2D4 SO PHUC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [288.05 KB, 22 trang ]
Câu 1: [Tham khảo THPTQG 2019] Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số
phức z = 1 + 2i ?
y
Q
2
1
N
2 1 O
1
2 x
M
P
A. N .
B. P .
D. Q .
C. M .
Lời giải
Q [ 1; 2 ]
Số phức z = 1 + 2i có điểm biểu diễn là điểm
.
2a + [ b + i ] i = 1 + 2i
Câu 2: [Tham khảo THPTQG 2019] Tìm các số thực a và b thỏa mãn
với i là đơn vị ảo.
1
a = , b =1
2
A. a = 0, b = 2 .
B.
.
C. a = 0, b = 1 .
D. a = 1, b = 2 .
Lời giải
Ta có
2a + [ b + i ] i = 1 + 2i [ 2a 1] + bi = 1 + 2i
2a 1 = 1
b = 2
a = 1
b = 2 .
Câu 3: [Tham khảo THPTQG 2019] Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình
z 2 3z + 5 = 0 . Giá trị của z1 + z2 bằng
A. 2 5 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 10 .
Lời giải
3 + 11i
z1 =
2
z 2 3z + 5 = 0
3 11i
z2 =
z = z2 = 5 z1 + z2 = 2 5
2
Ta có :
. Suy ra 1
.
Câu 4: [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Số phức 3 + 7i có phần ảo bằng:
A. 3
B. 7
C. 3
D. 7
Lời giải
Câu 5: [Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018] Số phức 5 + 6i có phần thực bằng
A. 5 .
B. 5
C. 6 .
Lời giải
Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 6 .
D. 6 .
Câu 6: [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
A. 1 3i
B. 1 3i
C. 1 + 3i
D. 1 + 3i
Lời giải
Câu 7: [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
A. 3 + 4i .
B. 4 3i .
C. 3 4i .
D. 4 + 3i .
Lời giải
3
Số phức có phần thực bằng và phần ảo bằng 4 là: z = 3 + 4i .
Câu 8: [Tham khảo 2018] Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
A. z = 2 + i
Theo hình vẽ
B. z = 1 2i
C. z = 2 + i
Lời giải
D. z = 1 + 2i
M [ 2;1] z = 2 + i
z
Câu 9: [THPTQG năm 2017 Mã đề 104] Cho số phức z = 2 + i . Tính .
A.
z =3
Ta có
z = 22 + 1 = 5
B.
z =5
C.
Lời giải
z =2
D.
z = 5
.
Câu 10: [THPT QG 2017 Mã đề 105] Cho số phức z = 2 3i . Tìm phần thực a của z ?
A. a = 2
B. a = 3
C. a = 2
D. a = 3
Lời giải
Số phức z = 2 3i có phần thực a = 2.
x, y sao cho x2 1+ yi = 1+ 2i .
Câu 11: [THPT QG 2017 Mã đề 105] Tìm tất cả các số thực
A. x = 2, y = 2
B. x = 2, y = 2
C. x = 0, y = 2
D. x = 2, y = 2
Lời giải
2
x 1 = 1 x = 0
2
y= 2
x
1
+
yi
=
1
+
2
i
y = 2
Từ
Câu 12: [THPT QG 2017 Mã đề 110] Cho hai số phức z1 = 4 3i và z2 = 7 + 3i . Tìm số phức
z = z1 z2
.
A. z = 3+ 6i
B. z = 11
C. z = 1 10i
Lời giải
D. z = 3 6i
= [ 4 3i ] [ 7 + 3i ] = 3 6i
Ta có z = z1 z2
.
3
Câu 13: [THPT QG 2017 Mã đề 110] Cho số phức z = 1 i + i . Tìm phần thực a và phần ảo b của z .
a = 1,b = 2
a = 2,b = 1
a = 1, b = 0
a = 0,b = 1
A.
B.
C.
D.
Lời giải
3
2
2
Ta có: z = 1 i + i = 1 i + i .i = 1 i i = 1 2i [vì i = 1 ]
Suy ra phần thực của z là a = 1, phần ảo của z là b = 2 .
Câu 14: Cho 2 số phức
A. z = 7 4i
z1 = 5 7i
z = 2 + 3i
z= z +z
1
2.
và 2
. Tìm số phức
B. z = 2 + 5i
C. z = 3 10i
D. 14
Lời giải
z = 5 7i + 2+ 3i = 7 4i .
Câu 15: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo.
A. z = 2 + 3i
Số phức
B. z = 3i
C. z = 3 + i
Lời giải
D. z = 2
z được gọi là số thuần ảo nếu phần thực của nó bằng 0 .
Câu 16: Cho số phước z = 1 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = iz trên mặt phẳng
tọa độ
N [ 2;1]
P [ 2;1]
M [ 1; 2]
Q [ 1;2]
A.
B.
C.
D.
Lời giải
w = iz = i [ 1 2i ] = 2 + i
Câu 17: [Đề minh họa lần 1 2017] Cho số phức z = 3 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z :
A. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i
C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i
B. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2
D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2
Lời giải
z = 3 2i z = 3 + 2i . Vậy phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2
Câu 18: [Đề minh họa lần 1 2017] Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z
A. w = 7 3i .
B. w = 3 3i .
C. w = 3 + 7i. .
Lời giải
Ta có w = iz + z = i [2 + 5i] + [2 5i] = 2i 5 + 2 5i = 3 3i
D. w = 7 7i
Câu 19: [Đề tham khảo lần 2 2017] Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3 2 2i .
Tìm a , b .
A. a = 3; b = 2
B. a = 3; b = 2 2
C. a = 3; b = 2
D. a = 3; b = 2 2
Lời giải
Số phức 3 2 2i có phần thực là a = 3 và phần ảo là b = 2 2 .
Câu 20: [Đề thử nghiệm THPT QG 2017] Kí hiệu
z0
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương
trình 4 z 16 z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số
2
phức
w = iz0
?
1
M2 ;2÷
2 .
B.
1
M1 ; 2 ÷
2 .
A.
1
M 4 ;1÷
4 .
D.
1
M 3 ;1÷
4 .
C.
Lời giải
2
= 64 4.17 = 4 = [ 2i ]
Xét phương trình 4 z 16 z + 17 = 0 có
.
2
Phương trình có hai nghiệm
Do
z0
Ta có
z1 =
8 2i
1
8 + 2i
1
= 2 i, z 2 =
= 2+ i
4
2
4
2 .
là nghiệm phức có phần ảo dương nên
w = iz0 =
z0 = 2 +
1
i
2 .
1
+ 2i
2
.
1
M2 ;2÷
w = iz0
2 .
Vậy điểm biểu diễn
là
[ 2 x 3 yi ] + [ 1 3i ] = x + 6i với i là
Câu 1: [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Tìm hai số thực x và y thỏa mãn
đơn vị ảo.
A. x = 1; y = 3
B. x = 1; y = 1
C. x = 1; y = 1
D. x = 1; y = 3
Lời giải
x +1 = 0
x = 1
[ 2 x 3 yi ] + [ 1 3i ] = x + 6i x + 1 + [ 3 y 9 ] i = 0 3 y 9 = 0 y = 3 .
Ta có
[
]
z + i [ z + 2]
Câu 2: [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo.
Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán
kính bằng
5
B. 4
A.1
5
C. 2
3
D. 2
Lời giải
z = x + yi [ x, y ¡
Đặt
].
[ z + i ] [ z + 2 ] = x + [ 1 y ] i [ x + 2 ] + yi là số thuần ảo x [ x + 2 ] + y [ y 1] = 0
x2 + y 2 + 2x y = 0 .
1
5
I 1; ÷, R =
2
2 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm
Câu 3: [Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018] Tìm hai số thực
x
và y thỏa mãn
[ 3x + yi ] + [ 4 2i ] = 5 x + 2i
A. x = 2 ; y = 4
với i là đơn vị ảo.
B. x = 2 ; y = 4
C. x = 2 ; y = 0
D. x = 2 ; y = 0
Lời giải
2 x 4 = 0
[ 3x + yi ] + [ 4 2i ] = 5 x + 2i 2 x 4 + [ 4 y ] i = 0 4 y = 0
x = 2
y = 4 .
[ z + 2i ] [ z 2 ] là số thuần ảo.
Câu 4: [Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018] Xét các số phức z thỏa mãn
Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có
bán kính bằng
A. 2
B. 2 2
C. 4
Lời giải
Giả sử z = x + yi với x, y ¡ .
D.
2
[ z + 2i ] [ z 2 ] = x + [ 2 y ] i [ x 2 ] + yi =
Vì
x [ x 2 ] y [ 2 y ] + xy + [ x 2 ] [ 2 y ] i
là số thuần ảo nên có phần thực bằng không do
đó
x [ x 2 ] y [ 2 y ] = 0 [ x 1] 2 + [ y 1] 2 = 2
phức
z
là một đường tròn có bán kính bằng
. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số
2.
Câu 5: [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Tìm hai số thực x và y thỏa mãn
[ 2 x 3 yi ] + [ 3 i ] = 5 x 4i
A. x = 1; y = 1 .
với i là đơn vị ảo.
B. x = 1; y = 1 .
C. x = 1; y = 1 .
Lời giải
D. x = 1; y = 1 .
2 x + 3 = 5 x
x = 1
3 y + 1 = 4
y =1
[ 2 x 3 yi ] + [ 3 i ] = 5 x 4i [ 2 x + 3] [ 3 y + 1] i = 5 x 4i
[
]
z 2i [ z + 2 ]
Câu 6: [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo.
Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có
bán kính bằng?
A. 2 2
B.
2
D. 4
C. 2
Lời giải
Gọi z = a + bi , a, b ¡
z 2i [ z + 2 ] = [ a bi 2i ] [ a + bi + 2 ] = a 2 + 2a + b 2 + 2b 2 [ a + b + 2 ] i
Ta có:
2
2
z 2i [ z + 2 ]
a 2 + 2a + b 2 + 2b = 0 [ a + 1] + [ b + 1] = 2
Vì
là số thuần ảo nên ta có
.
z
Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn có bán kính
bằng 2 .
[
[
]
]
[ 3x + 2 yi ] + [ 2 + i ] = 2 x 3i với
Câu 7: [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Tìm hai số thực x và y thỏa mãn
i là đơn vị ảo.
A. x = 2; y = 2 .
B. x = 2; y = 1 .
C. x = 2; y = 2 .
D. x = 2; y = 1 .
Lời giải
Ta có:
[ 3x + 2 yi ] + [ 2 + i ] = 2 x 3i
3x + 2 + [ 2 y + 1] = 2 x 3i
3 x + 2 = 2 x
x = 2
2 y + 1 = 3
y = 2 .
[ z + 3i ] [ z 3] là số
Câu 8: [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Xét các số phức z thỏa mãn
thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường
tròn có bán kính bằng:
9
A. 2 .
B. 3 2 .
C. 3 .
3 2
D. 2 .
Lời giải
Gọi z = x + yi , với x, y R .
[ z + 3i ] [ z 3] = z 2 3z + 3iz 9i
Theo giả thiết, ta có
là số thuần ảo khi
3 3
3 2
I ; ÷
R=
x + y 3 x 3 y = 0 . Đây là phương trình đường tròn tâm 2 2 , bán kính
2 .
2
2
2
Câu 9: [Tham khảo 2018] Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 4 z + 3 = 0 . Giá trị
của biểu thức
A. 3 2
z1 + z2
bằng:
B. 2 3
C. 3
Lời giải
D.
3
1
z1 = +
2
1
z2 =
2
2
Xét phương trình 4 z 4 z + 3 = 0 ta có hai nghiệm là:
z1 = z2 =
Câu 10:
3
2 z1 + z2 = 3
[Tham khảo 2018] Cho hàm số
f '[ x] =
2
i
2
2
i
2
2
, f[ 0] = 1,
2x 1
1
R\
f [x] xác định trên
2 thỏa mãn
[ 1] = 2
. Giá trị của biểu thức
B. 2 + ln15
C. 3 + ln15
Lời giải
A. 4 + ln15
f[ 1] +
[ 3]
bằng
D. ln15
2
2x 1dx = ln 2x 1 + C = f [ x]
Với
Với
Nên
x
1
C = 2
f [ 3] = 2 + ln5
2
nên
f[ 1] +
[ 3] = 3+ ln15
Câu 11: [THPTQG năm 2017 Mã đề 104] Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 3i = 3 2i .
A. z = 1 5i .
B. z = 1 + i .
C. z = 5 5i .
D. z = 1 i .
Lời giải
z + 2 3i = 3 2i z = 3 2i 2 + 3i = 1 + i .
Câu 12: [THPTQG năm 2017 Mã đề 104] Cho số phức z1 = 1 2i , z2 = 3 + i . Tìm điểm biểu diễn của
số phức z = z1 + z2 trên mặt phẳng tọa độ.
A.
N [ 4; 3]
z = z1 + z2 = 2 i .
B.
M [ 2; 5 ]
C.
Lời giải
P [ 2; 1]
D.
Q [ 1; 7 ]
2
Câu 13: [THPTQG năm 2017 Mã đề 104] Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z + 4 = 0 .
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON
với O là gốc tọa độ.
A. T = 2
C. T = 8
Lời giải
B. T = 2
D. 4
z = 2i
z2 + 4 = 0 1
z2 = 2i
Ta có:
Suy ra
T = OM + ON =
M [ 0; 2 ] N [ 0; 2 ]
;
nên
[ 2 ]
2
+ 22 = 4
.
Câu 14: [THPTQG năm 2017 Mã đề 104] Cho số phức z thỏa mãn | z |= 5 và | z + 3 |=| z + 3 10i | . Tìm
số phức w = z 4 + 3i.
A. w = 3 + 8i.
B. w = 1 + 3i.
C. w = 1 + 7i.
Lời giải
D. w = 4 + 8i.
z = x + yi , [ x, y ¡ ] . Theo đề bài ta có
x 2 + y 2 = 25 và [ x + 3] 2 + y 2 = [ x + 3] 2 + [ y 10] 2 .
Giải hệ phương trình trên ta được x = 0; y = 5 . Vậy z = 5i . Từ đó ta có w = 4 + 8i .
Câu 15: [THPT QG 2017 Mã đề 105] Cho hai số phức z1 = 1 3i và z2 = 2 5i . Tìm phần ảo b của
số phức z = z1 z2 .
A. b = 2
B. b = 3
C. b = 3
D. b = 2
Lời giải
Ta có z = z1 z2 = 3+ 2i b = 2
Câu 16:
[THPT QG 2017 Mã đề 105] Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình
1 1
P= +
z1 z2
z2 z + 6 = 0 . Tính
.
1
1
1
A. 12
B. 6
C. 6
D. 6
Lời giải
Theo định lí Vi-et, ta có
z1 + z2 = 1
z1z2 = 6
P=
nên
1 1 z1 + z2 1
+ =
=
z1 z2
z1.z2
6
Câu 17: [THPT QG 2017 Mã đề 110] Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là
điểm M như hình bên.
A. z1 = 1 2i
B. z1 = 1+ 2i
C. z1 = 2+ i
D. z1 = 2 + i
Lời giải
Điểm
Câu 18:
M [ 2;1]
là điểm biểu diễn số phức
z1 = 2+ i
[THPT QG 2017 Mã đề 110] Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình
3z2 z + 1 = 0 . Tính P = z1 + z2 .
A.
P=
14
3
B.
P=
2
3
P=
C.
3
3
D.
P=
2 3
3
Lời giải
2
= [ 1] 4.3.1 = 11< 0
Xét phương trình 3z z + 1 = 0 có
. Căn bậc hai của là ±i 11 .
2
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt
z1 =
1+ i 11 1
11
1 i 11 1
11
= +
i ; z2 =
=
i
6
6 6
6
6 6
Từ đó suy ra:
2
2
2
2
1 11
1
11
1
11
1
11
3
3
+ ÷ +
÷
+
i+
i = ÷ +
6 ÷
÷ =
+
6
6
6 6
P = z1 + z2 = 6
6 6 ÷
3
3
=
2 3
3
Cách khác: Sử dụng máy tính Casio FX 570ES Plus hỗ trợ tìm nghiệm phương trình bậc 2 sau đó vào
môi trường số phức [Mode 2 CMPLX] tính tổng môđun của 2 nghiệm vừa tìm được.
Câu 19: [THPT QG 2017 Mã đề 110] Cho số phức
S = 4a+ b.
A. S = 4
B. S = 2
z = a+ bi [ a, b ¡
C. S = 2
Lời giải
]
thoả mãn
D. S = 4
a+ 2 = a2 + b2 , a 2
z + 2+ i = z [ a+ 2] + [ b+ 1] i = a2 + b2
b+ 1 = 0
Ta có
3
b = 1
a =
4 S = 4a+ b = 4
2
2
[ a+ 2] = a + 1 b = 1
.
z + 2+ i = z
. Tính
Câu 20: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
2
2
A. z 2z 3 = 0
B. z + 2z + 3 = 0
1+ 2i và 1 2i là nghiệm.
2
C. z 2z + 3 = 0
2
D. z + 2z 3 = 0
Lời giải
z1 + z2 = 2
z .z = 3
Theo định lý Viet ta có 1 2
, do đó
z1 , z2
là hai nghiệm của phương trình
z 2z + 3 = 0
2
Câu 21: Cho số phức
z = a+ bi ,[ a, b ¡
A. S = 5
B.
] thỏa mãn z + 1+ 3i z i = 0 .Tính S = a+ 3b.
S=
7
3
C. S = 5
Lời giải
D.
S=
7
3
a = 1
a+ 1 = 0
z + 1+ 3i z i = 0 a+ bi + 1+ 3i a2 + b2 i = 0
4
2
2
b+ 3 a + b = 0 b =
3
Ta có:
S = a+ 3b = 5.
Câu 22: [Đề minh họa lần 1 2017] Cho hai số phức
A.
z1 + z2 = 13
.
B.
z1 = 1 + i và z2 = 2 3i . Tính môđun của số phức z1 + z2 .
z1 + z2 = 5
z1 + z2 = 1 + i + [ 2 3i ] = 3 2i
nên ta có:
.
C.
Lời giải
z1 + z2 = 1
.
z1 + z2 = 5
D.
z1 + z2 = 3 2i = 32 + 22 = 13
.
.
Câu 23: [Đề minh họa lần 1 2017] Cho số phức z thỏa mãn [1 + i ] z = 3 i. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào
trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên?
A. Điểm P
B. Điểm Q
C. Điểm M
Lời giải
D. Điểm N
[1+ i] z = 3 i z =
3 i [ 3 i ] [ 1 i ] 2 4i
=
=
= 1 2i
1+ i [1+ i] [1 i]
2
Q [ 1; 2 ]
.Vậy điểm biểu diễn của z là
.
Câu 24: [Đề minh họa lần 1 2017] Kí hiệu
Tính tổng
z1 , z2 , z3
và
z4
4
2
là bốn nghiệm phức của phương trình z z 12 = 0 .
T = z1 + z2 + z3 + z4
B. T = 2 3
A. T = 4
C. T = 4 + 2 3
Lời giải
D. T = 2 + 2 3
z 2 = 3 z = ±i 3
z 4 z 2 12 = 0 2
z = 4
z = ±2
T = z1 + z2 + z3 + z4 = i 3 + i 3 + 2 + 2 = 2 3 + 4
z = [ 4 3i ] [ 1 + i ]
Câu 25: [Đề tham khảo lần 2 2017] Tính môđun của số phức z biết
.
A.
z = 25 2
B.
z =7 2
C.
Lời giải
z =5 2
D.
z = 2
z = [ 4 3i ] [ 1 + i ] = 7 + i z = 7 i z = 5 2
2
Câu 26: [Đề tham khảo lần 2 2017] Kí hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z + z + 1 = 0 . Tính
P = z12 + z22 + z1 z2
A. P = 1
.
B. P = 2
C. P = 1
Lời giải
D. P = 0
Cách 1
1
z = +
2
z2 + z +1 = 0
1
z =
2
3
i
2
3
i
2
2
2
1
3 1
3 1
3 1
3
P = z + z + z1 z2 = +
i÷
+
i
+
+
i
i÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷= 0
2 2 2 2 2 2 2 2
2
1
2
2
Cách 2: Theo định lí Vi-et: z1 + z2 = 1 ; z1.z 2 = 1 .
P = z12 + z22 + z1 z2 = [ z1 + z2 ] 2 z1 z2 + z1 z2 = 12 1 = 0
2
Khi đó
.
Câu 27: [Đề thử nghiệm THPT QG 2017] Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z .
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3
C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4
B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i
D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i
Lời giải
Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức z = x + yi được biểu diễn bởi điểm M [ x; y ] .
Điểm M trong hệ trục Oxy có hoành độ x = 3 và tung độ y = 4 .
Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4 .
Câu 28: [Đề thử nghiệm THPT QG 2017] Tìm số phức liên hợp của số phức
A. z = 3 i .
B. z = 3 + i .
z = i [ 3i + 1] = 3 + i
nên suy ra
C. z = 3 + i .
Lời giải
A.
z [ 2 i ] + 13i = 1
Câu 30:
B.
z=
z = 34
C.
Lời giải
z =
z
A.
1
2
thỏa mãn
5 34
3
[Đề thử nghiệm THPT QG 2017] Cho số phức
P=
D. z = 3 i .
z [ 2 i ] + 13i = 1
D.
[ 1 13i ] [ 2 + i ] z = 3 5i
1 13i
z=
2i
[ 2 i] [ 2 + i]
[ 1 + i ] z + 2 z = 3 + 2i. Tính
.
z = 3 i .
Câu 29: [Đề thử nghiệm THPT QG 2017] Tính môđun của số phức
z = 34
z = i [ 3i + 1]
z=
34
3
z = 32 + [ 5] = 34.
2
.
z = a + bi [ a, b ¡
]
P = a+b .
B. P = 1
C. P = 1
Lời giải
.
D.
P=
1
2
thỏa mãn
[ 1 + i ] z + 2 z = 3 + 2i. [ 1] . Ta có: z = a + bi z = a bi.
[ 1] ta được [ 1 + i ] [ a + bi ] + 2 [ a bi ] = 3 + 2i
Thay vào
[ a b ] i + [ 3a b ] = 3 + 2i [ a b ] i + [ 3a b ] = 3 + 2i
1
a=
a
b
=
2
2 P = 1.
3a b = 3
b = 3
2
[
]
[ z + 2i ] z + 2
Câu 1: [Tham khảo THPTQG 2019] Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần
ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó
có tọa độ là
[ 1; 1] .
[ 1;1] .
[ 1;1] .
[ 1; 1] .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Gọi
z = x + yi, [ x, y ¡
Ta có:
] . Điểm biểu diễn cho
[ z + 2i ] [ z + 2 ] = [ x + yi + 2i ] [ x yi + 2 ]
= x [ x + 2 ] + y [ y + 2 ] + i [ x 2 ] [ y + 2 ] xy
x [ x + 2] + y [ y + 2] = 0
[ x + 1] + [ y + 1] = 2
2
z là M [ x; y ] .
là số thuần ảo
2
.
I [ 1; 1]
Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn có tâm
.
2
Câu 2: [Tham khảo THPTQG 2019] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
z 1 i = z 3 + 3i
A. 4 .
z =2 z+z +4
và
?
C. 1 .
Lời giải
B. 3 .
D. 2 .
[ x; y ¡ ] .
Gọi z = x + yi
x 2 + y 2 4 x 4 = 0, x 0 [ 1]
2
2
2
z = 2 z + z + 4 x2 + y2 = 4 x + 4
x + y + 4 x 4 = 0, x < 0 [ 2 ] .
z 1 i = z 3 + 3i [ x 1] + [ y 1] = [ x 3 ] + [ y + 3] 4 x = 8 y + 16 x = 2 y + 4 [ 3]
.
2
+ Thay
[ 3]
vào
[ 1]
2
2
2
ta được:
2
24
y = x = [ n]
5
5
2
2
2
[ 2 y + 4 ] + y 4 [ 2 y + 4 ] 4 = 0 5 y + 8 y 4 = 0 y = 2 x = 0 [ n ] .
[ 3]
+ Thay
vào
[ 2]
ta được:
y = 2 x = 0 [ l ]
14
8
2
[ 2 y + 4 ] + y 2 + 4 [ 2 y + 4 ] 4 = 0 5 y 2 + 24 y + 28 = 0 y = 5 x = 5 [ n ] .
Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện.
Câu 3: [Tham khảo 2018] Cho số phức
Tính P = a + b .
B. P = 5
A. P = 1
Ta có:
z = a + bi [ a, b ¡
thỏa mãn
z + 2 + i z [1+ i] = 0
C. P = 3
Lời giải
và
z >1
.
D. P = 7
z + 2 + i z [ 1 + i ] = 0 a + bi + 2 + i a 2 + b 2 [ 1 + i ] = 0
2
[
2
2
a + 2 a + b + b +1 a + b
Lấy
]
[ 1]
trừ
[ 2]
2
]
a + 2 a 2 + b 2 = 0 [ 1]
i=0
b + 1 a 2 + b 2 = 0 [ 2 ]
[ 1] ta được:
ta được: a b + 1 = 0 b = a + 1 . Thế vào
a + 2 a 2 + [ a + 1] = 0 a + 2 = 2a 2 + 2a + 1
2
a 2
a 2
a 2
2
a = 3 [ tm ]
2
2
a + 4a + 4 = 2a + 2a + 1 a 2a 3 = 0
a = 1 tm
[ ]
Với a = 3 b = 4 ; a = 1 b = 0 .
a = 3
z > 1 z = 3 + 4i
P = a +b = 3+ 4 = 7
b = 4
Vì
.
Câu 4: [THPTQG năm 2017 Mã đề 104] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn
z 3 +i = m
tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z = 1 và
. Tìm số phần tử của S .
A. 2 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 3 .
Lời giải
x 2 + y 2 = 1 [1]
2
2
x
3
+ [ y + 1] = m 2 [m 0]
z
=
x
+
yi
,
[
x
,
y
¡
]
Gọi
, ta có hệ
[
]
Ta thấy m = 0 z = 3 i không thỏa mãn z.z = 1 suy ra m > 0 .
1
Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn [ ] là đường tròn [C1 ] có O[0;0], R1 = 1 ,
tập hợp các điểm thỏa mãn
suy ra I nằm ngoài [C1 ] .
[ 2]
I
là đường tròn [C2 ] tâm
[
]
3; 1 , R2 = m
, ta thấy OI = 2 > R1
Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với [C1 ], [C2 ] tiếp
xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi OI = R1 + R2 m + 1 = 2 m = 1 hoặc
R2 = R1 + OI m = 1 + 2 = 3
z+ 3 = 5
z 2i = z 2 2i
Câu 5: [THPT QG 2017 Mã đề 105] Cho số phức z thỏa mãn
và
. Tính
z
.
z = 17
z = 10
z = 10
z = 17
A.
B.
C.
D.
Lời giải
z = x + yi ; x, y ¡
Đặt
2
[ x + 3] 2 + y2 = 25
[ x + 3] + y2 = 25
2
2
2
2
x + [ y 2] = [ x 2] + [ y 2]
4x + 4 = 0
Theo bài ra ta có
y2 = 9 y = ±3
x = 1
x = 1
. Vậy
z = 10
Câu 6: [THPT QG 2017 Mã đề 105] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
thuần ảo?
A. 0
B. 2
C. Vô số
Lời giải
Gọi số phức
z = a+ bi ,[ a,b ¡
z + 3i = 13
D. 1
]
z + 3i = 13 a+ bi + 3i = 13 a2 + [ b+ 3] = 13
2
Ta có
a2 + b2 + 6b 4 = 0 a2 + b2 = 4 6b[ 1]
2[ a+ 2 bi ]
z
2
2
= 1
= 1
= 1
2
z+ 2
z+ 2
a+ 2 + bi
[ a+ 2] + b2
[ a+ 2] + b 2a 4 + 2b
[ a+ 2] + b
[ a+ 2] + b
2
=
2
2
2
2
2
i=
.
a2 + b2 + 2a
[ a+ 2]
2
+ b2
+
2b
[ a+ 2]
2
+ b2
i
z
và z + 2 là số
a2 + b2 + 2a = 0[ 2]
a + b + 2a
=
0
a 2
2
z
b 0
[ a+ 2] + b2
z
+
2
Do
là số thuần ảo nên
[ 1] vào [ 2] ta có 4 6b+ 2a = 0 a = 3b 2 thay vào [ 1] ta có
Thay
b = 0[L]
2
b = 3 a = 1
2
2
3
b
2
+
b
4
+
6
b
=
0
10
b
6
b
=
0
[
]
5
5
2
2
Vậy có một số phức cần tìm.
[ z 1] là
Câu 7: [THPT QG 2017 Mã đề 110] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z + 2 i |= 2 2 và
số thuần ảo.
A. 0
B. 2
C. 4
D. 3
2
Lời giải
2
z = x + yi với [ x, y ¡ ] , vì [ z 1] = [ x 1] y + 2[ x 1] yi là số thuần ảo
Gọi số phức
[ x + 2] 2 + [ y 1] 2 = 8
2
[ x 1] = y2
nên theo đề bài ta có HPT
y = x 1, thay vào phương trình đầu, ta được
Với
2
[ x + 2] + [ x 2]
2
2
2
= 8 x2 = 0 x = 0.
Với x = 3 2 , thay vào phương trình đầu, ra được
[ x + 2] + [ x]
2
2
= 8 2x2 + 4x 4 = 0 x = 1± 3.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn.
Câu 8:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
A. 0
Đặt
z 3i = 5
B. 2
z = x + yi [ x, y ¡
z
và z 4 là số thuần ảo?
D. 1
C. Vô số
Lời giải
] . Điều kiện z 4
z 3i = 5 x + [ y 3] i = 5 x2 + [ y 3] = 25 x2 + y2 6y = 16[ 1]
2
Do
x + yi
z
=
z 4 [ x 4] + yi
x[ x 4] + y2
là số thuần ảo nên phần thực
[ x 4]
3
2
+y
2
= 0 x2 + y2 4x = 0[ 2]
[ 1] và [ 2] suy ra 4x 6y = 16 x = 4+ 2 y , thay vào [ 1] ta được:
Từ
2
3
2
24
4 + 2 y ÷ + y 6y 16 = 0 y = 0
y=
13
hoặc
Với y = 0 ta được x = 4, suy ra z = 4 [loại]
Với
y=
24
16
16 24
x=
z=
i
13 ta được
13 và
13 13 [thỏa mãn]
Vậy có một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là
z=
16 24
i
13 13
z =4
Câu 9: [Đề minh họa lần 1 2017] Cho các số phức z thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức w = [3 + 4i ] z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó
B. r = 5
A. r = 4
Giả sử
C. r = 20
Lời giải
z = a + bi ; w = x + yi ; [ a, b, x, y ¡
Theo đề
D. r = 22
]
w = [ 3 + 4i ] z + i x + yi = [ 3 + 4i ] [ a + bi ] + i
x = 3a 4b
x = 3a 4b
x + yi = [ 3a 4b ] + [ 3b + 4a + 1] i
y = 3b + 4a + 1 y 1 = 3b + 4a Ta có
[
x 2 + [ y 1] = [ 3a 4b ] + [ 4a + 3b ] = 25a 2 + 25b 2 = 25 a 2 + b 2
2
Mà
2
2
z = 4 a 2 + b 2 = 16
]
x 2 + [ y 1] = 25.16 = 400
2
. Vậy
Bán kính đường tròn là r = 400 = 20 .
Câu 10: [Đề tham khảo lần 2 2017] Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn củasố phức z
[như hình vẽ bên]. Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z ?
A. Điểm N
B. Điểm Q
C. Điểm E
y
Q
M
Gọi
z = a + bi [ a, b ¡
E
x
O
N
D. Điểm P
P
Lời giải
] . Điểm biểu diễn của
z là điểm M [ a; b ]
2 z = 2a + 2bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy là M 1 [ 2 a; 2b ] .
uuuur
uuuur
OM
=
2
OM
1
Ta có
suy ra M 1 E .
Câu 11: [Đề tham khảo lần 2 2017] Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện
z i = 5
A. 2
2
và z là số thuần ảo?
B. 3
C. 4
Lời giải
D. 0
2
2
2
Giả sử z = a+ bi z = a b + 2abi
Vì
z i = 5
2
và z là số thuần ảo ta có hệ phương trình
a = b
a = b = 4
2
2
a + [b 1] = 25
b + [b 1] = 25
a = b = 3
2 2
b = a = 4
a b = 0
a = b
2
2
b + [b 1] = 25
b = a = 3
2
2
z [ z 4 i ] + 2i = [ 5 i ] z
Câu 1: [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
?
B. 3
A. 2
C. 1
D. 4
Lời giải
Ta có
z [ z 4 i ] + 2i = [ 5 i ] z
z z 4 z z i + 2i = [ 5 i ] z z [ z 5 + i ] = 4 z + [ z 2 ] i
.
Lấy module 2 vế ta được
z
[ z 5]
2
+1 =
[4 z]
2
2
2
2
2
2
+ [ z 2 ] z [ z 5 ] + 1 = [ 4 z ] + [ z 2 ]
[ 1]
.
t= z
, t 0.
1
Phương trình [ ] trở thành
Đặt
2
2
2
t 2 [ t 5 ] + 1 = [ 4t ] + [ t 2 ] t 2 [ t 2 10t + 26 ] = 17t 2 4t + 4
3
2
t 4 10t 3 + 9t 2 + 4t 4 = 0 [ t 1] [ t 9t + 4 ] = 0
t
t
t = 1
t
3
2
t
t 9t + 4 = 0
=1
8,95
0, 69
0, 64
Ứng với mỗi giá trị t 0 , với
z=
[ n]
[ n]
[ n]
[ l]
.
4t + [ 2 t ] i
5i t
suy ra có một số phức z thỏa mãn.
Câu 2: [Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018] Có bao nhiêu số phức thỏa mãn
?
A. 2
B. 3
C. 1
Lời giải
Đặt
z = a 0, a ¡
, khi đó ta có
z [ z 6 i ] + 2i = [ 7 i ] z
D. 4
z [ z 6 i ] + 2i = [ 7 i ] z a [ z 6 i ] + 2i = [ 7 i ] z [ a 7 + i ] z = 6a + ai 2i
[ a 7 + i ] z = 6a + [ a 2 ] i [ a 7 + i ] z = 6 a + [ a 2 ] i
2
2
[ a 7 ] + 1 a 2 = 36 a 2 + [ a 2 ]
a 4 14a 3 + 13a 2 + 4a 4 = 0
a = 1
[ a 1] [ a 3 13a 2 + 4 ] = 0 3
2
a 12a + 4 = 0
Xét hàm số
f [ a ] = a 3 13a 2 [ a 0 ]
, có bảng biến thiên là
f [ a]
3
2
Đường thẳng y = 4 cắt đồ thị hàm số
tại hai điểm nên phương trình a 12a + 4 = 0
f [ 1] 0
có hai nghiệm khác 1 [do
]. Mỗi giá trị của
3
Vậy có số phức thỏa mãn điều kiện.
a
cho ta một số phức z .
Câu 3: [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
z [ z 5 i ] + 2i = [ 6 i ] z
?
B. 3
A. 1
C. 4
D. 2
Lời giải
Ta có
z [ z 5 i ] + 2i = [ 6 i ] z [ z 6 + i ] z = 5 z + [ z 2 ] i [ 1]
Lây môđun hai vế của
[ z 6]
2
[ 1]
ta có:
+ 1. z = 25 z + [ z 2 ]
2
2
Bình phương và rút gọn ta được:
[
]
4
3
2
z 12 z + 11 z + 4 z 4 = 0 [ z 1] z 11 z + 4 = 0
z
z
z =1
z
3
2
z
z 11 z + 4 = 0
z 0
z =1
Do
, nên ta có
,
bài.
3
2
=1
= 10,9667...
= 0, 62...
= 0,587...
z = 10,9667... z = 0, 62...
[ 1] ta có 3 số phức thỏa mãn đề
,
. Thay vào
z [ z 3 i ] + 2i = [ 4 i ] z
Câu 4: [THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
?
B. 3 .
A. 1 .
C. 2 .
Lời giải
z [ z 3 i ] + 2i = [ 4 i ] z [ z 4 + i ] z = 3 z + [ z 2 ] i
[ z 4]
2
+ 1. z = 9 z + [ z 2 ]
2
2
[1].
D. 4 .
[*]
Đặt
m= z 0
ta có
[ 1] [ [ m 4 ]
2
]
+ 1 .m 2 = 9m 2 + [ m 2 ]
2
m 4 8m3 + 7m 2 + 4m 4 = 0
m = 1
m 6, 91638
m 0.80344
m = 1
3
3
2
2
[ m 1] [ m 7 m + 4 ] = 0
m 0.71982
m 7m + 4 = 0
[ L]
.
3m + [ m 2 ] i
z
=
z =m
m4+i
Từ [*] ta suy ra ứng với mỗi
sẽ có một số phức
thỏa mãn đề bài.
3
z
Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: [Tham khảo 2018] Xét số phức z = a + bi
khi
z + 1 3i + z 1 + i
A. P = 10
[ a, b ¡ ]
đạt giá trị lớn nhất.
B. P = 4
Goi E là trung điểm của AB và
M [ a; b ]
C. P = 6
Lời giải
z 4 3i = 5
. Tính P = a + b
D. P = 8
là điểm biểu diễn của số phức z.
z 4 3i = 5 [ a 4 ] + [ b 3] = 5
Tập hợp điểm biểu diễn số
2
Theo giả thiết ta có:
thỏa mãn
2
I [ 4;3]
phức z là đường tròn tâm
bán kính R = 5
A [ 1;3]
Q = z + 1 3i + z 1 + i = MA + MB
B
1;
1
[
]
Ta có:
Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D
2
2
2
Ta có: Q = MA + MB + 2 MA.MB
[
Q 2 MA2 + MB 2 + MA2 + MB 2 = 2 MA2 + MB 2
]
Vì ME là trung tuyến trong MAB
ME 2 =
MA2 + MB 2 AB 2
AB 2
MA2 + MB 2 = 2ME 2 +
2
4
2
AB 2
2
2
2
Q 2 2 ME +
÷ = 4ME + AB
2
. Mặt khác ME DE = EI + ID = 2 5 + 5 = 3 5
2
[
]
2
Q 2 4. 3 5 + 20 = 200
MA = MB
Q 10 2 Qmax = 10 2
M D
uur
uur
4 = 2[ xD 4]
xD = 6
EI = 2 ID
M [ 6; 4 ] P = a + b = 10
2 = 2[ yD 3]
yD = 4
[ a 4 ] + [ b 5] = 5.
Cách 2:Đặt z = a + bi. Theo giả thiết ta có:
a 4 = 5 sin t
b 3 = 5 cos t
Đặt
. Khi đó:
2
Q = z + 1 3i + z 1 + i =
=
[
]
[ a + 1]
[
2
5 sin t + 5 + 5cos 2 t +
2
+ [ b 3] +
2
] [
2
5 sin t + 3 +
2
[ a 1]
2
+ [ b + 1]
5 cos t + 4
]
2
2
= 30 + 10 5 sin t + 30 + 2 5 [ 3sin t + 4 cos t ]
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
[
]
[
]
Q 2 60 + 8 5 [ 2sin t + cos t ] 2 60 + 8 5. 5 = 200 = 10 2
Q 10 2 Qmax = 10 2
sin t =
cos t =
Dấu bằng xảy ra khi
2
a = 6
5
P = a + b = 10.
1
b = 4
5
z + 2 i + z 4 7i = 6 2.
Câu 6: [Đề tham khảo lần 2 2017] Xét số phức z thỏa mãn
Gọi m, M lần
lượt là giá trị nhỏ nhất cả giá trị lớn nhất của
A. P = 13 + 73
B.
P=
z 1+ i .
Tính P = m + M .
5 2 + 2 73
2
C. P = 5 2 + 73
Lời giải
D.
P=
5 2 + 73
2
F 2;1] , F2 [ 4; 7 ]
N 1; 1] .
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , 1 [
và [
Từ
z + 2 i + z 4 7i = 6 2
và F1 F2 = 6 2 nên ta có A là đoạn thẳng F1 F2 . Gọi H là hình
3 3
5 2 + 2 73
H ; ÷
P = NH + NF2 =
.
F
F
2
chiếu của N lên 1 2 , ta có 2 2 . Suy ra
Câu 7: [Đề thử nghiệm THPT QG 2017] Xét số phức
nào dưới đây đúng?
z
thỏa mãn
[ 1 + 2i ]
z =
10
2 + i.
z
Mệnh đề
3
< z < 2.
A. 2
z 1 =
Ta có
Vậy
[ 1 + 2i ]
1
z
2
B.
z > 2.
C.
Lời giải
z 0.
Đặt
a 2 = 1
2
2
10
[ a + 2 ] + [ 2a 1] = 2 ÷ a 4 + a 2 2 = 0 2
a = 1 z = 1.
a
=
2
a