Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong 1 ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. Sau đây ta sẽ xét 1 bài toán đơn giản thuộc loại đó.
Bài toán. Một phân xưởng có 2 máy đặc chủng M1; M2 sản xuất 2 loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dung máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dung để sản xuất đồng thời 2 loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong 1 ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
Giải: Gọi x, y theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong 1 ngày [x >= 0; y >= 0]. Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L = 2x + 1,6y [triệu đồng] và số giờ làm việc [mỗi ngày] của máy M1 là 3x + y và máy M2 là x + y. Vì mỗi ngày máy M1 chỉ làm việc không quá 6 giờ, máy M2 không quá 4 giờ nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình [2]
98
Bài toán trở thành.
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình [2], tìm nghiệm [x = x0; y = y0] sao cho L = 2x + 1,6y lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình [2] là tứ giác OAIC kể cả miền trong [gọi là miền tứ giác OAIC] xem ví dụ ở mục III hình 30.
Người ta chứng minh được rằng biểu thức L = 2x + 1,6y đạt được giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OAIC [xem bài đọc thêm]. Tính giá trị của biểu thức L = 2x + 1,6y tại tất cả các đỉnh của tứ giác OAIC, ta thấy L lớn nhất khi x = 1, y = 3.
Vậy để có số tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II.
99
BÀI ĐỌC THÊM
PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC F = ax + by TRÊN MỘT MIỀN ĐA GIÁC
Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by [a, b là 2 số đã cho không đồng thời bằng 0], trong đó x, y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A1A2…AiAi+1…An. Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải [h.31]. Ta minh họa cách giải trong trường hợp n = 5 và chỉ xét trường hợp b > 0 [các trường hợp còn lại xét tương tự]. Giả sử M[x0; y0] là 1 điểm đã cho thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của đa giác, kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng ax + by = 0. Trong các đường thẳng đó, đường thẳng qua điểm M có phương trình ax + by = ax0 + by0 và cắt trục tung tại điểm N [0; ax0 + by0 / b]. Vì b > 0 nên ax0 + by0 lớn nhất khi và chỉ khi
Trên hình 31, F = ax + by lớn nhất khi [x; y] là tọa độ của điểm A1, bé nhất khi [x; y] là tọa độ điểm A4. Tóm lại, giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của biểu thức F = ax + by đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác.
BÀI TẬP
1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau
- –x + 2 + 2[y – 2] < 2[1 – x] b] 3[x – 1] + 4[y – 2] < 5x – 3
2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau
- b] 100
3. Có 3 nhóm máy A, B, C dung để sản xuất ra 2 loại sản phẩm I và II. Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dung các máy
thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong 1 nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau
Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất 2 loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.
Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp giải trong mục IV.
BÀI 5 - DẤU CỦA TAM THỨC BẬC II
Một phần của tài liệu DAI SO 10 [Trang 64 -66 ]
Từ thời cổ đại, khi thực hiện các công việc của mình, loài người đã luôn hướng tới cách làm tốt nhất trong các cách có thể làm được tức là đi tìm phương án tối ưu trong các phương án. Khi khoa học phát triển, người ta đã mô hình hoá toán học với các việc cần làm, nghĩa là biểu thị các mục tiêu cần đạt được, các yêu cầu hay các điều kiện thoả mãn bằng ngôn ngữ toán học để tìm lời giải tối ưu cho nó. Từ đó, hình thành nên các bài toán tối ưu.
Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu với hữu hạn biến, trong đó, mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biểu thị bằng các hàm số, các phương trình hay bất phương trình tuyến tính bậc nhất. Quy hoạch tuyến tính là là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế, trong một số ngành học kinh tế hoặc sư phạm [bậc đại học] có một môn học về bài toán này. [ads] Đối với học sinh bậc THPT chỉ xét dạng đơn giản của một bài toán Quy hoạch tuyến tính được trình bày trong chương trình Đại số lớp 10. Với cách tổ chức thi THPTQG theo hình thức trắc nghiệm thì theo quan điểm của cá nhân tôi Quy hoạch tuyến tính là một bài toán quan trọng và khả năng rất cao sẽ xuất hiện trong đề thi THPTQG vì đây là một dạng toán xuất phát từ các nhu cầu thiết yếu trong cuộc sống.
Bài viết gồm các mục:
- Nội dung kiến thức.
- Ví dụ minh hoạ.
- Bài tập đề nghị.
- Hướng dẫn, đáp án.
- Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]