Giải bất phương trình bằng phương pháp đánh giá

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bước 1: Tìm đkxđ

Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.

+ Cách 1: Đưa 1 vế về dạng A2 + B2 + C2 + ... = 0

Phương trình có nghiệm ⇔ A = B = C = ... = 0.

+ Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá.

BĐT Cô-si áp dụng cho hai số dương : a2 + b2 ≥ 2ab

BĐT hệ quả : 2(a2 + b2) ≥ (a+b)2

BĐT Cô-si áp dụng cho ba số dương : a3 + b3 + c3 ≥ 3abc

...

Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Ta có: (x-2)2 ≥ 0

⇒ (x-2)2 + 27 ≥ 27

Dấu "=" khi (x – 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

⇔

Ta có:

Suy ra

Suy ra pt (1) ⇔

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; y = 2; z = 3.

Ví dụ 3: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≠ 0.

Nhân cả hai vế với 3x ta được :

(1) .

Ta có :

Áp dụng BĐT Cô si cho ba số

ta có :

⇒ VT (1) ≤ VP (1).

PT có nghiệm ⇔ 5x2 = 2x2 + 9 ⇔ 3x2 = 9 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ±√3 .

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ±√3 .

Bài 1: BĐT nào dưới đây là đúng với mọi số thực x ?

A. x2 + 1 ≥ 2x    B. x3 + 1 ≥ 3x

C. x4 + 1 ≥ 4x    D. x5 + 1 ≥ 5x

Hiển thị đáp án

Bài 2: Phương trình

có tổng các nghiệm bằng :

A. 0    B. 1

C. 2    D. 3

Hiển thị đáp án

Bài 3: Đánh giá nào dưới đây là không đúng ?

Hiển thị đáp án

Bài 4: Khẳng định nào dưới đây đúng về phương trình :

A. Phương trình có một nghiệm âm

B. Phương trình có một nghiệm dương

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu

D. Phương trình vô nghiệm.

Hiển thị đáp án

Bài 5: Phương trình

có số nghiệm là :

A. 0    B. 1

C. 2    D. 3

Hiển thị đáp án

Bài 6: Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≥ -1.

Nhận thấy : VT =

với mọi x.

PT có nghiệm ⇔

⇔ x = 3 (t.m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Bài 7: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

Ta có :

VT

Phương trình có nghiệm ⇔

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 8: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 5 ≤ x ≤ 7 .

+ Áp dụng BĐT : (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ta có:

+ x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + 2 ≥ 2

⇒ VT ≤ VP với mọi x.

Phương trình có nghiệm ⇔

⇔ x = 6.

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

Bài 9: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 0 ≤ x ≤ 1 .

+ Nếu x = 1, VT (*) = 3 ; VP (*) = 3.

⇒ x = 1 là nghiệm của phương trình.

+ Với 0 ≤ x ≤ 1 thì

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Bài 10: Giải phương trình :

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: PT có nghiệm x = 1/2 . Do đó ta thêm bớt các số để đánh giá BĐT sao cho dấu = đều xảy ra tại x = 1/2 .

Giải :

Nhận xét : VT = 4x4 + x2 + 3x + 4 > 0 với mọi x.

PT có nghiệm ⇔

⇔ x > 0.

Khi đó áp dụng BĐT Cô-si cho VT ta có :

Áp dụng BĐT Cô-si cho vế trái ta được :

⇒ VT ≥ VP

Phương trình có nghiệm ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.