Cách tách đa thức bậc 2

Đề tài
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC BẬC HAI THÀNH NHÂN TỬ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Các phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử đã được sách giáo khoa
toán 8 giới thiệu cơ bản gồm các phương pháp sau: Đặt nhân tử chung, dùng hằng
đẳng thức, nhóm hạng tử và đặc biệt phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử
cũng được sách giáo khoa giới thiệu thông qua các bài tập. Ở đây tôi xin đề cập đến
việc phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử như
hướng dẫn của sách giáo khoa làm cho đa số học sinh thấy băn khoăn vì:
- Phân tích đa thức tành nhân tử vốn là bài toán khó đối với học sinh.
- Học sinh không hiểu vì sao sách giáo khoa lại hướng dẫn làm như vậy?
- Vì sao có nhiều cách tách hạng tử?
- Có phương pháp nào để làm dạng toán đó không?
Do đó việc học sinh vận dụng cách làm như sách giáo khoa hướng dẫn để phân
tích một đa thức bậc hai thành nhân tử còn hạn chế, có tính mò đoán, gây cho các em
cảm giác lúng túng khi phải chọn cách tách hạng tử sao cho thích hợp để có thể còn
phân tích tiếp được, làm cho các em có tâm lý thiếu tự tin khi giải các bài toán đó. Để
giúp học sinh giải quyết các vấn đề trên, không ai khác ngoài giáo viên bộ môn phải
hướng dẫn, giải thích trên cơ sở khoa học và có sức thuyết phục, đặc biệt là phù hợp
với trình độ học sinh.
Qua những nguyên nhân trên tôi thấy là giáo viên cần chỉ ra cho học sinh thấy cơ
sở của việc phân tích và dạy học sinh vài phương pháp phân tích đa thức bậc hai
thành nhân tử để giúp học sinh làm bài có hiệu quả, ít tốn thời gian hơn và đạt chất
lượng cao. Do đó tôi chọn đề tài Các phương pháp phân tích đa thức bậc hai
thành nhân tử nhằm giúp học sinh thấy được cơ sở của các cách tách hạng tử như
hướng dẫn của sách giáo khoa, đồng thời giúp cho học sinh có phương pháp cụ thể
khi giải dạng toán này nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và phát huy tính chủ động
học tập của học sinh khi giải toán.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. Cơ sở lý luận:

Giải toán là hoạt động không thể thiếu trong quá trình học toán, để giải được một
bài toán thì học sinh cần được trang bị các kiến thức nhất định, không thể đòi hỏi học
sinh có cách giải sáng tạo khi chúng chưa hiểu rõ một cách làm cụ thể, theo phương
pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo bốn bước:
Tìm hiểu đề toán
Xây dựng chương trình giải
Thực hiện chương trình giải
Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Qua đó thấy rằng phương pháp để giải một bài toán là không thể không có, sau đó
mới xét đến tính sáng tạo trong lời giải.
Trong chương trình Đại số 8 thì bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử nói
chung, và phân tích một đa thức bậc hai thành nhân tử nói riêng là rất quan trọng và
khó mà học sinh lại thường gặp phải khi giải toán đại số. Quan trọng vì nó làm cơ sở
để học sinh học tốt các kiến thức còn lại của chương trình đại số 8, hầu như việc phân
tích một đa thức thành nhân tử xuất hiện trong khắp chương trình đại số 8, việc phân
tích một đa thức bậc hai thành tích của hai đa thức bậc nhất có nhiều ứng dụng nhất là
đối với học sinh khá giỏi muốn làm thêm một số bài toán nâng cao trong chương
trình. Và nó khó vì có nhiều phương pháp và trong hầu hết các trường hợp để giải
được bài toán học sinh cần phải biết phối hợp các phương pháp một cách hợp lý, đặc
biệt để phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử học sinh thấy rất khó vì chưa được
trang bị phương pháp cụ thể chỉ được hướng dẫn thông qua một bài toán, làm học
sinh không thấy được tính tổng quát của cách làm, vì thế để bắt chước cách làm đó
vào một bài toán khác là không dễ đối với học sinh.
II. Thực trạng:
Khi học sinh làm bài toán phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử thì các em còn
lúng túng, phải thử tách các hạng tử bằng nhiều cách, mất nhiều thời gian và hiệu quả
kém, đôi khi không phân tích được vì không chọn được cách tách hạng tử thích hợp
như sách giáo khoa đã làm.
Đối với giáo viên, nếu không chỉ rõ cơ sở lý thuyết của việc phân tích thì cũng khó
giải thích cho học sinh hiểu rõ tại sao phải tách hạng tử như hướng dẫn của sách giáo

khoa và tại sao lại có nhiều cách làm như vậy, để từ đó yêu cầu học sinh làm được bài
một cách tương tự.
Để giải quyết những băn khoăn thắc mắc của học sinh cũng như giúp các em chọn
được cách giải bài toán thích hợp và ít tốn thời gian mà đạt hiệu quả cao. Tôi xin
được nêu vài biện pháp sau:
- Trước hết, cho học sinh nhận dạng đa thức bậc hai một cách thật cụ thể;
- Áp dụng [có ưu tiên các trường hợp đặc biệt] các biện pháp tương ứng;
- Đánh giá bài toán có bao nhiêu cách làm [theo hiểu biết của các em].
Sau đây tôi xin nêu cụ thể các phương pháp để phân tích đa thức bậc hai thành
nhân tử.
III. Các phương pháp phân tích đa thức ax
2
+bx+c thành nhân tử:
1. Phân tích đa thức bậc hai ax
2
+bx+c thành nhân tử bằng phương pháp tách
hạng tử:
a/ Đa thức dạng x
2
+bx+c [a=1]
Giả sử đa thức x
2
+bx+c phân tích được thành hai nhân tử bậc nhất là x+m và x+n
thì ta có:
x
2
+ bx + c = [x+m].[x+n] = x
2
+ [m+n]x + m.n
Từ đó ta thấy nếu c được phân tích thành tích của hai số m.n sao cho tổng của

chúng bằng b thì đa thức x
2
+ bx + c được phân tích thành tích của hai nhân tử [x +
m] và [x + n] hay viết: x
2
+ bx + c = [x+m].[x+n]
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x
2
7x + 12
Ta có: 12 = [-3] . [-4] và [-3] + [-4] = - 7 nên x
2
7x + 12 = [x 3][x 4].
b/ x
2
+ 2x 35
Ta có: - 35 = 7.[-5] và 7 + [-5] = 2 nên x
2
+ 2x 35 = [x+7][x5]
c/ x
2
x 20
Ta có: - 20 = [-5]. 4 và [-5] + 4 = -1 nên x
2
x 20 = [x 5][x+ 4]
Với học sinh lớp 8 để làm các bài trên theo hướng dẫn như sách giáo khoa thì
hướng dẫn học sinh dựa vào việc phân tích trên để chọn cặp số duy nhất thỏa điều
kiện của việc phân tích là rất dễ dàng, sau đó tách hạng tử bậc nhất theo hai số đó và
thực hiện các bước tiếp theo, cụ thể như sau:
a/ Nhận xét: Do -7 = [-3]+[-4] và [-3].[-4] =12 nên tách -7x = - 3x - 4x

Ta có: x
2
7x + 12= x
2
3x 4x + 12= [x
2
3x] [ 4x12]
= x[x-3] 4[x-3] =[x-3][x-4]
b/ Tách 2x = 7x 5x
Ta có: x
2
+ 2x 35= x
2
+ 7x 5x 35= [x
2
+ 7x] [5x + 35]
= x[x + 7] 5[x +7] = [x + 7][x 5]
c/ Tách x = 5x + 4x
Ta có: x
2
x 20 = [x
2
5x] + [4x 20] = x[x 5] + 4[x 5] = [x 5][x+4]
b. Đa thức dạng ax
2
+bx+c:
Cũng tương tự như trên, giả sử đa thức ax
2
+bx+c phân tích được thành tích của hai
đa thức bậc nhất có dạng [mx+n] và [px+q] thì ta có:

ax
2
+bx+c = [mx+n].[px+q] = mpx
2
+ [mq+np]x + nq.
Qua đó ta thấy a.c = mp.nq = mq. np và b = mq + np [ a.c bằng tích của hai số sao
cho tổng hai số đó bằng b] thì đa thức ax
2
+bx+c luôn luôn được phân tích thành tích
của hai đa thức [mx+n] và [px+q] [ hoặc thành tích của hai đa thức bậc nhất bằng
cách tách hạng tử như trên dựa vào cặp số đã chọn].
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ 3x
2
10x 8
Ta có: a.c = 3.[-8] = 3.1. [-4].2 = 3.[-4] . 1.2 và 3.[-4] + 1.2 = -10 = b. Từ đó suy
ra m=3, n = 2, p = 1, q = - 4. Như vậy: 3x
2
10x 8 = [3x+2][x - 4].
Để hướng dẫn học sinh ta có thể lần lượt thực hiện các bước như sau :
Bước 1: Xác định tích a.c = 3.[-8] = - 24 và b = -10.
Bước 2: Phân tích -24 thành tích của hai số và tìm tổng của chúng để tìm một cặp số
thích hợp.
Tích của
-24
[-1].
24
[-2].12 [-3].8 [-4].6 4.[-6] 3.[-8] 2.[-12] 1.[-24]
Tổng 23 10 5 2 -2 -5 -10 -2
Ta thấy -12 và 2 là cặp số cần tìm

Bước 3: Tiến hành phân tích:
3x
2
10x 8 = [3x
2
12x] + [2x 8]
= 3x[x- 4] + 2[x- 4]
= [x- 4][3x+2]
b/4x
2
+ 22x + 30
*Bước 1: 4.30 = 120
*Bước 2:
Tích 1.120 2.60 3.40 4.30 5. 24 6.20 8.15 10. 12
Tổng 121 62 43 34 29 26 23 22
Cặp số thích hợp là : 10 và 12
* Bước 3: 4x
2
+ 22x + 30 = [4x
2
+ 12x] + [10x + 30]
= 4x[x + 3] + 10[x + 3]
= [x + 3][4x+10]
c/ Nếu đa thức ax
2
+bx+c có b = a + c [ hay a = b c hay c = b a ] thì được phân
tích nhanh chóng bằng việc tách hạng tử bx = ax + cx [hoặc ax
2
= bx
2

cx
2
hoặc c =
b a ] như sau:
Ta có: ax
2
+bx+c = ax
2
+ax+cx+c
= [ax
2
+ax]+[cx+c]
= ax[x+1] + c[x+1]
= [x+1][ax+c]
Hoặc ax
2
+bx+c = bx
2
cx
2
+ bx +c
= [bx
2
+ bx] [cx
2
c ]
= bx[ x+1] c[ x
2
1]
= bx[x+1] c [x+1][x 1]

= [x+1][bx c [x 1]]
= [x+1][bx cx + c]
= [x+1][ax +c] [vì bx cx = ax]
Hoặc ax
2
+bx+c = ax
2
+bx+ b a
= [ax
2
a] +[ bx+ b]
= a[x
2
1] + b[x+1]
= a[ x 1][x+1] +b[x+1]
= [x+1][a[x 1]+ b]]
= [x+1][ax a + b]
= [x+1][ax + c] [ Vì a + b = c]
Tương tự, nếu đa thức ax
2
+bx+c có - b = a + c [ b = - a - c ] thì cũng được phân
tích như trên và được kết quả như sau: ax
2
+ bx + c = [x 1][ax c].
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ 3x
2
+ 8x + 5 [ a=3, b=8, c=5]
Cách 1: 3x
2

+ 8x + 5= [3x
2
+ 3x] + [5x + 5]
= 3x[x+1] + 5[x+1] = [x+1][3x+5]
Cách 2: 3x
2
+ 8x + 5 = 3x
2
+ 8x + 8 3
= [3x
2
3] + [8x + 8]
= 3[ x 1][x+1] + 8[x+1]
= [x+1][3[x 1] + 8]
= [x+1][3x+ 5]
Cách 3: 3x
2
+ 8x + 5 = 8x
2
5x
2
+ 8x + 5
= [8x
2
+ 8x] [5x
2
5 ]
= 8x[ x+1] 5[x
2
1]

= 8x[ x+1] 5[x+1][x 1]
= [x+1][8x 5[x 1]]
= [x+1][3x+5]
b/ -5x
2
+ 2x + 3 [ a = -5, b =2, c = 3]
-5x
2
+ 2x + 3 = - 5x
2
+ 5x - 3x + 3
= - [5x
2
- 5x] - [3x - 3]
= - 5x[ x -1] 3[x-1]
= [x-1][- 5x - 3]
c/ x
2
4x + 3 [ Bài 57 trang 25 sách giáo khoa Toán 8 tập 1]
x
2
4x + 3 = x
2
3x x + 3
= [x
2
3x] [ x 3]
= x[x 3] [ x 3]
= [ x 3][x 1]
Cần lưu ý cho học sinh tuy có thể tách bất kì hạng tử nào trong đa thức trên nhưng

qua các cách phân tích trên cho thấy việc tách hạng tử bậc nhất là gọn gàng và nhanh
chóng hơn cả. Còn tách hai hạng tử cò lại thì các bước phân tích tiếp theo sẽ dài dòng
và phức tạp hơn đối với học sinh.
d/ Theo các cách phân tích trên nếu không chọn được cặp số thích hợp thì có
nghĩa là đa thức đó không có nghiệm nguyên nên không thể phân tích được thành tích
của hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên hoặc đa thức đó vô nghiệm nên không
phân tích được trên tập số thực. Khi đó ta hướng dẫn học sinh phân tích bằng cách
biến đổi đa thức đã cho về dạng A
2

±
n với n là số thực dương.
* Khi đa thức được biến đổi về dạng A
2
n với n là các số thực dương, thì đa thức
phân tích được thành tích hai đa thức bậc nhất bằng cách vận dụng hằng đẳng thức
hiệu của hai bình phương.
* Hoặc về dạng A
2
+ n với n là các số thực dương từ đó suy ra giá trị của đa thức
đã cho luôn dương hoặc luôn âm với mọi giá trị của biến trên tập số thực và kết luận
đa thức đã cho không phân tích được trên R.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x
2
+ 4x 7
Ta thấy 7 = [7] .1 [ tổng là 6 ] = 7.[ 1] [tổng là 6], do đó không tìm được cặp
số thích hợp nên không phân tích theo cách tách hạng tử chỉ ra ở mục 1 mà hướng
dẫn học sinh biến đổi đa thức đã cho như sau: [x
2

+ 4x + 4] 11= [x+2]
2
-
[ ]
2
11
= [x+2+
11
][ x+2
11
]
b/ x
2
2x + 6
Áp dụng cách phân tích ở mục 1, Ta có 6 = 6.1[ tổng là 7 ] = 2.3 [ tổng là 5 ], như
vậy không có cặp số nào có tích là 6 mà tổng là -2, do đó đa thức x
2
2x + 6 không
phân tích được theo cách trên, ta hướng học sinh biến đổi :
x
2
2x + 6 = [x
2
2x + 1] + 5 = [x 1]
2
+ 5 > 0 với mọi x thuộc R,
Do đó đa thức x
2
2x + 6 không phân tích được trên R
c/ x

2
+6x 10
Tương tự như trên, ta có: - 10 = [-2].5 [ tổng là 3] = 2.[-5] [ tổng là -3]
= 1.[-10] [tổng là - 9] = [-1].10 [ tổng là 9]
Ta thấy không có cặp số thích hợp nên hướng dẫn học sinh biến đổi đa thức như
sau:
= - [x
2
6x + 10] = - [ [x
2
6x + 9] +1]
= - [[x-1]
2
+ 1] < 0 với mọi x thuộc R
Nên đa thức x
2
+6x 10 không phân tích được trên R.
e/ Nếu đa thức bậc hai dạng đặc biệt như ax
2
+ bx hoặc ax
2
+ b hoặc ax
2
b thì
học sinh dễ dàng phân tích được bằng các cách mà các em đã biết.
2/ Phân tích đa thức ax
2
+bx+c thành nhân tử bằng cách dùng nghiệm của đa
thức:
Nếu đa thức ax

2
+bx+c có nghiệm là x = n thì ax
2
+bx+c chia hết cho đa thức x n
và thực hiện phép chia ta được kết quả: ax
2
+bx+c = [x n][ax + m]
Mỗi nghiệm nguyên [nếu có] của đa thức ax
2
+bx+c [với a,b,c là các số nguyên] là
ước của c.
Ví dụ: Phân tích đa thức x
2
6x + 5

thành nhân tử.
Ta thấy: x = 1 là nghiệm của đa thức x
2
6x + 5

nên ta thực hiện phép chia đa thức x
2
6x + 5

cho đa thức x 1 và được kết quả như sau: x
2
6x + 5

= [x 1][x 5].
3/ Kết hợp các cách phân tích trên hướng dẫn học sinh phân tích đa thức

ax
2
+bx+c thành nhân tử bằng nhiều cách.
Ví dụ: Phân tích đa thức x
2
6x + 5 thành nhân tử
Cách 1: Nhận xét đa thức đã cho dạng ở mục a]
Do 5 = 5.1 [tổng bằng 6]
= [-5].[-1] [tổng bằng - 6]
Nên tách -6x = -5x x
Ta có: x
2
6x + 5 = x
2
5x x + 5 =[x
2
5x] [x 5]
= x[x 5] [x 5] = [x 5][x 1].
Cách 2: Đa thức đã cho có a = 1, b = - 6, c = 5 nên áp dụng mục c, có các cách tách
hạng tử sau:
Tách x
2
= 6x
2
5x
2
và phân tích tiếp theo sẽ được kết quả như sau:
x
2
6x + 5=[x 5][x 1]

Cách 3: Cũng tương tự trên ta tách 5 = 6 1 và cũng được kết quả như trên.
Cách 4: Áp dụng cách phân tích ở mục d, tách 5 = 9 4 để vận dụng hằng đẳng thức
như sau:
x
2
6x + 5= [x
2
6x + 9] 4 = [x 3]
2
2
2
= [x 5][x 1]
Cách 5: Áp dụng cách phân tích ở mục 2. Ta thấy x = 1 là nghiệm của đa thức x
2

6x + 5 nên đa thức x
2
6x + 5 chia hết cho đa thức x 1, khi đó thực hiện phép chia
đa thức ta được:
x
2
6x + 5 = [x 1][ x 5]
Cách 6: Tương tự cách làm 4, ta có thể gợi ý cho học sinh phân tích đa thức đã cho
có hạng tử dạng hằng đẳng thức bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu
với một hạng tử có nhân tử chung với nó, cụ thể như sau:
x
2
6x + 5 = [x
2
2x +1] [4x 4] = [x 1]

2
4[x 1] = [x 1][x 5]
Cách 7: Tương tự cách 6, ta có thể phân tích như sau:
x
2
6x + 5 = 3x
2
2x
2
6x + 3 + 2 = [3x
2
6x + 3] [2x
2
2]
= 3[x
2
2x +1] 2[x
2
1] = 3[x 1]
2
2[x 1][x+1]
= [x 1][x 5]
Cách 8: Tương tự cách 6, ta có thể phân tích như sau:
x
2
6x + 5 = 5x
2
4x
2
10x + 4x + 5 =[5x

2
10x + 5] [4x
2
4x]
= 5[x
2
2x +1] 4x[x 1] = 5[x 1]
2
4x[ x 1] = [x 1][x 5].
Như vậy việc chỉ ra cho học sinh các phương pháp phân tích như trên làm cho học
sinh có phương pháp để giải dạng toán này một cách có hiệu quả, đồng thời giải thích
cho học sinh vì sao sách giáo khoa đã hướng dẫn bài toán bằng nhiều cách làm như
vậy.
C. KẾT LUẬN:
- Phân tích đa thức thành nhân tử nói chung là khó đối với học sinh, nhất là phân
tích đa thức bậc hai thành tích của hai đa thức bậc nhất học sinh rất ngại vì không có
phương pháp cụ thể mà chỉ được sách giáo khoa giới thiệu bằng một cách cụ thể nên
qua giảng dạy có vận dụng các phương pháp trên tôi thấy rằng khi chỉ ra cho học sinh
cách làm tổng quát thì học sinh nắm cách làm và vận dụng rất tốt, nhất là đối với học
sinh khá giỏi các em làm bài toán này thành thạo và áp dụng để giải nhiều bài tập
nâng cao trong chương trình toán 8 như giải các phương trình bậc cao bằng cách phân
tích đa thức thành các nhân tử bậc nhất, giúp cho các em có hứng thú học tập hơn,
giúp các em giải được nhiều bài tập hơn và tự tin hơn. Đặc biệt giúp các em có thể
giải bài toán này bằng nhiều cách thật dễ dàng.
- Và khi giáo viên nghiên cứu cách phân tích này thì việc chọn đề bài cho học sinh
làm và hướng dẫn học sinh kiểm tra, phán đoán một đa thức bậc hai có thể phân tích
được hay không là rất thuận lợi.
- Trong giảng dạy sau khi hướng dẫn học sinh các phương pháp trên tôi thấy các
em áp dụng và làm bài đạt hiệu quả cao hơn, thời gian làm bài nhanh hơn vì không
tốn thời gian làm thử nữa và tôi khảo sát chất lượng sau khi áp dụng các phương

pháp đó đối với loại bài toán này, thống kê được kết quả như sau:
Đối tượng
HS Lớp 8A1[ 46 hs] HS Lớp 8A2 [45]
Giỏi
%
Khá
%
TB
%
Yếu
%
Kém
%
Giỏi
%
Khá
%
TB
%
Yếu
%
Kém
%
Trước khi dạy
cách làm cho
HS
4,35 10,87 15,22
43,48
26,09
4,44 8,88

15,56
46,67 24,45
Sau khi dạy
cách làm cho
HS
17,39 26,09 50,0 6.52 0
15,56 20,0
55,56
8,88 0
Trên đây là các phương pháp tôi đã tìm hiểu và đã vận dụng trong quá trình giảng
dạy của mình thu được hiệu quả khả quan nên tôi ghi lại mong có cơ hội trao đổi với
các bạn đồng nghiệp, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những
thiếu sót, rất mong các bạn đồng nghiệp và các cấp lãnh đạo quan tâm, góp ý bổ sung
để đề tài được hoàn chỉnh và có ứng dụng rộng rãi.
Năm Căn, ngày 20 tháng 10 năm 2010
Người viết
Huỳnh Kim Phượng
PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài: Các phương pháp phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử
Tác giả: Huỳnh Kim Phượng
Trường THCS Thị trấn Năm Căn Phòng GD & ĐT Năm Căn
Nội dung Xếp loại Nội dung Xếp lọai
- Đặt vấn đề
- Biện pháp
- Kết quả phổ biến ứng dụng
- Tính khoa học
- Tính sáng tạo






- Đặt vấn đề
- Biện pháp
- Kết quả phổ biến ứng dụng
- Tính khoa học
- Tính sáng tạo





Xếp loại chung:
Ngày tháng năm 2010
Hiệu trưởng
Xếp loại chung:
Ngày tháng năm 2010
Trưởng phòng
Căn cứ kết quả xét, thẩm định của hội đồng khoa học ngành GD & ĐT cấp tỉnh;
Giám đốc sở GD & ĐT Cà Mau thống nhất công nhận SKKN và xếp loại
Ngày. Tháng năm
GIÁM ĐỐC
PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN NĂM CĂN
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN NĂM CĂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC BẬC HAI THÀNH NHÂN TỬ

- Đề tài thuộc lĩnh vực chuyên môn: Toán
- Họ tên người thực hiện: Huỳnh Kim Phượng
- Chức vụ: Giáo viên
- Đơn vị công tác: Trường THCS Thị trấn Năm Căn.
Năm Căn, ngày 20 tháng 10 năm 2010