Chủ đề 5 phương trình, bất phương trình logarit

1. Bất phương trình mũ cơ bản

\[a^x> b\] [hoặc \[{a^x} < b;\;{a^x} \le b;\;{\kern 1pt} {a^x} \ge b]\], trong đó \[a,b\] là hai số đã cho, \[a> 0, a\ne 1.\]

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình [mà cả hai vế đều dương] theo cơ số lớn hơn 1[ nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương [trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm]:

- Nếu \[b > 0\] và \[a > 1\] thì

\[\begin{array}{l}{a^x} > b \Leftrightarrow {\log _a}{a^x} > {\log _a}b \Leftrightarrow x > {\log _a}b;\\{a^x} \ge b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b\\{a^x} < b \Leftrightarrow x < {\log _a}b;\\{a^x} \le b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b

\end{array}\]

- Nếu \[b>0\]  và \[0 < a b \Leftrightarrow {\log _a}{a^x} < {\log _a}b \Leftrightarrow x < {\log _a}b;\\{a^x} \ge b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b\\{a^x} < b \Leftrightarrow x > {\log _a}b;\\{a^x} \le b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b

\end{array}\]

- Nếu \[b ≤ 0\] thì các bất phương trình \[{a^x} > b,\;\;{a^x} \ge  b\]  đều đúng với mọi \[x\] [tập nghiện là \[\mathbb R]\]

- Nếu \[b ≤ 0\] thì các bất phương trình \[{a^x} < b,\;\;{a^x} \le b\] đều vô nghiệm

2. Bất phương trình lôgarit cơ bản dạng \[{\log _a}x > b\]  [hoặc \[{\log _a}x < b;\;{\log _a}x \ge b;\;{\log _a}x \le b\]]

trong đó \[a,b\]  là hai số đã cho,\[ a>0, a \ne 1\]

Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 [nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương.

- Nếu \[a > 1\] thì

\[\log_{a}x > b ⇔ a^{\log_{a}x} > a^b⇔ x > a^b;\]

\[\log_{a}x ≥  b ⇔ x ≥ a^b\]

\[\log_{a}x b ⇔ a^{\log_{a}x} < a^b ⇔ 0 < x < a^b;\]

\[\log_{a}x ≥  b ⇔ 0 < x ≤ a^b\]

\[\log_{a}x < b ⇔ x >  a^b\]

\[ \log_{a}x ≤  b ⇔ x ≥  a^b\]

3. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp \[b =a^α\] [ đối với bất phương trình mũ cơ bản] và \[b =\log_{a}α\] [ trường hợp bất phương trình lôgarit  cơ bản] thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:  

Nếu \[a > 1\] thì \[{a^x} > {a^\alpha} \Leftrightarrow x > \alpha;\]

Nếu \[0 < a < 1\] thì \[{\log _a}x > {\log _a}\alpha  \Leftrightarrow 0 < x < \alpha ;...\]

Loigiaihay.com

14:27:1218/12/2018

Để có thể giải được các phương trình và bất phương trình logarit các em cần nắm vững kiến thức về hàm số logarit đã được chúng ta ôn ở bài viết trước, nếu chưa nhớ các tính chất của hàm logarit các em có thể xem lại Tại Đây.

I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình Logarit cơ bản

+ Phương trình logax = b  [0 b:

- Nếu a>1 thì logax > b ⇔ x > ab

- Nếu 0 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT logarit đang xét [có chứa căn, có ẩn ở mẫu hay không] khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT này có nghĩa.

3. Giải phương trình, bất PT logarit bằng phương pháp mũ hoá

+ Đôi khi ta không thể giải một phương trình, bất PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at  PT, BPT cơ bản [phương pháp này gọi là mũ hóa]

+ Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau

II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PT LOGARIT

* Giải PT, BPT Logarit áp dụng phương pháp cùng cơ số

Bài tập 1: Giải các phương trình sau

a] log3[2x+1] = log35

b] log2[x+3] = log2[2x2-x-1]

c] log5[x-1]  = 2

d] log2[x-5] + log2[x+2] = 3

* Lời giải:

a] ĐK: 2x+1 > 0 ⇔  x>[-1/2]

PT ⇔ 2x+1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 [thoả ĐK]

b] ĐK: x+3>0, 2x2 - x - 1 > 0 ta được: x>1 hoặc  [-3] 1

Ta có:  log5[x-1]  = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 [thoả]

d] ĐK: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5

Ta có: log2[x-5] + log2[x+2] = 3 ⇔ log2[x-5][x+2] = 3 ⇔ [x-5][x+2] = 23

⇔ x2 - 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 [loại] hoặc x = 6 [thoả]

* Giải phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài tập 2: Giải các phương trình sau

a] 

b] 

c] 

d] 

e] 1 + log2[x-1] = log[x-1]4

* Lời giải:

a] ĐK: x>0

Ta đặt t=log3x khi đó PT ⇔ t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = -3

Với t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3

Với t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27

b] 4log9x + logx3 - 3 = 0   ĐK: 0 0

 Các mẫu của phân thức phải khác 0: [5+log3x]≠0 và [1 +log3x]≠0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1

 Ta đặt t = log3x [t ≠ -1, t ≠ -5] khi đó:

⇔ [1+t] +2[5+t]=[1+t][5+t] ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t - 6 = 0

⇔ 

 thay t=log3x ta được kết quả: x =3t1 và x =3t2

d] 

 PT⇔ 

Đặt t=log2x Ta được PT: t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

Với t = 1 ⇔ x = 2 

Với t = -2 ⇔ x = 1/4

e] 1 + log2[x-1] = log[x-1]4

 ĐK: 03 với điều kiện này ta mũ hóa 2 vế của PT đã cho ta được PT:

b] log2[5 – 2x] = 2 – x 

 ĐK: 5 - 2x > 0 ⇔ 2x < 5

 PT ⇔

 Đặt t=2x [t>0,t0 và 2-x>0 ⇔ -1 9

 Với t < 4 ta có: logx < 4 ⇔ x < 104

 Với t > 9 ta có: logx > 9 ⇔ x > 109

 Kết hợp với  điều kiện bất phương trình có tập  nghiệm là: 

Bài tập 5: Giải các bất phương trình [các em tự giải]

a] 

b] 

c] 

d]