Cho tam giác ABC có A(4;3), B(2;7), C(-3;-8 Việt phương trình đường cao AH)

Để viết phương trình đường cao trong tam giác thì các bạn có thể viết chúng dưới dạng phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số. Các bạn cần tìm một điểm mà đường cao đi qua và một vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến.

Trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với các bạn một số dạng bài tập có thể các bạn sẽ gặp trong quá trình học tập và ôn thi.

Tham khảo thêm bài giảng:

Bài tập viết phương trình đường cao trong tam giác

Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm $A[1;2]$, $B[2;1]$ và $C[-2;4]$.

a. Viết phương trình ba đường cao của tam giác ABC.

b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

a. Ta có: $\vec{AB}[1;-1]$; $\vec{AC}[-3;2]$; $\vec{BC}[-4;3]$

Phương trình đường cao AH:

Đường thằng AH đi qua $A[1;2]$ vuông góc với BC nên sẽ nhận $\vec{BC}[-4;3]$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng AH là:

$-4[x-1]+3[y-2]=0$ $-4x+3y-2=0$

Phương trình đường cao BH:

Đường thằng BH đi qua $B[2;1]$ vuông góc với AC nên sẽ nhận $\vec{AC}[-3;2]$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng BH là:

$-3[x-2]+2[y-1]=0$ $-3x+2y+4=0$

Phương trình đường cao CH:

Đường thằng CH đi qua $C[-2;4]$ vuông góc với AB nên sẽ nhận $\vec{AB}[1;-1]$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường cao CH là:

$1[x+2]-1[y-4]=0$ $x-y+6=0$

b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên điểm H là giao của ba đường cao AH, BH và CH. Tuy nhiên ta chỉ cần xác định tọa độ điểm H là giao của hai trong ba đường cao là được.

Ta chọn tọa độ trực tâm H là giao điểm của hai đường cao AH và BH. Tọa độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}-4x+3y-2=0\\-3x+2y+4=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll}x=-16\\y=-22\end{array}\right.$

Vậy tọa độ trực tâm H là: $H[16;22]$

Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết phương trình đường thẳng AB và AC lần lượt là: $4x-y-7=0$ và $x-y-1=0$, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $G[2;0]$. Lập phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

Để viết được phương trình đường cao AH thì chúng ta cần xác định được một điểm mà đường thẳng đi qua và 1 vectơ pháp tuyến. Với bài toán này chúng ta cần xác định được:

– Tọa độ của điểm A nhờ vào phương trình đường thẳng AB và AC.

– Tìm được vectơ pháp tuyến là vectơ $\vec{BC}$. Để tìm được tọa độ của vectơ BC thì cần xác định được tọa độ của hai điểm B và C bằng cách:

– Tọa độ hóa điểm B và điểm C dựa vào phương trình đường thẳng AB và AC

– Tìm tọa độ trung điểm M của BC [dựa vào điểm A và G]

– Tìm mối liên hệ giữa ba điểm B, M và C. Từ đó suy ra được tọa độ của B và C.

Lời giải:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}4x-y-7=0\\x-y-1=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ điểm A là: $A[2;1]$

Gọi $M[x_M;y_M]$ là trung điểm của BC. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\vec{AM}=\dfrac{3}{2}\vec{AG}$

$[x_M-2;y_M-1]=\dfrac{3}{2}[0;-1]$

$[x_M-2;y_M-1]=[0;-\dfrac{3}{2}]$

$\left\{\begin{array}{ll}x_M-2=0\\y_M-1=-\dfrac{3}{2}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll}x_M=2\\y_M=-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm M là: $M[2; -\dfrac{1}{2}]$

Vì đường thẳng AB có phương trình là $4x-y-7=0$ nên tọa độ điểm B là: $[x_B;4x_B-7]$ [tọa độ hóa điểm B]

Vì đường thẳng AC có phương trình là $x-y-1=0$ nên tọa độ điểm C là $C[x_C;x_C-1]$ [tọa độ hóa điểm C]

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x_B+x_C=2.2\\4x_B-7+x_C-1=2.\dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll} x_B+x_C=4\\4 x_B+x_C=7 \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{ll} x_B=1 \\x_C=3 \end{array}\right.$

Với $x_B=1$ => $y_B=-3$ => $B[1;-3]$

Với $x_C=3$ => $y_C=2$ => $C[3;2]$

Tọa độ của vectơ BC là: $\vec{BC}[2;5]$

Đường cao AH đi qua $A[2;1]$ và nhận $\vec{BC}[2;5]$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

$2[x-2]+5[y-1]=0$ $2x+5y-9=0$

Bài giảng này thầy đã có hai bài tập giúp các bạn có thêm phương pháp viết phương trình đường cao trong tam giác nói riêng và viết phương trình đường thẳng nói chung. Hy vọng qua bài viết này các bạn sẽ có nền tảng để phát triển và làm thêm nhiều dạng bài tập khác nữa. Hãy cho biết ý kiến của bạn về bài giảng này và chia sẻ thêm những cách làm hay hơn nữa.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

* Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định :

   - Điểm A[x0; y0] thuộc d

   - Một vectơ pháp tuyến n→[ a; b] của d

Khi đó phương trình tổng quát của d là: a[x-x0] + b[y-y0] = 0

* Cho đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 [c’ ≠ c] .

Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua A[1; -2] , nhận n→ = [1; -2] làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A. x - 2y + 1 = 0.    B. 2x + y = 0    C. x - 2y - 5 = 0    D. x - 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi [d] là đường thẳng đi qua A và nhận n→ = [1; -2] làm VTPT

=>Phương trình đường thẳng [d] : 1[x - 1] - 2[y + 2] = 0 hay x - 2y – 5 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M[1; -3] và nhận vectơ n→[1; 2] làm vectơ pháp tuyến.

A. ∆: x + 2y + 5 = 0    B. ∆: x + 2y – 5 = 0    C. ∆: 2x + y + 1 = 0    D. Đáp án khác

Lời giải

Đường thẳng ∆: qua M[ 1; -3] và VTPT n→[1; 2]

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1[x - 1] + 2[y + 3] = 0

Hay x + 2y + 5 = 0

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho đường thẳng [d]: x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng [∆] đi qua M[1; -1] và song song với d thì ∆ có phương trình

A. x - 2y - 3 = 0    B. x - 2y + 5 = 0    C. x - 2y +3 = 0    D. x + 2y + 1 = 0

Lời giải

Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x - 2y + c = 0 [c ≠ 1]

Ta lại có M[1; -1] ∈ [∆] ⇒ 1 - 2[-1] + c = 0 ⇔ c = -3

Vậy phương trình ∆: x - 2y - 3 = 0

Chọn A

Ví dụ 4: Cho ba điểm A[1; -2]; B[5; -4] và C[-1;4] . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình

A. 3x - 4y + 8 = 0    B. 3x – 4y - 11 = 0    C. -6x + 8y + 11 = 0    D. 8x + 6y + 13 = 0

Lời giải

Ta có BC→ = [-6; 8]

Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC

⇒ AA' nhận VTPT n→ = BC→ = [-6; 8] và qua A[1; -2]

Suy ra phương trình AA’: -6[x - 1] + 8[y + 2] = 0

Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x - 4y - 11 = 0.

Chọn B

Ví dụ 5. Đường thẳng d đi qua điểm A[ 1; -3] và có vectơ pháp tuyến n→[ 1; 5] có phương trình tổng quát là:

A. d: x + 5y + 2 = 0    B. d: x- 5y + 2 = 0    C. x + 5y + 14 = 0    D. d: x - 5y + 7 = 0

Lời giải

Ta có: đường thẳng d: qua A[ 1; -3] và VTPT n→[ 1; 5]

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

1[ x - 1] + 5.[y + 3] = 0 hay x + 5y + 14 = 0

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2; -1]; B[ 4; 5] và C[ -3; 2] . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

A. 7x + 3y – 11 = 0    B. -3x + 7y + 5 = 0    C. 3x + 7y + 2 = 0    D. 7x + 3y + 15 = 0

Lời giải

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A.

Đường thẳng AH : qua A[ 2;-1] và Nhận VTPT BC→[ 7; 3]

⇒ Phương trình đường cao AH :

7[ x - 2] + 3[y + 1] = 0 hay 7x + 3y – 11 = 0

Chọn A.

Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có A[1 ; -2]. Gọi M là trung điểm của BC và

M[ -2 ; 1]. Lập phương trình đường thẳng BC ?

A. x + y - 3 = 0    B. 2x - y + 6 = 0    C. x - y + 3 = 0    D. x + y + 1 = 0

Lời giải

+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

⇒ Đường thẳng BC nhận AM→[ -3 ; 3] = -3[1 ; -1] làm VTPT

+ Đường thẳng BC : qua M[-2; 1] và VTPT n→[ 1; -1]

⇒ Phương trình đường thẳng BC :

1[x + 2] - 1[y - 1] = 0 hay x - y + 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y - 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y - 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x - y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ?

A. x - 3y + 1 = 0    B. x + 4y - 5 = 0    C. x + 2y - 3 =0    D. 2x - y + 1 = 0

Lời giải

+ Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :

⇒ P[ 1 ; 1]

+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :

⇒ B[ 0 ;2]

Tương tự ta tìm được tọa độ C[-

; ]

+ Đường thẳng AP :

⇒ Phương trình đường thẳng AP :

1[x - 1] + 2[y - 1] = 0 ⇔ x + 2y - 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y - 9 = 0 là:

A. 3x + 5y - 7 = 0    B. 3x + 5y = 0    C. 3x - 5y = 0    D. 3x - 5y + 9 = 0

Lời giải

Do đường thẳng d// ∆ nên đường thẳng d có dạng : 3x + 5y + c = 0 [ c ≠ - 9]

Do điểm O[0; 0] thuộc đường thẳng d nên :

3.0 + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 0

Vậy phương trình đường thẳng d: 3x + 5y = 0

Chọn B.

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có B[-2; -4]. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình 2x - 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng BC?

A. 2x + 3y - 1 = 0    B. 2x - 3y - 8 = 0    C. 2x + 3y - 6 = 0    D. 2x - 3y + 1 = 0

Lời giải

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ IJ// BC.

⇒ Đường thẳng BC có dạng : 2x - 3y + c = 0 [ c ≠ 1]

Mà điểm B thuộc BC nên: 2.[-2] - 3[-4] + c = 0 ⇔ c = -8

⇒ phương trình đường thẳng BC: 2x - 3y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho ba đường thẳng [a]:3x - 2y + 5 = 0; [b]: 2x + 4y - 7 = 0 và

[c]: 3x + 4y - 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b , và song song với c là:

A. 24x + 32y - 53 = 0.    B. 23x + 32y + 53 = 0    C. 24x - 33y + 12 = 0.    D. Đáp án khác

Lời giải

Giao điểm của [a] và [ b] nếu có là nghiệm hệ phương trình :

⇒ A[ ; ]

Ta có đường thẳng d // c nên đường thẳng d có dạng: 3x+ 4y+ c= 0 [c≠-1]

Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3. + 4. + c = 0 ⇔ c=

Vậy d: 3x + 4y + = 0 ⇔ d3 = 24x + 32y - 53 = 0

Chọn A.

Câu 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M[ 2 ; 1] và nhận vecto n→[ -2 ; 1] làm VTPT ?

A. 2x + y - 5 = 0    B. - 2x + y + 3 = 0    C. 2x - y - 4 = 0    D. 2x + y - 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng d :

⇒ Phương trình đường thẳng d : - 2[x - 2] + 1[y - 1] = 0

Hay [d] : -2x + y + 3 = 0.

Câu 2: Cho đường thẳng [a] : 2x+ y- 3=0 và [b] : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a và b ; nhận vecto n→[ 2 ; -3] làm VTPT ?

A. 2x - 3y + 6 = 0    B. -2x - 3y + 6 = 0    C. 2x - 3y + 1 = 0    D. 2x + 3y - 1 =0

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+ Giao điểm A của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình :

⇒ A[ 1 ; 1]

+ Đường thẳng [d] :

⇒ Phương trình đường thẳng d : 2[x - 1] - 3[y - 1] = 0 hay 2x - 3y + 1 = 0.

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2; -1], B[4; 5] và    C[ -3; 2] . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B

A. 3x - 5y + 1 = 0    B. 3x + 5y - 20 = 0    C. 3x + 5y - 12 = 0    D. 5x - 3y -5 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B của tam giác ABC.

Đường thẳng BH :

⇒ Phương trình đường cao BH :

5[x - 4] – 3[y - 5] = 0 hay 5x - 3y – 5 = 0

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2;-1] ; B[ 4;5] và   C[ -3; 2]. Tìm trực tâm tam giác ABC?

A. [

; - ]    B. [ ; ]    C. [ ; ]    D. [ ; ]

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

+ Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B của tam giác ABC.

+ Đường thẳng CH :

⇒ Phương trình đường cao CH :

2[x + 3] + 6[y - 2] = 0 hay 2x + 6y – 6 = 0

⇔ [CH] : x+ 3y – 3= 0

+ Đường thẳng BK :

=>Phương trình đường cao BK : - 5[x - 4] + 3[y - 5]=0 hay -5x + 3y + 5 = 0.

+ Gọi P là trực tâm tam giác ABC. Khi đó P là giao điểm của hai đường cao CH và BK nên tọa độ điểm P là nghiệm hệ :

Vậy trực tâm tam giác ABC là P[ ; ]

Câu 5: Cho tam giác ABC có A[ 2;-1] ; B[ 4; 5] và C[ -3; 2]. Phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC là:

A. 3x - 7y + 11 = 0.    B. 7x + 3y - 11 = 0    C. 3x - 7y - 13 = 0.    D. 7x + 3y + 13 = 0.

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi AH là đường cao của tam giác.

Đường thẳng AH : đi qua A[ 2; -1] và nhận BC→ = [-7; -3] = - [7; 3] làm VTPT

=> Phương trình tổng quát AH: 7[x - 2] + 3[y + 1]= 0 hay 7x + 3y - 11 = 0

Câu 6: Cho đường thẳng [d]: 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng ∆ đi qua M[3; 1] và song song với [d] có phương trình:

A. 3x - 2y - 7 = 0.    B. 2x + 3y - 9 = 0.    C. 2x - 3y - 3 = 0.    D. 3x - 2y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Do ∆ song song với d nên có phương trình dạng: 3x - 2y + c = 0 [c ≠ 8]

Mà ∆ đi qua M [3;1] nên 3.3 - 2.1 + c = 0 nên c = - 7

Vậy phương trình ∆: 3x - 2y - 7 = 0

Câu 7: Cho tam giác ABC có B[2; -3]. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình đường thẳng BC?

A. x + y + 2 = 0    B. x - y - 5 = 0    C. x - y + 6 = 0    D. x - y = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ IJ// BC.

⇒ Đường thẳng BC có dạng : x - y + c = 0 [ c ≠ 3]

Mà điểm B thuộc BC nên: 2 - [-3] + c = 0 ⇔ c = -5

⇒ phương trình đường thẳng BC: x - y - 5 = 0

Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A có A[3 ; 2]. Gọi M là trung điểm của BC và          M[ -2 ; -4]. Lập phương trình đường thẳng BC ?

A. 6x - 5y + 13 = 0    B. 5x - 6y + 6 = 0    C. 5x + 6y + 34 = 0    D. 5x + 6y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

⇒ Đường thẳng BC nhận AM→[ - 5; -6] = -[5; 6] làm VTPT

+ Đường thẳng BC :

⇒ Phương trình đường thẳng BC :

5[x + 2] + 6[ y + 4] = 0 hay 5x + 6y + 34= 0

Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M[ -1; 2] và song song với trục Ox.

A. y + 2 = 0    B. x + 1 = 0    C. x - 1 = 0    D. y - 2 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Trục Ox có phương trình y= 0

Đường thẳng d song song với trục Ox có dạng : y + c = 0 [ c ≠ 0]

Vì đường thẳng d đi qua điểm M[ -1 ;2] nên 2 + c = 0 ⇔ c= -2

Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là : y - 2= 0

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp