leftrightarrow =\frac{4}{3}x+\frac{1}{3} \]
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là \[ \left[ x;\frac{4}{3}x+\frac{1}{3} \right] \] [x ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình là đường thẳng 4x – 3y = -1.
+ Tại x = 0 thì y = \[ \frac{1}{3} \]
Đường thẳng đi qua điểm [0; \[ \frac{1}{3} \] ].
+ Tại y = 0 thì x = \[ \frac{-1}{4} \]
Đường thẳng đi qua điểm \[ \left[ \frac{-1}{4};0 \right] \] .
d] x + 5y = 0
⇔ x = -5y.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là [-5y; y] [y ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng x + 5y = 0.
+ Tại x = 0 thì y = 0 ⇒ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
+ Tại x = 5 thì y = -1 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm [5; -1].
Vậy đường thẳng x + 5y = 0 đi qua gốc tọa độ và điểm [5; -1].
e] 4x + 0y = -2
\[ \Leftrightarrow 4\text{x}=-2\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \]
Phương trình có nghiệm tổng quát [-0,5; y][y ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng x = -0,5 đi qua điểm [-0,5; 0] và song song với trục tung.
f] 0x + 2y = 5
Phương trình có nghiệm tổng quát [x; 2,5] [x ∈ R].
Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng y = 2,5 đi qua điểm [0; 2,5] và song song với trục hoành.
Bài 3 [trang 7 SGK Toán 9 Tập 2
Lời giải
- Vẽ đường thẳng x + 2y = 4.
+ Với x = 0 ⇒ y = 2. Đường thẳng đi qua điểm [0; 2].
+ Với y = 0 ⇒ x = 4. Đường thẳng đi qua điểm [4; 0].
Đường x + 2y = 4 là đường thẳng đi qua điểm [0; 2] và [4; 0].
- Vẽ đường thẳng x – y = 1
+ Với x = 0 ⇒ y = -1. Đường thẳng đi qua điểm [0; -1].
+ Với y = 0 ⇒ x = 1. Đường thẳng đi qua điểm [1; 0].
Đường x – y = 1 là đường thẳng đi qua điểm [0 ; -1] và [1 ; 0].
- Giao điểm của hai đường thẳng là điểm A có tọa độ là [2; 1].
- Ta có A[2; 1] cùng thuộc hai đường thẳng nên nó là nghiệm của cả hai phương trình đã cho.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình bậc nhất hai ẩn toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất