09:36:4631/10/2020
Thực tế, việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz ở chương trình lớp 12 hầu hết các bạn sẽ thấy "dễ thở" hơn rất nhiều với hình không gian ở lớp 11.
Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại công thức và cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, vận dụng vào việc giải các bài tập mình họa để các em dễ hiểu hơn.
Chúng ta cũng nhớ, trong không gian thì giữa 2 mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối, đó là: Hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng cắt nhau và hai mặt phẳng song song. Ở hai trường hợp đầu [trùng nhau, cắt nhau] thì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng 0.
Như vậy việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng cơ bản là dạng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
I. Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
- Cho 2 mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng [P] và mặt phẳng [Q] là khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên mặt phẳng [P] đến mặt phẳng [Q] hoặc ngược lại. ký hiệu: d[[P];[Q]].
- Như vậy, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: Ax + By + Cz + D' = 0 [D ≠ D'] ta dùng công thức sau:
II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
* Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [α]: x + 2y − 3z + 1 = 0 và [β]: x + 2y − 3z − 4 = 0.
* Lời giải:
- Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:
* Bài 2: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song [α]: x + 2y + 3z - 5 = 0 và [β]: 2x + 4y + 6z - 16 = 0
* Lời giải:
- Ta cần đưa các hệ số [trước x,y,z] của mp [β] về giống với mp [α].
- Ta có, mp [β]: 2x + 4y + 6z - 16 = 0 ⇔ x + 2y + 3z - 8 = 0
- Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng [α] và [β] là:
* Bài 3 [Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12]: giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.
a] Chứng minh hai mặt phẳng [AB'D'] và [BC'D] song song.
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
* Lời giải:
- Ta có hình minh họa như sau:
- Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;
⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau:
A[0; 0; 0] ; B[1; 0; 0]; C[1; 1; 0]; D[0; 1; 0].
A'[0; 0; 1]; B'[1; 0; 1]; C'[1; 1; 1]; D'[0; 1; 1].
a] Chứng minh hai mặt phẳng [AB'D'] và [BC'D] song song.
- Ta có:
⇒ Vectơ pháp tuyến của mp [AB'D'] là:
- Tương tự, có:
⇒ [AB'D'] // [BC'D].
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
- Mặt phẳng [BC'D] có VTPT
1.[x - 1] + 1.[y – 0] - 1.[ z - 0]= 0 ⇔ x + y - z - 1 = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB'D'] và [BC'D] chính là khoảng cách từ A đến [BC'D] và bằng:
* Hoặc có thể viết phương trình mặt phẳng [AB'D'] rồi tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này như sau:
- Mặt phẳng [AB'D'] có VTPT
[-1].[x - 0] - 1.[y – 0] + 1.[ z - 0]= 0 ⇔ x + y - z = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB'D'] và [BC'D] là:
Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz. Để có cái nhìn tổng quát các em cũng có thể tham khảo bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian.
Như vậy, qua bài viết về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz với phương pháp tọa độ ở trên, các em thấy việc tính toán này là rất "dễ chịu" phải không nào?
Nếu bài toán nói tính khoảng cách của 2 mặt phẳng, các em chỉ cần kiểm tra vị trí tương đối của 2 mặt phẳng này, nếu chúng song song thì vận dụng ngay công thức ta có ở trên, còn nếu cắt nhau hoặc trùng nhau thì kết luận ngày khoảng cách này bằng 0, chúc các em học tốt.
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa
Cho mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$. Nếu vectơ $\overrightarrow n \ne 0$ và có giá vuông góc với mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ thì $\overrightarrow n $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\alpha $
.
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1. Định nghĩa
Phương trình có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
* Nhận xét:
a] Nếu mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ có phương trình tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]$.
b] Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${M_o}\left[ {{x_o};{y_o};{z_o}} \right]$ nhận vectơ $\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]$ làm vectơ pháp tuyến là $A\left[ {x - {x_o}} \right] + B\left[ {y - {y_o}} \right] + C\left[ {z - {z_o}} \right] = 0$.
2. Các trường hợp riêng
Vị trí đặc biệt của mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ so với trục tọa độ:
| By + Cz + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$ song song hoặc chứa Ox |
| Ax+ Cz + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$ song song hoặc chứa Oy |
| Ax + By + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$ song song hoặc chứa Oz |
| Cz + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$ song song hoặc trùng với [Oxy] |
| By + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$ song song hoặc trùng với [Oxz] |
| Ax + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$ song song hoặc trùng với [Oyz] |
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
$\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right]//\left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} \ne k{D_2}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {{A_1};{B_1};{C_1}} \right] = k\left[ {{A_2};{B_2};{C_2}} \right]}\\{{D_1} \ne k{D_2}}\end{array}} \right.\end{array}\\\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right] \equiv \left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\{{D_1} = k{D_2}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {{A_1};{B_1};{C_1}} \right] = k\left[ {{A_2};{B_2};{C_2}} \right]}\\{{D_1} = k{D_2}}\end{array}} \right.\end{array}
\end{array}$
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
$\begin{array}{l}\left[ {{\alpha _1}} \right] \bot \left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\\ \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0
\end{array}$
IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định lí:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm ${M_o}\left[ {{x_o};{y_o};{z_o}} \right]$. Khoảng cách từ điểm ${M_o}$ đến mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$, kí hiệu là $d\left[ {{M_o},\left[ \alpha \right]} \right]$, được tính theo công thức:
$d\left[ {{M_o},\left[ \alpha \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Page 2
SureLRN