Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là dạng bài tập rất hay gặp trong các đề ôn thi đại học. Để có thể ôn luyện thật hiệu quả và đạt được điểm cao, các bạn học sinh hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây, sẽ có đầy đủ lý thuyết và công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cho học sinh tham khảo.
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu đi qua 4 đỉnh hay 4 điểm A, B, C, D. Để tìm và xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, chúng ta làm theo 3 cách sau:
Cách 1: Sử dụng tính chất IA = IB = IC = ID. Gọi I là tâm mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.
Cách 2: Ví dụ phương trình mặt cầu là $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ax+2by+2cz+d=0$.
Vì mặt cầu cùng đi qua 4 điểm A, B, C, D nên tọa độ sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu. Ta sẽ có hệ 4 phương trình ẩn a, b, c, d. Giải hệ này ta sẽ nhận được phương trình mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.
Cách 3: Ta viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, CD, BC. Giao của ba mặt phẳng này là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD hay tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
2. Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Phương pháp chung để tính nhanh công thức mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:
-
Chúng ta xác định tâm của đáy để từ đó dựng được đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
-
Dựng mặt phẳng trung trực [P] của một cạnh bên bất kì.
-
Tâm mặt cầu là giao điểm của d và [P].
3. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài toán tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là dạng bài tập rất phổ biến. Ta có các dạng công thức dưới đây:
3.1. Dạng 1: Hình chóp đều
Ta có a là độ dài cạnh bên của hình chóp, h là chiều cao của hình chóp.
R = $\frac{a^{2}}{2h}$
Ví dụ: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho biết ta có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a.
Giải:
Gọi O chính là tâm hình vuông ABCD, vậy ta có SO$\perp $[ABCD].
ao = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta xét tam giác SAO vuông tại O.
SO = $\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a\sqrt{34}}{2}$
Ta lại có R = $\frac{SA^{2}}{2SO}=\frac{9a\sqrt{34}}{34}$
3.2. Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
Ta gọi r, h là bán kính và chiều cao đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Có:
R=$\sqrt{[\frac{h}{2}]^{2}+r^{2}}$
Ví dụ: Hãy tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC khi cho tứ diện OABC, các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 2a.
Giải:
Ta có tam giác OBC vuông tại O nên h = OA = a
Ta có BC =$\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=2\sqrt{2}a$
r = $a\sqrt{2}$
Theo công thức ta áp dụng:
R = $\sqrt{[\frac{a}{2}]^{2}+[a\sqrt{2}]^{2}}=\frac{3a}{2}$
3.3. Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy được gọi lần lượt là $R_{b},R_{d}$. GT là độ dài giao tuyến mặt bên và đáy.
R=$\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}$
Ví dụ: Hãy tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Tam giác SAB đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Giải
Giao tuyến của [SAB] và [ABCD] là AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Bán kính R đường tròn ngoại tiếp mặt bên là R = SG =$\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Ta có công thức:
$R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$
4. Một số bài tập tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Bài 1: Hãy tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết rằng S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. BC = 4a, AB = 3a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy.
Giải:
Ta có $R_{d}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}{2}=\frac{5a}{2}$
=> R=$\sqrt{R_{d}^{2}+[\frac{h}{2}]^{2}}=\sqrt{[\frac{5a}{2}]^{2}+[\frac{12a}{2}]^{2}}=\frac{13a}{2}$
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC bằng nhau và đều bằng a. Hãy tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết rằng $\widehat{ASC}=\widehat{ASB}=90^{\circ}$
Giải:
S = $4\pi R^{2}=\frac{7\pi a^{2}}{3}$
Bài 3: Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp khi cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy [ABC]. AB = a và $\widehat{BAC}=120^{\circ}$
Giải:
Áp dụng định lý cos ta có:
BC =$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.cos\widehat{BAC}}=a\sqrt{3}$
Lại có r = $\frac{AB.BC.AC}{4.S_{ABC}}=\frac{AB.BC.AC}{2.AB.AC.sin\widehat{BAC}}=a$
R=$\sqrt{[\frac{h}{2}]^{2}+r^{2}}=\sqrt{[\frac{2a}{a}]^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}$
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình vuông. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SC = 2a.
Giải:
Ta có:
R = $\frac{AC}{2}$, h = SA
R = $\sqrt{[\frac{AC}{2}]^{2}+[\frac{SA}{2}]^{2}}=\frac{1}{2}S_{c}=a$
Bài 5: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC, vuông tại C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết mặt phẳng [SAB] vuông góc với đáy, SA = SB = a và $\widehat{ASB}=120^{\circ}$
Giải:
AB = $\sqrt{SA^{2}+SB^{2}-2SA.SB.cos\widehat{ASB}}=a\sqrt{3}$
=> GT=AB=$a\sqrt{3}$
$R_{d}=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
$R_{b}=\frac{SA.SB.AB}{4.S_{ABC}}=\frac{SA.SB.AB}{2.SA.SB.sin120^{\circ}}=a$
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách giải chi tiết nhất của bài toán mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Để có thể đạt được kết quả cao thì hãy kết hợp luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nữa. Các bạn có thể truy cập nền tảng Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề ôn thi THPT Quốc gia!
>> Xem thêm: Toán 12: Lý thuyết phương trình mặt cầu và các dạng bài tập
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là gì? Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện? Và các bài tập có lời giải giúp bạn hiểu cặn kẽ hơn về mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.
Xem thêm:
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là gì?
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là hình cầu đi qua mọi đỉnh của khối đa diện.
Lý thuyết cơ bản của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp : R
- Diện tích mặt cầu ngoại tiếp: S=4.π.R2
- Thể tích mặt cầu ngoại tiếp: V = [4.π.R3]/3
Các dạng mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
- Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện có cạnh bên vuông góc với đáy
- Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện hình chóp đều
- Mặt cầu đa diện có mặt bên vuông góc với đáy
Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Mặt cầu ngoại tiếp quan trọng là chúng ta cần xác định được bán kính[R].
Với mỗi dạng mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện sẽ có cách tính bán kính riêng. Sau đây là cách tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.
Dạng 1: Khối đa diện có cạnh bên vuông góc đáy.
Công thức:
Trong đó:
- R là bán kính khối cầu ngoại tiếp
- h là chiều cao
- r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy
Dạng 2: Khối đa diện chóp đều hoặc các cạnh bên bằng nhau
Trong đó:
- R là bán kính khối cầu ngoại tiếp
- h là chiều cao
- b là độ dài cạnh bên
Dạng 3: Mặt cầu đa diện có mặt bên vuông góc với đáy
Trong đó:
- a là cạnh huyền vuông góc với đáy
- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bài tập có lời giải về mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tại A, SA vương góc với mặt phẳng [ABCD] và SC=4a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Đáp án:
Ta có : BC⊥AB và BC⊥SA ⇒ BC⊥[SAB] ⇒ BC⊥SB
Tương tự ta cũng chứng minh được: CD ⊥ SD
Ta có: SA ⊥ [ABCD] ⇒ SA ⊥ AC
Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.
Như vậy, bán kính mặt cầu S.ABCD là R=SC/2=4a/2=2a
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CEF. Chọn đáp án đúng.
A. R= [a√29]/8
B. R=[5a√3]/12
C. R=[a√37]/6
D. R=[a√93]/12
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AD ➝ SH ⊥ [ABCD]
Ta thấy tâm I nằm trên trục d đi qua trung điêm O của EF và ⊥[ABCD], I, S cùng phía với mặt phẳng ABCD.
Ta có:
∆HFO vuông tại N ta có:
Ta có: OC2 + OI2 = R2 = IK2 + KS2
Đặt OI = x ta có:
Như vậy ta có:
Đáp án: D
Trên đây là nội dung về mặt cầu ngoại tiếp và công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện. Hy vọng những kiến thức Góc Hạnh Phúc mang lại giúp bạn hiểu rõ hơn về mặt cầu ngoại tiếp.