1. Các kiến thức cần nhớ
Quy tắc thế
Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho [coi là phương trình thứ nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới [chỉ còn một ẩn].
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
Chú ý:
+ Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp:
Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta làm như sau:
Bước 1. Rút $x$ hoặc $y$ từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Để lời giải được đơn giản, ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn [thường là $1$ hoặc$ - 1$ ] và rút $x$ hoặc $y$ có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn qua ẩn còn lại.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Phương pháp:
Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.
Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
Một số kiến thức thường sử dụng
+] Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$có nghiệm $\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..$
+] Đường thẳng $d:ax + by = c$đi qua điểm$M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$$ \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = c.$
| category Học Toán 9 |
Làm thế nào để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
Bài viết sẽ giúp bạn biết cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng 2 cách giải hệ nhanh và chính xác nhất: Phương pháp thế và phương pháp cộng đại số!
Trước hết ta cần phải biết hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng
trong đó a, b, a’, b’, c, c’ là các số thực cho trước [a² + b² ≠ 0 và a’² + b’² ≠ 0] và x, y là ẩn.
Nếu hai phương trình [1] và [2] có nghiệm chung thì đó là nghiệm của hệ phương trình.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Để giải một hệ phương trình, ta có thể biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản hơn. Và phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bước 1: Từ một phương trình, ta rút 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai và rút gọn để được một phương trình mới còn 1 ẩn.
Bước 2: Giải phương trình mới rồi thế vào 1 phương trình ban đầu đầu để giải ra ẩn còn lại. Sau khi tính ra hai ẩn, ta kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Giải hệ phương trình:
Giải:
Giải hệ phương trình:
Giải:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp nếu cần sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới chỉ còn 1 ẩn.
Bước 3: Giải phương trình mới thu được ra 1 ẩn rồi thay vào 1 phương trình ban đầu để giải ẩn còn lại. Kết luận nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ví dụ về Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Giải hệ phương trình:
Giải:
Đầu tiên ta thấy rằng, để tạo ra hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta phải nhân 1 số vào 1 phương trình hay cả hai phương trình.
Ta nên chọn nhân 1 số vào 1 phương trình để bớt tính toán. Vì thế ta chọn nhân vào hệ số của y ở phương trình [2].
Nếu ta chọn nhân 5 vào phương trình [2] thì sẽ có hệ số mới của y ở [2] là đối với hệ số của y ở [1]:
5.2x – 5y = 5. [-8] hay
10x – 5y = – 40
Như vậy ta có hệ:
Cộng vế với vế của hai phương trình ta sẽ triệt tiêu được một nghiệm y.
Ta có phương trình mới chỉ còn nghiệm x là:
13x = – 39
suy ra x = -39/13 = -3.
Thay x = – 3 vào phương trình [1] ta có:
3.[-3] + 5y = 1
=> 5y = 10
suy ra y = 2.
Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là [x, y] = [-3, 2].
Giải hệ phương trình:
Giải:
Ta thấy ngay hệ số của x ở cả hai phương trình đều là 4. Vì thế ta trừ vế với vế của hai phương trình:
Ta có phương trình mới chỉ còn nghiệm y:
10y = 40
suy ra y = 40/10 = 4
Ta thay y = 4 vào phương trình 4x + 7y = 16 ta được:
4x + 7.4 = 16
=> 4x = 16 – 28
=> 4x = – 12
=> x = -12/4 = -3.
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là [x, y] = [-3, 4].
Chú ý:
Nếu hệ số của 1 ẩn nào đó của cả 2 phương trình giống nhau thì ta trừ vế với vế của hai phương trình.
Còn nếu hệ số của 1 ẩn nào đó của 2 phương trình đối nhau thì ta cộng vế với vế của hai phương trình.
Như vậy ta đã học được 2 cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là áp dụng
- Phương pháp thế
- Phương pháp cộng đại số
Tùy thuộc vào hệ phương trình mà ta chọn cách phù hợp để giải nhanh và chính xác.
Dù chọn cách nào chúng ta cũng nên tính toán và biến đổi cẩn thận thì mới giải ra nghiệm đúng.
Xem thêm:
Các bài viết Toán 9
Chào các bạn, mình là Thùy Dung - người tạo ra LỚP HỌC TÍCH CỰC này. Là một giáo viên toán, theo mình nghĩ, học phải vui thì mới có hiệu quả. Hi vọng những kiến thức, ý tưởng mình chia sẻ sẽ giúp được bạn trong học tập.