Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông bài tập
Tài liệu gồm 15 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 8 chương 3: Tam giác đồng dạng. Show
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông. Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: + Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia. + Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. 2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng. Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 3. Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác của hai tam giác đồng dạng. + Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. + Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. + Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. 4. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng. Phương pháp giải: Có thể sử dụng một trong các cách sau: + Cách 1: Áp dụng trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường vào tam giác vuông. + Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng. Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán. Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh.Dạng 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác. Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. BÀI 8: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuôngTừ các trường hợp đồng dạng của hai tam giác đã xét trước đây, ta suy ra: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia. b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. 2. Dấu hiệu đặc biết nhận biết hai tam giác vuông đồng dạngĐịnh lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạngĐịnh lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. Định lí 3: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPDạng 1. Chứng minh tam giác đồng dạng và tìm cặp tam giác đồng dạngCách giải: - Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia. b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. - Áp dụng định lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. - Áp dụng định nghĩa, tính chất hai tam giác đồng dạng: \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k\] ( k là tỉ số đồng dạng) Tính chất 1: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó Tính chất 2: Nếu \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\] thì \[\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\] Tính chất 3: Nếu \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta A''B''C''\] và \[\Delta A''B''C''\backsim \Delta ABC\] thì \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\] . Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳngCách giải: - Áp dụng định nghĩa, tính chất tam giác đồng dạng. - Áp dụng các trường hợp tam giác vuông đồng dạng và các định lí: Định lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. Định lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. Định lí 3: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOABài 46. SGK toán 8 tập 2 trang 84a) Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta ADC\] có \[\widehat{A}\] chung , \[\widehat{ABE}=\widehat{ADC}={{90}^{0}}\] \[\Rightarrow \Delta ABE\backsim \Delta ADC\left( 1 \right)\] Xét \[\Delta FBC\] và \[\Delta FDE\] có \[\widehat{BFC}=\widehat{DFE};\widehat{CBF}=\widehat{EDF}={{90}^{0}}\] \[\Rightarrow \Delta FBC\backsim \Delta FDE\left( 2 \right)\] Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta FDE\] có \[\widehat{E}\] chung , \[\widehat{ABE}=\widehat{EDF}={{90}^{0}}\] \[\Rightarrow \Delta ABE\backsim FDE\left( 3 \right)\] Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \Delta ADC\backsim \Delta FDE\left( 4 \right)\] Từ (2) và (3) \[\Rightarrow \Delta ABE\backsim \Delta FBC\] Từ (3) và (4) \[\Rightarrow \Delta ADC\backsim \Delta FBC\] Bài 47. SGK toán 8 tập 2 trang 84Xét \[\Delta ABC:A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25;B{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25\] \[\Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại A (định lí Pi-ta-go đảo) \[\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=6\left( c{{m}^{2}} \right)\] Lại có \[\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\] (giả thiết) \[\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k\] với k là tỉ số đồng dạng. \[\Rightarrow \frac{S_{A'B'C'}^{'}}{{{S}_{ABC}}}={{k}^{2}}\] \[\Rightarrow {{k}^{2}}=\frac{54}{6}=9\Rightarrow k=3\] \(\begin{array}{l} \Rightarrow A'B' = 3AB = 9\left( {cm} \right)\\ A'C' = 3AC = 12\left( {cm} \right)\\ B'C' = 3BC = 15\left( {cm} \right) \end{array}\) Bài 48. SGK toán 8 tập 2 trang 84 Gọi chiều cao của cột điện là x(m) \[(x>0)\] . Giả sử cột điện AC có bóng trên mặt đất là AB và thanh sắt A’B’ có bóng trên mặt đất là A’B’. Vì AC và A’C’ cùng vuông góc với mặt đất \[\Rightarrow \Delta ABC\] và \[\Delta A'B'C'\] vuông góc tại A và A’. Bóng của cột điện và thanh sắt được tia sáng tạo ra cùng một thời điểm \[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{B'}\] \[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\] \[\Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\] \[\Leftrightarrow \frac{x}{2,1}=\frac{4,5}{0,6}\] \[\Leftrightarrow x=15,75\left( m \right)\] Vậy chiều cao của cột điện đó là 15,75m. LUYỆN TẬPBài 49. SGK toán 8 tập 2 trang 84a) Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta HBA\] có: \[\widehat{A}=\widehat{H}={{90}^{0}};\widehat{B}\] chung \[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HBA\] (1) Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta HAC\] có: \[\widehat{A}=\widehat{H}={{90}^{0}};\widehat{C}\] chung \[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HAC\] (2) Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \Delta HBA\backsim \Delta HAC\] . b) Ta có \[\Delta ABC\] vuông tại A \[\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\] \[\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{12,{{45}^{2}}+20,{{5}^{2}}}\approx 23,98\left( cm \right)\] Lại có: \[\Delta ABC\backsim \Delta HBA\Rightarrow \frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}\] \[\Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{12,{{45}^{2}}}{23,98}\approx 6,46\left( cm \right)\] Ta có: \[CH=BC-BH=23,98-6,46=17,52\left( cm \right)\] Bài 50. SGK toán 8 tập 2 trang 84Giả sử thanh sắt A’B’ có bóng là A’C’. Vì AB và A’B’ đều vuông góc với mặt đất nên \[\Delta ABC\] và \[\Delta A'B'C'\] đều là tam giác vuông lần lượt tại A và A’. Vì bóng của ống khói và thanh sắt được tia sáng tạo ra cùng thời điểm \[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{B'}\] \[\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\] \[\Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\] \[\Leftrightarrow \frac{x}{2,1}=\frac{36,9}{1,62}\] \[\Leftrightarrow x=\frac{2,1.36,9}{1,62}\approx 47,83\left( m \right)\] Vậy ống khói cao 47,83m. Bài 51. SGK toán 8 tập 2 trang 84Ta có: \[BC=BH+CH=25+36=61\left( cm \right)\] Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta ABC\] có: \[\widehat{A}=\widehat{H}={{90}^{0}};\widehat{B}\] chung \[\Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta CBA\] \[\Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}\] \[\Rightarrow A{{B}^{2}}=BC.BH\] \[\Rightarrow AB=\sqrt{BC.BH}=\sqrt{61.25}=5\sqrt{61}\left( cm \right)\] Xét \[\Delta ABC\] vuông tại A ta có: \[B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\] \[\Rightarrow A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}\] \[\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{61}^{2}}-1525}=6\sqrt{61}\left( cm \right)\] Chu vi \[\Delta ABC\] là \[{{P}_{ABC}}=AB+AC+BC=5\sqrt{61}+6\sqrt{61}+61=61+11\sqrt{61}\left( cm \right)\] Diện tích \[\Delta ABC\] là \[{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}5\sqrt{61}.6\sqrt{61}=915\left( c{{m}^{2}} \right)\] Bài 52. SGK toán 8 tập 2 trang 85Ta có \[\Delta ABC\] vuông tại A có \[AB=12cm;BC=20cm\] . Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta ABC\] có: \[\widehat{A}=\widehat{H}={{90}^{0}};\widehat{B}\] chung \[\Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta CBA\] \[\Rightarrow \frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}\] \[\Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{{{12}^{2}}}{20}=7,2\left( cm \right)\] \[\Rightarrow CH=BC-BH=20-7,2=12,8\left( cm \right)\] Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 8 bài trường hợp đồng dạng của tam giác vuông do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ |