- Đường tròn tâm O, bán kính R [với R > 0] là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R. Kí hiệu [O, R] hay gọn hơn [O].
- Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn [O, R]
- M nằm trên [O, R] OM = R
- M nằm trong [O, R] OM < R
- M nằm ngoài [O, R] OM > R
- Để chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm đã cho cách đều một điểm.
Ví dụ: cho hình chữ nhật ABCD có AB 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Hướng dẫn:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:
OA = OB = OC = OD [theo tính chất đường chéo của hình chữ nhật]
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn [O, OA]
Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại B, thu ta có:
AC$^{2}$ = CB$^{2}$ + BA$^{2}$ hay AC$^{2}$ = 5$^{2}$ + 12$^{2}$ = 13$^{2}$
=> AC = 13 [cm]
Vậy bán kính của đường tròn là:
OA = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{13}{2}$ = 6,5 [cm]
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ M là điểm bất kì trên cạnh BC kẻ MD $\perp $ AB, ME $\perp $ AC. Chứng minh 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn
2. Cho tam giác ABC vuông tại A gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
=> Xem hướng dẫn giải
3. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^{0}$.
a, Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
b, Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
4. Cho tứ giác ABCD có AC $\perp $ BD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
=> Xem hướng dẫn giải
Từ khóa tìm kiếm: giải toán lớp 9, các dạng toán lớp 9, phương pháp giải các dạng toán lớp 9, cách giải bài toán dạng Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn lớp 9
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn: Phương pháp Ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm. Cách 2: Sử dụng kết quả “Nếu ABC = 90◦ thì B thuộc đường tròn đường kính AC”. Ví dụ 1. Cho 4ABC và điểm M là trung điểm của BC. Hạ MD ME theo thứ tự vuông góc với AB và AC. Trên tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. Chứng minh rằng bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên một đường tròn. Lời giải. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau Cách 1: [Sử dụng định nghĩa] Ta có M là trung điểm BC nên MB = MC = 1 2 BC. [1] MD là trung trục cảu BI nên M I = MB. [2] ME là trung trực của CK nên MK = MC. [3] Từ [1], [2], [3] suy ra MB = MC = M I = MK = 1 2 BC. Vậy bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đường tròn tâm M, bán kính 1 2 BC. Cách 2: Ta có MD là trung trực của BI nên: M I = MB = 1 2 BC ⇔ ∆BCI vuông tại I. ⇔ I thuộc đường tròn đường kính BC. [4] ME là trung trực của CK nên: MK = MC = 1 2 BC ⇔ ∆BCK vuông tại K. ⇔ K thuộc đường tròn đường kính BC. [5] Vậy bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đường tròn tâm M, đường kính BC. Nhận xét. Trong lời giải trên, để chứng minh bốn điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng cả hai cách và Ở cách 1, ta khẳng định điểm M [đã cho sẵn] cách đều bốn điểm B, I, K, C dựa trên tính chất đường trung trực. Ở cách 2 ta khéo léo chứng minh BIC = BKC = 90◦ dựa trên kết quả “Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nữa cạnh huyền và ngược lại”. Tuy nhiên cách 2 được đề xuất thông qua kết quả của cách 1.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn. Lời giải. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại đường tròn [O] đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C. Ta có A,B ∈ [O] ⇒ OA = OB ⇒ O thuộc trung trực Ex của AB. B,C ∈ [O] ⇒ OB = OC ⇒ O thuộc trung trực F y của BC. suy ra O = Ex ∩ F y. [*] Mặt khác, vì A, B, C thẳng hàng nên: Ex kF y điều này mâu thuẫn với [*]. Vậy qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn. 4! Chú ý: Từ kết quả “Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ một đường tròn đi qua ba điểm đó”, chúng ta có thể khai thác thêm như sau: 1. Nếu các điểm A, B, C, D thuộc đường tròn [O] và A, B, C, E thuộc đường tròn [O0] thì [O] ≡ [O0], hay nói cách khác ” Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn ”. 2. Mở rộng hơn “Nếu ta có A, B, C, D thuộc đường tròn [O1] và A, B, C, E thuộc đường tròn [O2] và A, B, C, F thuộc đường tròn [O3] thì [O1] ≡ [O2] ≡ [O3] ≡ [O] và [O] là đường tròn ngoại tiếp 4DEF”.
Đây là phần thuận của bài toán quỹ tích, một dạng toán khó và rất rộng. Trong bài viết nhỏ này tôi xin trình bày một số bước để giải bài toán và một số ví dụ minh họa.
Điểm thuộc đường cố định, thì có thể thuộc đường thẳng hoặc đường tròn, đôi khi giới hạn trong đoạn thẳng hoặc cung tròn. Do đó ta cần trang bị một số kiến thức cơ bản về quỹ tích một số đường hay gặp:
Quỹ tích là đường thẳng.
- Quỹ tích các đường thẳng cách đều hai điểm là đường trung trực.
- Quỹ tích cách đều hai cạnh của một góc là phân giác của góc đó.
- Quỹ tích các điểm cách một đường thẳng một khoảng cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng đã cho.
- Điểm thuộc đường thẳng qua hai điểm cố định, qua một điểm cố định vuông góc hoặc song song với một đường cố định…
Trong một số trường hợp ta chỉ cần chứng minh điểm thuộc đường cố định nào đó, ta lại quy về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ta biết được điểm thuộc đường thẳng hay đường tròn thường ta phải dự đoán bằng cách cho 3 trường hợp phân biệt, trong đó có các trường hợp đặc biệt. Nếu không vẽ thêm hình thì đòi hỏi người làm toán phải có trực giác và cảm nhận hình học tốt. Sau khi dự đoán được thì ta dùng các kiến thức đã biết để tìm lời giải.
Sau đây ta xem một vài ví dụ sau.
Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. $CD$ là đường kính thay đổi, $AC, AD$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của $[O]$ tại các điểm $P, Q$. Chứng minh rằng $CDQP$ nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác thuộc một đường cố định.
Bước dự đoán, ta có thể vẽ hình chính xác cho $CD$ thay đổi rồi dựng điểm $I$, khi vẽ hình chích xác ta xác định được các điểm $I$ sẽ cùng thuộc một đường thẳng.
Đến lúc này, ta hãy liên hệ đường thẳng mà ta phát hiện với các yếu tố có trên hình đó là $O$, đường tròn $[O]$, $AB$ và tiếp tuyến tại $B$.
Nếu phát hiện được đường thẳng đó song song với tiếp tuyến tại $B$ thì ta hãy liên hệ với các quỹ tích hay gặp để tìm ra tính chất.
- Ta có $\angle ACD = \angle ABD = \angle AQP$, suy ra $BPCQ$ nội tiếp.
- Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Ta có $IM \bot PQ, IO \bot CD$.
- Mặt khác, ta có $AM \bot CD, AO \bot PQ$.
- Khi đó $IM ||AO, IO ||AM$, suy ra $AOIM$ là hình bình hành. Suy ra $IM = AO$ không đổi.
- Hơn nữa $IM \bot PQ$ và $I, A$ khác phía đối với $PQ$ do đó $I$ thuộc đường thẳng song song với $PQ$ và cách $PQ$ một khoảng bằng bán kính và khác phía $A$ đối với $PQ$.
Ví dụ 2. Cho đường tròn $[O]$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn, một cát $d$ tuyến qua $A$ cắt $[O]$ tại hai điểm $C, D$. Tiếp tuyến tại $C, D$ cắt nhau tại $P$, chứng minh $P$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $d$ thay đổi và luôn qua $A$.
Chỉ cần vẽ hình chính xác ta có thể xác định ngay rằng $P$ thuộc một đường thẳng vuông góc với $AO$, như nhận xét trên, để chứng minh đường thẳng này cố định ta chỉ cần chứng minh nó đi qua một điểm cố định nào đó, việc này dễ dàng khi có thể chứng minh điểm đó thuộc $OA$. Từ đó có cách giải sau:
Gọi $H$ là hình chiếu của $P$ trên $AO$. Ta chứng minh $H$ cố đinh. Gọi $I$ là giao điểm của $OP$ và $CD$.
Ta có $OI.OP = OC^2$ không đổi.
$\triangle OPH \backsim OIA$, suy ra $OH.OA = OI.OP = OC^2$ không đổi. Mà $O, A$ cố định, suy ra $H$ có định.
Do đó $P$ thuộc đường thẳng vuông góc với $OA$ tại $H$ cố định.
Ví dụ 3. [PTNK 2004] Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $[O]$ tại $B, C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Đây là một bài toán khó, nhưng cách giải của nó cũng là kinh nghiệm cho những bài toán khác.
Nhận thấy rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$ đi qua một điểm cố định là $O$, khi đó để chứng minh tâm $I$ của đường tròn này thuộc một đường thẳng cố định, một cách suy nghĩ tự nhiên là cần chứng minh thêm nó đi qua một điểm cố định khác, khi đó sẽ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối $O$ và điểm kia.
Nếu vẽ hình chính xác, ta có thể dự đoán được đường thẳng đó vuông góc với đường $OA$ cố định, khi đó ta có thể nghĩ đến cách như ví dụ 2, vẽ $OH \bot OA$ và chứng minh $OH$ không đổi.
Nói chung tùy cách suy nghĩ ta có thể đi tìm lời giải.
- Gọi $D$ là giao điểm của $AO$ và $[OBC]$.
- Ta có $AD.AO = AB.AC = AH^2 = OA^2 – R^2$ không đổi, suy ra $D$ cố định.
- Do đó tâm $I$ của $[OBC]$ thuộc đường trung trực của đoạn $OD$.
Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp là $[O]$. Một đường tròn thay đổi qua $A, O$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D, E$.
a. Chứng minh rằng hình chiếu của $O$ trên $DE$ thuộc một đường thẳng cố định.
b. Chứng minh rằng trực tâm tam giác $ODE$ thuộc một đường thẳng cố định.
Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $DE$. Ta thấy $ADOE$ nội tiếp và $K$ là hình chiếu $O$ trên $DE$, mô hình quen thuộc, gợi ý cho ta đến một định lý khá quen thuộc.
a.
- Gọi $M, N$ là hình chiếu của $O$ trên $AB, AC$, ta có $M, N$ là trung điểm của $AB, AC$ nên cố định.
- Theo định lý Simson thì $M, K, N$ thẳng hàng, hay $K$ thuộc đường thẳng $MN$ cố định.
b.
Nếu vẽ hình chính xác, ta có thể dựđoán được trực tâm $H$ của tam giác $ODE$ thuộc đường thẳng $BC$ cố định, do đó ta chỉ cần chứng minh $B, H, C$ thẳng hàng, ta lại quay về việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
- Ta có $\angle OHD = \angle OED = \angle OAD = \angle OBA$, suy ra $ODBH$ nội tiếp.
- Tương tự ta có $OECH$ nội tiếp.
- Khi đó $\angle OHB = \angle ODA = \angle OEC = 180^\circ – \angle OHC$. Suy ra $B, H, C$ thẳng hàng.
- Vậy $H$ thuộc đường thẳng $BC$ cố định.
Bài tập rèn luyện.
- Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ thỏa $MA^2 – MB^2 = k$ không đổi. Chứng minh rằng $M$ thuộc một đường thẳng cố định.
- Cho tam giác $ABC$, đường tròn thay đổi qua $B, C$ cắt các cạnh $AB, AC$ tại $D, E$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
- Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $B, C$ cố định. Đường cao $AH$, gọi $D, E$ là hình chiếu của $H$ trên $AB, AC$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $P$. Gọi $Q$ là giao điểm của $AP$ và $DE$. Chứng minh $Q$ thuộc một đường cố định.
- Cho đường tròn $[O]$ cố định và điểm $A$ nằm trong đường tròn, đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $[O]$ tại $B$ và $C$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $[O]$. Chứng minh rằng $D$ thuộc một đường cố định.
- Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $[O]$. $D$ là một điểm thay đổi trên cạnh $BC$. Đường tròn $[I]$ qua $D$ và tiếp xúc với cạnh $AB$ tại $B$; đường tròn $[J]$ qua $D$ tiếp xúc với cạnh $AC$ tại $C$. Chứng minh rằng trung điểm của $IJ$ luôn thuộc một đường cố định.
- Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BD$. $M$ là điểm thay đổi trên đoạn $BH$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADM$ cắt $CD$ tại điểm $N$. Chứng minh rằng trung điểm của $MN$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.