Phương pháp: Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian chúng ta chứng minh hoặc xác định 3 điểm đó cùng thuộc và 1 giao tuyến của 2 mặt phẳng
Ví dụ 1:
Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc [ABCD] ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC .
- Xác định giao điểm I = AN ∩ [SBD]
- Xác định giao điểm J = MN ∩[SBD]
- Chứng minh I, J, B thẳng hàng
Ví dụ 2:
Cho tứ giác ABCD và S ∉ [ABCD]. Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M .
- Tìm giao điểm K = IJ và [SAC]
- Xác định giao điểm L = DJ và [SAC]
- Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng
Bài tập thực hành chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài 1: Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng [Q] và các đường thẳng BC, CA, AB cắt [Q] lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Bài 2. Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dài tại J, FD cắt CA kéo dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I ,J ,K thẳng hàng.
Bài 3. Cho hai mặt phẳng [α] và [β] cắt nhau theo giao tuyến d. Trong [α] lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài [α], [β] sao cho OA và OB lần lượt cắt [β] tại A’ và B’.
a. Chứng minh 3 điểm I, A’, B’ thẳng hàng
b. Trong [α] lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Gỉasử OC cắt [β] tại C’, BC cắt B’C’ tai J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.
Bài 4. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng . Gọi M, P, Q là các điểm lần lượt thuộc các đoạn AC, BC, CD. Các cặp đường thẳng AP và MB, AQ và MD cắt nhau lần lượt tại E và F. Chứng minh PQ cắt BD tại K thì K, E, F thẳng hàng.
Bài 5. Trong mặt phẳng [a] cho tứ giác ABCD có cạnh đối AD và BC cắt nhau tại N, S là điểm không thuộc mặt phẳng [a]. Gọi I là điểm thuộc cạnh SB, E là giao điểm của DI và mặt phẳng [SAC], K là giao điểm của SC và NI. Chứng minh rằng A, E, K thẳng hàng.
Bài tập tự làm chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 1. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC,BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng [a] qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng [β] qua BC cắt SD, SA lần lượt là tại P và Q.
a. Gọi I = AM ∩DN và J = BP ∩ EQ.Chứng minh bốn điểm S, I, J , G thẳng hàng
b. Giả sử AN ∩ DM = K ; BQ ∩ EP = L.Chứng minh S, K, L thẳng hàng.
Hướng dẫn
a. Ta có S, I, J, G là điểm chung của hai mặt phẳng [SAE] và [SBI] nên chúng thẳng hàng
b. Vì S, K, L là điểm chung của hai mặt phẳng [SAB] và [SDE] nên chúng thẳng hàng.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB.
a . Tìm giao điểm E, F của IK và DK với mp[SAC]
b . Gọi O = AD∩ BC, M = SC∩ OK. Chứng minh bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.
Hướng dẫn
a. Gọi H = AC∩ BI; G = AC∩ BD
Trong mp[SBI]: IK cắt SH tại E
Trong mp[SBD]: DK cắt SG tại F
Ta cso: E = IK ∩ mp[SAC]; F = DK ∩ mp[SAC].
b. Các điểm A, E, F, M
Các điểm A, E, F, M
Vậy A, E, F, M là bốn điểm chung của hai mp[AKO] và [SAC] nên chúng cùng nằm trên đường giao tuyến của hai mp đó
Vì vậy chúng thẳng hàng.
Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt
Link hướng dẫn giải và giảng chi tiết bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Bài Tập và lời giải
Bài 3.1 trang 103 SBT hình học 12
Trong không gian Oxyz cho ba vecto \[\overrightarrow a = [2; - 1;2],\overrightarrow b = [3;0;1],\overrightarrow c = [ - 4;1; - 1]\]. Tìm tọa độ của các vecto \[\overrightarrow m \] và \[\overrightarrow n \] biết rằng:a] \[\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c \]b] \[\overrightarrow n = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + 4\overrightarrow c \]
Xem lời giải
Bài 3.2 trang 103 SBT hình học 12
Đề bài
Trong không gian Oxyz cho vecto \[\overrightarrow a = [1; - 3;4]\].
a] Tìm y0 và z0 để cho vecto \[\overrightarrow b = [2;{y_0};{z_0}]\] cùng phương với \[\overrightarrow a \]
b] Tìm tọa độ của vecto \[\overrightarrow c \] biết rằng \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow c \] ngược hướng và \[|\overrightarrow {c|} = 2|\overrightarrow a |\]
Xem lời giải
Bài 3.3 trang 103 SBT hình học 12
Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ [x0; y0 ; z0]. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ [Oxy], [Oyz], [Ozx].
Xem lời giải
Bài 3.4 trang 103 SBT hình học 12
Cho hai bộ ba điểm:
a] A = [1; 3; 1], B = [0; 1; 2], C = [0; 0; 1]
b] M = [1; 1; 1], N = [-4; 3; 1], P = [-9; 5; 1]
Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?
Xem lời giải
Bài 3.5 trang 103 SBT hình học 12
Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng [Oxz] một điểm M cách đều ba điểm A[1; 1; 1], B[-1; 1; 0], C[3; 1; -1].
Xem lời giải
Bài 3.6 trang 103 SBT hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overline {BC} \]
b] \[\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \]\]
Xem lời giải
Bài 3.7 trang 103 SBT hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \]
b] \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \]b] \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \]
Xem lời giải
Bài 3.8 trang 103 SBT hình học 12
Trong không gian cho ba vecto tùy ý \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]. Gọi \[\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v = 3\overrightarrow b - \overrightarrow c ,\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a \].
Chứng tỏ rằng ba vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] đồng phẳng.
Xem lời giải
Bài 3.9 trang 104 SBT hình học 12
Trong không gian Oxyz cho một vecto \[\overrightarrow a \] tùy ý khác vecto \[\overrightarrow 0 \]. Gọi \[\alpha ,\beta ,\gamma \] là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \] trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \[\overrightarrow a \]. Chứng minh rằng: \[{\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\]
Xem lời giải
Bài 3.10 trang 104 SBT hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD.
a] Chứng minh hệ thức: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\]
b] Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”
Xem lời giải
Bài 3.11 trang 104 SBT hình học 12
Tính tích vô hướng của hai vecto \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] trong không gian với các tọa độ đã cho là:
a] \[\overrightarrow a = [3;0; - 6],\overrightarrow b = [2; - 4;c]\]
b] \[\overrightarrow a = [1; - 5;2],\overrightarrow b = [4;3; - 5]\]
c] \[\overrightarrow a = [0;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ],\overrightarrow b = [1;\sqrt 3 ; - \sqrt 2 ]\]
Xem lời giải
Bài 3.12 trang 104 SBT hình học 12
Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:a] A[4; -1; 1] , B[2; 1; 0]b] A[2; 3; 4] , B[6; 0; 4]
Xem lời giải
Bài 3.13 trang 104 SBT hình học 12
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:A[a; 0 ; 0], B[0; b; 0] , C[0; 0; c]Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Xem lời giải
Bài 3.14 trang 104 SBT hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a] Có tâm I[5; -3; 7] và có bán kính r = 2.
b] Có tâm là điểm C[4; -4; 2] và đi qua gốc tọa độ;
c] Đi qua điểm M[2;-1;-3] và có tâm C[3; -2; 1]
Xem lời giải
Bài 3.15 trang 104 SBT hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:
a] x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 16z – 26 = 0 ;
b] 2x2 + 2y2 + 2z2 2+ 2y2+ 2z2+ 8x – 4y – 12z – 100 = 0
Xem lời giải
Bài 3.16 trang 104 SBT hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A[1; 0; 0], B[0; -2; 0], C[0; 0; 4] và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Xem lời giải