Có bao nhiêu khối đa diện là tam giác đều?
Trong chương trình toán bậc THPT, nội dung về khối đa diện và các bài toán liên quan đến thể tích khối đa diện rất phổ biến trong các kì thi. Như vậy khối đa diện đều là gì? Có bao nhiêu loại khối đa diện đều? Thì chủ đề này sẽ trình bày chi tiết về vấn đề đó. Show
1. Khối đa diện đều là gì?Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: • Các mặt là những đa giác đều n cạnh. • Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại. Ta có: Một quan hệ khác giữa các giá trị này cho bới công thức Euler: V−E+F=2.{\displaystyle V-E+F=2.\,}Còn có ba hệ thức khác với V, E, and F là: V=4p4−(p−2)(q−2),E=2pq4−(p−2)(q−2),F=4q4−(p−2)(q−2).{\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}Một kết quả cổ điển là chỉ có đúng năm khối đa diện đều lồi. Các mệnh đề hình học sau được biết từ Euclid trong tác phẩm Elements:
Một chứng minh khá đơn giản bằng topo dựa vào các thông tin về khối đa diện. Chìa khóa của chứng minh là công thức Euler V−E+F=2{\displaystyle V-E+F=2}, và các quan hệ pF=2E=qV{\displaystyle pF=2E=qV}. Từ các đẳng thức này 2Eq−E+2Ep=2.{\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}Một biến đổi đại số đơn giản cho ta 1q+1p=12+1E.{\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}Vì E{\displaystyle E} là số dương ta phải có 1q+1p>12.{\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}Dựa vào việc cả p và q ít nhất là 3, dễ dàng có năm cặp có thể của {p, q}: {3,3}{4,3}{3,4}{5,3}{3,5}{\displaystyle \{3,3\}\quad \{4,3\}\quad \{3,4\}\quad \{5,3\}\quad \{3,5\}}Khối đa diện đều trong trò chơi may rủi[sửa | sửa mã nguồn]Các khối đa diện đều thường được dùng là quân xúc xắc dùng trong các trò chơi may rủi. Con xúc xắc sáu mặt (khối lập phương) thường được dùng hơn cả, tuy nhiên cũng có thể dùng các khối 4, 8, 12, 20 mặt như trong hình dưới đây. |