Bài tập tự luận về tính đơn điệu của hàm số

Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( – ∞; – 1) và ( 0; 1)
Do ( 2; – 1) ⊂ ( – ∞; – 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng ( – 2; – 1)

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 1; + ∞) B. ( – ∞; + ∞) C. ( 3; 4)

D. ( 2; +∞)

Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( – ∞; 3) và ( 3; + ∞)

Mà ( 3; 4) ⊂ ( 3; +∞) nên trên khoảng ( 3; 4) hàm số đồng biến

Chọn C.

Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số (không chứa tham số)

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{1-x}$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y’=\frac{2}{{{(1-x)}^{2}}}>0\text{, }\forall x\ne 1$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$và $(1;+\infty )$

Câu 2. Hỏi hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+5x-2$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(5;+\infty )$

B. $\left( 2;3 \right)$

C. $\left( -\infty ;1 \right)$

D. $\left( 1;5 \right)$

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$.

$y’ = {x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Trên khoảng$\left( 1;5 \right),\text{ }y'<0$ nên hàm số nghịch biến

Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{x-m+2}{x+1}$ giảm trên các khoảng mà nó xác định ?

A. $m<-3$.

B. $m\le -3$.

C. $m\le 1$.

D. $m<1$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$. Ta có ${y}’=\frac{m-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định $\Leftrightarrow {y}'<0,\forall x\ne -1\Leftrightarrow m<1$

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-(m+1)+2m-1}{x-m}$ tăng trên từng khoảng xác định của nó?

A. $m>1$.

B. $m\le 1$.

C. $m<1$.

D. $m\ge 1$.

Lời giải

 Chọn B.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có ${y}’=\frac{{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1}{{{(x-m)}^{2}}}$

Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow {y}’\ge 0,\,\,\forall x\in D\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1\ge 0,\forall x\in D$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 \geqslant 0\,(hn) \hfill \\ m – 1 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m \leqslant 1$

Dạng 4. Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước

Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{{mx – 4}}{{x – m}}$( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0; +∞) A. 5 B. 4 C. 3

D. 2

Lời giải

Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{mx – 9}}{{x – m}}$ ( m là tham số thực). Tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm số đã
cho đồng biến trên khoảng ( 1; +∞)

A. – 3

B. – 2

C. – 5

D. 4

Lời giải

3. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Câu 1. Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.

D. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 2. Cho hàm số$y=\frac{3x-1}{-4+2x}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$và $\left( 2;+\infty \right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,-2 \right)$ và$\left( -2;+\infty \right)$.

Câu 3. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

A. $h(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4$.

B. $g(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+1$.

C. $f(x)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x$.

D. $k(x)={{x}^{3}}+10x-{{\cos }^{2}}x$.

Câu 4. Hỏi hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+5}{x+1}$ nghịch biến trên các khoảng nào ?

A. $(-\infty ;-4)$và $(2;+\infty )$.

B. $\left( -4;2 \right)$.

C. $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( -1;+\infty \right)$.

D. $\left( -4;-1 \right)$ và $\left( -1;2 \right)$.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ giảm trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$?

A. $-2

B. $-2\le m\le -1$.

C. $-2

D. $-2\le m\le 2$.

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$?

A. $m\le 0$.

B. $m\le 12$.

C. $m\ge 0$.

D. $m\ge 12$.

Bài viết hướng dẫn bạn giải bài tập thuộc chủ đề tính đơn điệu của hàm số lớp 12 đến đây tạm dừng. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được cho bạn. Chúc bạn học tốt.

11:30:2010/06/2020

Ngoài những bài tập xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể, tường minh thì dạng toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập số thực R hay trên một khoảng cho trước có tham số sẽ khó hơn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay

I. Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số cần nhớ.

1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

- Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

- Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

- Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

- Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K

II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

° Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể (không có tham số)

* Phương pháp:

- Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f'(x)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a)

b)

c)

° Lời giải:

a)

- Tập xác định : D = R

- Ta có: y' = 3 – 2x

- Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.

- Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4

- Ta có bảng biến thiên:

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2;+∞).

b)

- Tập xác định: D = R

- Ta có: y' = x2 + 6x - 7

- Cho y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7

- Tại x = 1 ⇒ y = (-17)/3;  Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.

- Ta có bảng biến thiên:

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞;-7) và (1;+∞); nghịch biến trong khoảng (-7;1).

c)

- Tập xác định: D = R

- Ta có: y'= 4x3 – 4x.

- Cho y' = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

- Tại x = 0 ⇒ y = 3;  Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2

- Ta có bảng biến thiên:

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12): Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a)

     b)

c)

     d)

° Lời giải:

a)

- Tập xác định: D = R {1}

- Ta có: 

 Vì y' không xác định tại x = 1

- Ta có bảng biến thiên sau:

- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

b) Học sinh tự làm

c)

- Tập xác định: D = (-∞;-4]∪[5;+∞)

- Ta có: 

- Cho 

 y' không xác định tại x = -4 và x = 5

- Ta có bảng biến thiên sau

- Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-4); đồng biến trong khoảng (5;+∞).

d) Học sinh tự làm

° Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m

* Hàm đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH

* Phương pháp:

• Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d; (a≠0).

+ Tính f'(x) =3ax2 + 2bx + c, khi đó:

- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R 

- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R

• Đối với hàm phân thức bậc nhất: 

+ Tính 

, khi đó:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay (ad-bc)>0

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'<0 hay (ad-bc)<0

* Ví dụ 1: Cho hàm số: f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Tính f'(x) = 3x2 - 6mx + 3(2m - 1)

 Đặt g(x) = 3x2 - 6mx + 3(2m - 1) có a = 3; b = -6m; c = 3(2m - 1);

- Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:

 

- Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.

* Ví dụ 2: Cho hàm số:

. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

° Lời giải:

- TXĐ: R{-m}.

- Ta có:

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

 

- Kết luận: Vậy với -2 < m < 1 thì hàm số nghịch biến trên tập xác định.

» xem thêm bài tập: Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

* Hàm đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG CHO TRƯỚC

* Phương pháp:

- Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).

- Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.

* Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 - 3(m + 1)x  - (m+1)  (*)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: f'(x) = 3x2 - 6x - 3(m + 1)

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1;+∞).

- Để hàm số đồng biến trên [1;+∞) thì f'(x)≥0, ∀x ∈ [1;+∞).

 ⇒ 3x2 - 6x - 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x2 - 2x - m - 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1;+∞)

 ⇒ x2 - 2x - 1 ≥ m, ∀x ∈ [1;+∞)

- Đặt y(x) = x2 - 2x - 1 ⇒ y' = 2x - 2

- Cho y' = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

 

- Từ bảng biến thiên ta có:

 

 

- Kết luận: Vậy với m ≤ -2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [1;+∞).

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

- Để hàm số nghịch biến trên [-1;3] thì f'(x)≤0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ 3x2 - 6x - 3(m + 1) ≤ 0,∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x2 - 2x - m - 1 ≤ 0, ∀x ∈ [-1;3].

 ⇒ x2 - 2x - 1 ≤ m, ∀x ∈∀x ∈ [-1;3].

- Đặt y(x) = x2 - 2x - 1  ⇒ y'(x) = 2x - 2

- Cho y'(x) = 0  ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

- Từ bảng biến thiên ta có:

 

- Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng [-1;3].

» xem thêm bài tập: Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b)

Như vậy, hy vọng qua bài viết này, các em sẽ dễ dàng giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định hay trên một khoảng cho trước. Việc vận dụng thuần thục dạng toán này sẽ giúp ích cho các em rất nhiều ở các bài tập liên quan hàm số.

Nội dung hàm số ở chương trình lớp 12 vẫn còn rất nhiều các bài toán liên quan, HayHocHoi hẹn gặp các em ở các chuyên đề tiếp theo. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để  ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.