§3. CẤP SỐ CỘNG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn], trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu [Un] là cấp số cộng với công sai d thì un+1-un = d với ne N * [1] SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lí 1 Nếu cấp số cộng [un] có số hạng đầu u, và công sai d thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức: un = u, + [n - 1 ]đ với n > 2. [2] TÍNH CHẤT CÁC số HẠNG CỦA CAP số CỘNG Định lí 2 Jk+1 uk = với k > 2. [3] IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẨU TIÊN CỦA MỘT CẤP số CỘNG Dịnh lí 3 Cho cấp só' cộng [un]. Đặt Sn = u, + u2 + u3 + ... + un. n[u1+un] n[2u1+[n-Ị]d] Khi đó Chú ý: Vì sn = " 2 2 Un = u, + [n - 1 ]d nên công thức [4] có thể viết [4] nf2u, +[n-l]dl n[n-1] sn = 1 1 ; 7 J = nu, + v’ 'd. Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng [trừ số hạng đầu và cuối] đểu là trung bình cộng của hai số hạng đứng kể với nó, nghĩa là uk 1+u B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Chứng minh dãy [un] là cấp số cộng Ta chứng minh hiệu Un+1 - Un là một hằng số [không phụ thuộc vào n]. Khi nó [un] là cấp số cộng có công sai d = Un+1 - un. Xác định số hạng tổng quát cùa cấp số cộng • Xác định u, và d • Un = u, + [n - 1 ]d • un - um = [n - m]d 1. Trong các dãy số [Un] sau đây, dãy nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nổ. a] Un = 5 - 2n; b]u„= 'ị -1; c] u„ = 3"; d] u„ = 7-3n tflai Ta có un+1 - un = 5 - 2[n+l] - [5 - 2n] = -2; Vn 6 N* Vậy [un ] là cấp số cộng có u! = 3, công sai d = -2. Ta có un+1 - un = - 1 - -1 j = I; Vn e N* Vậy [un] là cáp số cộng có U] = - i công sai d = . 2 2 Un+1 - un = 3n+1 - 3n = 2.3n. Vậy [un] không là cấp số cộng. j\ rp„ „A .. .. - 7-3[n + l] 7-3n _ 3 2 2 2 3 Vậy [un] là cấp sô' cộng có U] = 2, công sai d = - . 2. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết: [u,-u3+us=10 a] u1+u6=17 b] u7-u3 =8 u2.u7 = 75 Ốịiải Áp dụng công thức un = Ư! + [n - l]d.. a] Ta có: h~u3 +u5 =10 Uj + Ug = 17 Uj + 2d = 10 2uj + 5d = 17 Uj - Ui - 2d + + 4d = 10 ur + ur + 5d = 17 U| = 16 d =-3 Vậy [un] có Uị = 16, công sai d = -3. í u7 - ua = 8 f u, + 6d - Ui - 2d - 8 b] Ta có: 7 3 „ » 7 , [u2.u7=75 [[Uị +d][uj + 6d] = 75 d = 2 íu, = 3 íi [Ul + 2][uị +12] = 75 Y2 . «b=3hoặcí Uj+14u1-51 = 0 Id = 2 [ Uị = -17 d = 2 Tronđ các bài toán vể cấp sõ' cộng, ta thường gặp nãm đại lượng Ui, d, n, Un, sn. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại? Lập bảng theo mẫu sau và điển sổ thích hợp vào ô trống. u, d u„ n Sn -2 55 20 -4 15 120 3 4 27 7 17 12 72 2 -5 -205 Ốịiảl Các hệ thức liên hiện giữa U], d, n, Un, Sn là n[u,+un] „ n^Uj+[n-l]d’| u„ = u, + [n -l]d; sn = v 1 n/ ; Sn = L ; Cần biết ít nhất ba trong năm. đại lượng Ui, d, n, un, s„ thì có thể tính được hai đại lượng còn lại. i] Cho Ui = -2, un = 55, n = 20. Tính d và Sn Từ un = U] + [n - l]d. Ta có 55 = -2 + 19d => d = 3. = 10Í-2 + 55] = 530 S20 - 20 [Uj +u20] Ta có sn = n[2uj + [n - l]d] Cho d = -4, n = 15, Sn = 120. Tính Ui và un. 15 120 = [2u, + 14.[-4]1 2 => 240 = 3ŨU] - 840 => u, = 36 Từ đó un = Ui + [n -1] d = 36 + 14.[-4] = -20 . 4 Cho Uj = 3, d = ; un = 7. Tìm n và Sn. 27 Ta có un = Uj + [n -l]d => 7 - 3 + [n - 1]. =>n-l = 27=>n = 28 27 n[ui+un] 28[3 + 7] s„ = V 1J nf = —_ 140 2 2 Cho un = 17, n = 12, Sn = 72. Tìm Ui và d. Ta có un = Ui + [n -1] d và Sn = [ 1 —— 12u,+17 => 72 = V1--—=> u, = -5 2 Từ un = Ui + [n -1] d => 17 = -5 + lld => d = 2 n[2ut + [n - l]d] n[4 - 5[n - 1]] -205 = Ta có sn = Cho Ui = 2, d = -5, sn = -205. Tìm Un và n. Ốịiải Ta có 18 cm =■ 0,18m. Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là hn, ta có: hn = 0,5 + n.0,18. Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 [m]. Tử 0 giở đến 12 gĩờ trưa, đống hố đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng sô' giở? ỂỹÂl Số tiếng chuông mà đồng hồ đánh từ 0 giờ đến 12 giờ trưa là: „ 12[1 + 12] s12 = 1 + 2 + 3 + ... + 12 = —= 78. 2 c. BÀI TẬP LÀM THÊM a] a14 =18 1. Xác định a, và công sai của cấp số cộng [an] biết: ía3 =-15 b] a2 - a3 + a5 = 10 a4 + a6 = 26 Hãy dặt giữa -6 và 8 sáu số nữa để được cấp số cộng. -Hướng ?]ẫn Giả sử - 6, a2, a3, a4, a5, aH, a7, 8 là cấp số cộng, ta có ai = -6, a8 = 8 => d = 2 Cho cấp số cộng [an]. Chứng minh rằng: a, + ap = aq + ap.q+1 [p > q]; ap + aq = am + an nếu q + p = m + n. -Hưởng ỉẫn Áp dụng an = ai + [n - l id. Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 40 và tổng bình phương là 480. -Hưởng ĩẫn Giải hệ: [a-2d] + [a-d] + a + [a + d] + [a + 2d] = 40 [a-2đ]2 + [a-d]2 + a2 + [a + d]2 + [a + 2d]2 = 480 Đáp số: 0, 4, 8, 12, 16, hoặc 16, 12, 8, 4, 0. Cho cấp số cộng [a„] có a4 + a,, = 20. Tinh s,4.
Hay nhất
Chọn D
Từ giả thiết \[u_{2} =3và u_{4} =7\]suy ra ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{array}{l} {u_{1} +d=3} \\ {u_{1} +3d=7} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {u_{1} =1} \\ {d=2} \end{array}\right.\]
Vậy \[u_{15} =u_{1} +14d=29\]
đã hỏi trong Lớp 12 Toán học
· 13:48 09/04/2021
Cho cấp số cộng un với u1=3,u2=7. Công sai của cấp số cộng đã cho bằngA. 4
B. 73
C. 1D. 3
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Cách chuyển từ sin sang cos ạ ?
Trả lời [31] Xem đáp án »
-
-
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng
A. a0, c>0, d0, d