Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
I . Phương pháp chứng minh :
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp 1 : Sử dụng tính chất góc bẹt
+ ] Chứng minh $\widehat{ABC}$ = $180{}^\circ$
=>A, B, C thẳng hàng .
Phương pháp 2 : Sử dụng tiên đề Ơclit
Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ 3 điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.
Chẳng hạn chứng minh :
AM//xy và BM//xy => A, M, B thẳng hàng [ tiên đề Ơclit ].
Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc
Chẳng hạn chứng minh :
Chứng minh : + Tia OA và OB cùng là tia phân giác của $\widehat{xOy}$
+ Tia OB là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$
=>A , O , B thẳng hàng
Chứng minh H , I , K cùng thuộc đường trung trực của AB
=>H , I , K thẳng hàng
Chứng minh : +] I là trọng tâm của ABC
+] AD là trung tuyến của ABC
=>A , I , D thẳng hàng
+ ] Tương tự đối với ba đường cao , phân giác , trung trực trong tam giác.
II . Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA [ tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC ] . Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng .
Giải
AB = CD [ đối đỉnh ]
$\widehat{MAB}=\widehat{MCD}=90{}^\circ $
MA = MC [ M là trung điểm AC ]
=>$\Delta AMB$= $\Delta CMD$ [c.g.c]
=>$\widehat{AMB}$=$\widehat{CMD}$ [ hai góc tương ứng ]
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{BMC}=180{}^\circ $ [ Kề bù ]
nên $\widehat{BMC}+\widehat{CMD}=180{}^\circ $
Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng
Bài 2 : Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các tia BM, CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Giải
BM = DM
\[\widehat{BMC}=\widehat{DMA}\] [ đối đỉnh ]
AM = CM
=>\[\Delta BMC=\Delta DMA\,\,[c.g.c]\]
=>\[\widehat{ACB}=\widehat{DAC}\] mà hai góc ở vị trí so le trong nên BC // AD [1]
Tương tự ta có : \[\Delta EAN=\Delta BNC\,\,\,[c.g.c]\] => \[\widehat{EAN}=\widehat{NBC}\]mà hai góc ở vị trí so le trong nên AE // BC [2]
Từ [1],[2] ta có : Điểm A nằm ngoài BC , theo tiên đề Ơ-clit ta có một và chỉ 1 đường thẳng song song với BC qua A => Ba điểm E, A, D song song.
Bài 3 : Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC [ H \[\in \]BC]. Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng .
Hướng dẫn giải :
+] Chứng minh \[\Delta ABH=\Delta ADK\,\,[c.g.c]\]
=>AK // BC
Mà AH \[\bot \]BC nên ta có ba điểm K, A, H thẳng hàng .
III. Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng .
Bài 2 : Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Bài 3 : Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy điểm P, Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng.
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
Bài 5 : Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng .
Bài 6 : Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC [ H và K thuộc BC]. Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 7 : Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng .
Bài 8 : Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.