Vậy làm sao để xác định một tập hợp? tập hợp rỗng [trống] là tập như thế nào? trên tập hợp có các phép toán gì? và tập hợp có các dạng toán nào? chúng ta cùng tìm câu trả lời qua bài viết hệ thống lại kiến thức về tập hợp và cách giải các dạng toán về tập hợp dưới đây.
I. Lý thuyết về Tập hợp
1. Tập hợp
- Cho tập hợp A
+ Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a A.
+ Nếu a là phần tử không thuộc tập a ta viết a A.
2.Một tập hợp xác định bởi
a] Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp
- Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấu{}, các phần tử cách nhau bằng dấu phẩy [,] hoặc chấm phẩy [;].
Ví dụ: A = {1,2,3,4,5,6}
b] Viết tập hợp bằng cách nếu tính chất đặc trưng của tập
- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó
Ví dụ:
- Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ ven.
3. Tập hợp rỗng
- Là tập hợp không chứa phần tử nào, Ký hiệu làØ
A Øx: x A
4. Tập hợp con của một tập hợp
- Cho 2 tập A, B:
- Lưu ý:
Tập A có n phần tử thì A có 2n tập con.
5. Hai tập hợp bằng nhau
- Cho 2 tập A, B: A = B A B vàBA
6. Một số tập hợp số
a] Các tập hợp số
- Tập hợp số tự nhiên:
- Tập hợp số tự nhiên khác 0:
- Tập hợp số nguyên:
- Tâp hợp số hữu tỉ:
Tập hợp các số hữu tỉ gồm các số thập phân hữu hạn và thập phân vô hạn tuần hoàn
- Tập hợp số vô tỉ:
- Tập hợp số thực:
b] Mối quan hệ giữa các tập hợp số
7. Các phép toán trên tập hợp
a] Phép giao
b] Phép hội
c] Phép hiệu
AB = {x| x A và x B}
AA =
A = A
ABBA
d] Phép lấy phần bù: Khi B A:
II. Các dạng bài tập toán về Tập hợp
Dạng 1. Xác định tập hợp
* Phương pháp:
- Liệt kê các phần tử của tập hợp: A = {a1, a2, a3,...}
- Nêu tính đặc trưng của tập hợp: A = {x X| p[x]}
Ví dụ 1: Tìm tập hợp các số tự nhiên chẵn khác 0 và nhỏ hơn 10
* Hướng dẫn:
- Ta liệt kê các phần tử: A = {2,4,6,8} hoặc A = {x N*| x = BS[2] và x < 10}
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình: x[x-1][x-2][x2-1] = 0
* Hướng dẫn:
- Liệt kê: A = {0, -1, 1, 2}
- A ={x Z| x[x-1][x-2][x2-1] = 0} A = {x Z| x[x-2][x2-1] = 0}
Ví dụ 3: Viết tập hợp A = {2,3} bằng cách nêu ra tính chất đặc trưng của nó.
* Hướng dẫn:
- Ta có thể viết như sau:
A ={x N| 1 < x < 4}
A ={xN| 2 x3}
A ={xN| [x-2][x-3] = 0}
A ={xN|x2 - 5x + 6= 0}
Dạng 2.Tập hợp con, Tập hợp bằng nhau
* Phương pháp:Áp dụng định nghĩa
+]
+] A Bx A x B
+] A = B A B và B A
+] A B A BhoặcB A
Ví dụ 1: Cho 2 tập hợp A = {x Z| x3 - 2x2 - x + 2 = 0} và B = {x Z| x2- 3x + 2 = 0} hãy đặt dấu và giữa A và B.
* Hướng dẫn:
- Ta liệt kê các phần tử tập A và B: A = {-1; 1; 2} , B = {1; 2}
B A
Ví dụ 2: Cho A = {x | x[x-1][x-2]= 0} Tìm các tập con của A và tập con đó có chứa phần tử 0.
* Hướng dẫn:
- Liệt kê số phần tử của A = {0; 1; 2}vậy tập A có 23 = 8 tập con như sau:
{0}, {1}, {2}, {0;1}, {0;2}, {1;2} , {0;1;2} vàØ
Các tập có chứa phần tử 0 là:{0}, {0;1}, {0;2}, {0;1;2}
Ví dụ 3: Chotập hợp,
Xác định =, giữa A và B
* Hướng dẫn:
- Ta có:A = [-2;0] U [0;3] và B = [-2;0] U [0;3]
A B
Ví dụ 4: Cho các tập hợp: E = {-3; 4}, F = {-3; x2} , G = {-3; x2; y}. Xác định x, y để E=F=G.
* Hướng dẫn:
- ĐểE = F thì x2 = 4 x = 2 hoặc x = -2
- Để F = G thì y = - 3 hoặc y = x2 = 4
Để E = F = G thì x =±2 và y = -3 hoặc y = 4;
Dạng 3. Các phép toán trên tập hợp, Giao, Hợp, Hiệu
* Phương pháp:Áp dụng định nghĩa
- Liệt kê A, B
- A B : Lấy các phần tử giống nhau của A và B
- A U B : Lấy tất cả các phần tử của A, của B và củaA B [chung]
- A B: Lấy các phần tử của A và không phải của B
Ví dụ 1: Cho 2 tập hợp A = {x R | x2 - 4x + 3 0} và A = {x R | x2 - 3x +2 0} tính A U B,A B,A B vàBA.
* Hướng dẫn:
- Liệt kê: A = {1;3} và B = {1;2} ta có:
A U B = {1;2;3} ,A B = {1} ,A B = {3} ,BA = {2}
Ví dụ 2:Cho 2 tập hợpA = {x R | x2- 4x + 3 = 0}vàA = {x R | x2 -3x +2= 0}tính A U B,A B,A B vàBA.
* Hướng dẫn:
-Liệt kê:A = [1;3] và B = [1;2] ta có:
A U B = [1;3] ,A B = [1;2] ,A B = [2;3] ,BA =
Dạng 4. Giải toán bằng biểu đồ VEN
* Phương pháp:Áp dụng định nghĩa
Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A đều biết chơi cờ tướng hoặc cờ vua, biết rằng có 25em biết chơi cờ tướng, 30em biết chơi cờ vua, 15em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu em chỉ biết chơi cờ tướng? Bao nhiêu em chỉ biết chơi cờ vua? Sĩ số lớp là bao nhiêu?
* Hướng dẫn:
- Ta vẽ biểu đồ VEN như sau:
- Số học sinh chỉ biết chơi cờ vua là: 30 - 15 = 15.
- Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A là: 10 + 15 + 15 = 40 học sinh.
Ví dụ 2:Lớp 10B có 45học sinh, trong đó có 25em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18em thích môn Sử, 66 em không thích môn nào, 55em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?
* Hướng dẫn:
- Ta vẽ biểu đồ VEN như sau:
x là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.
y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và Toán.
z là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Sử.
- Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 - 6 = 39.
- Dựa vào sơ đồ Ven ta có hệ phương trình:
[I]
- Giải hệ phương trình [I] bằng cách cộng vế với vế 3 phương trình đầu ta có:
a + b + c + 2[x + y + z] + 15 = 63 kết hợp với phương trình cuối của hệ: x + y + z + a + b + c + 5 = 39 ta được:
a + b + c + 2[39 - 5 - a - b - c] + 15 = 63 a + b + c = 20
Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.
III. Một số bài tập về Tập hợp
Bài 1 trang 13 SGK Đại số 10:a] Cho A = {x ϵ N | x < 20 và x chia hết cho 3}.
Hãy liệt kê các phần tử của A.
b] Cho B = {2, 6, 12, 20, 30}.
Hãy xách định B bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
c] Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao trên 1m60.
* Lời giải bài 1 trang 13 SGK Đại số 10:
a] Tập hợp A là tập các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20.
Vậy A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}
b] Nhận thấy: 2 = 1.2 ; 6 = 2.3 ; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ; 30 = 5.6
Vậy B = {x = n[n + 1] | n N* và n 5}
c] Ví dụ: C = {Tuấn, Phúc, Trang, Linh}.
Bài 2 trang 13 SGK Đại số 10:Trong hai tập hợp A, B dưới đây, tập hợp nào là tập hợp con của tập còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không?
a] A là tập hợp các hình vuông; B là tập hợp các hình thoi.
b] A = {n N | n là một ước chung của 24 và 30}; B = { n N | n là một ước của 6}.
* Lời giải bài 2 trang 13 SGK Đại số 10:
a] Vì mỗi hình vuông đều là một hình thoi nên A B. Có những hình thoi không phải là hình vuông nên B A.
Vậy A B.
b] A = {n N | n là một ước chung của 24 và 30} = {1; 2; 3; 6}. B = {n N | n là một ước của 6} = {1; 2; 3; 6}.
- Ta thấy A B và B A nên A = B.
Bài 3 trang 13 SGK Đại số 10:Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau:
a] A = {a; b}
b] B = {0; 1; 2}
* Lời giải bài 3 trang 13 SGK Đại số 10:
a] A = {a; b} có 22 = 4 các tập con đó là: ; {a}; {b}; {a; b}
b] B = {0; 1; 2} có 23 = 8 các tập con đó là: ; {0}; {1} ; {2} ; {0, 1} ; {0, 2} ; {1, 2} ; {0; 1; 2}.
Bài 3 trang 15 SGK Đại số 10:Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi
a] Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt?
b] Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?
* Lời giải bài 3 trang 15 SGK Đại số 10:
- Các bạn được HKT = 20.
- Số bạn HLT + HKT = 10.
Số bạn được HKT mà không được HLG = 15 10 = 5.
Số bạn được HLG mà không được HKT = 20 10 = 10.
Vậy số bạn được khen thưởng = [số bạn được HKT mà không được HLG]
+ [số bạn được HLG mà không được HKT]
+ [số bạn vừa được HLG, vừa được HKT]
= 5 + 10 + 10 = 25 [bạn].
b] Số học sinh chưa được xếp loại HLG và chưa có HKT là: 45 25 = 20 [bạn].