§3. BẢNG LƯỢNG GIÁC Tóm tắt kiến thức cẩu tạo của bảng lượng giác Bảng sin và côsin [Bảng VIII] Bảng tang và côtang [Bảng IX] Bảng tang của các góc gần 90° [Bảng X]. Nhận xét: • Khi góc ct tăng từ 0° đến 90° [0° < a < 90°] thì sin a và tg a tăng còn COS a và cotg a giảm. • sin a, < tg a và cos a < cotg a [xem ví dụ 2]. Cách dùng bảng, dùng máy tính Tìm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho trước ; Tìm số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Tìm góc nhọn X [làm tròn đến phút] biết rằng : sin2 X + 2cos2 X = 1,7359. [1] Giải. Từ [1] suy ra [sin2 X + COS2 x] + cos2 X = 1,7359 => 1 + cos2 X = 1,7359 =>cos2 X = 0,7359 => cos X « 0,8578 => cos X « COS 30°55'. Do đó X « 30°55'. Nhận xét. Cách giải trên dựa vào tính chất sau : Nếu hai góc nhọn a và 3 có COS a = COS 3 thì a = 3- Tính chất trên cũng đúng đối với các tỉ số lượng giác còn lại. Ví dụ 2. Chứng minh rằng sin a < tg ot; COS ot < cotg a. Áp dụng : So sánh sin 35° và cotg 50°. AB AC AB BC Giải. Xét AABC vuông tại A, c = a, ta có : sin a = ——; tg a = Vì BC > AC nên . BC AC Do đó sin a < tg a. Tương tự : COS a < cotg a. Áp dụng : Ta có sin 35° < sin 40° < tg 40° = cotg 50°. Vậy sin 35° < cotg 50°. c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 18. ĐS : a] sin 40°12' « 0,6455 ; b] COS 52°54'« 0,6032 ; tg 63 36' « 2,0145 ; cotg 25 18' «2,1155. Nhận xét. Vì trong máy tính không có phím cotg nên để tìm cotg 25° 18' ta phải tìm tg25°18' rồi lấy nghịch đảo của kết quả bằng cách nhấn vào phím Bài 19. ĐS. a] X «13°42' ; b] X «51°31’ ; c] X «65°6' ; , d] X «17°6'. Bài 20. ĐS. a] «0,9410 ; b] «0,9023; c]«0,9380; d] « 1,5849. Bài 21. ĐS. a] X « 20°; b] X « 57°; c] X « 57°; d] X « 18°. Bài 22. a] Vì 20° < 70° nên sin 20° < sin 70°. Vì 25° COS 63° 15'. Vì 73°20' > 45° nên tg 73°20' > tg 45°. Vì 2° cotg 37°40'. Cảnh báo. Từ 25° < 63° 15' suy ra COS 25° < COS 63° 15' là sai vì khi góc a tăng từ 0° đến 90° thì cos a giảm. „x sin 25° sin 25° Bai 23. a] ———_ = 1. cos 65° sin 25° b] tg 58° - cotg 32° = tg 58° - tg58° = 0. Nhận xét. Cách giải như trên là dựa vào định lí : nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia. Bài 24. a] COS 14° = sin 76° ; COS 87° - sin 3°. Vì sin 3° < sin 47° < sin 76° < sin 78° nên COS 87° < sin 47° < COS 14° < sin 78°. cotg 25° = tg 65° ; cotg 38° = tg 52°. Vì tg 52° < tg 62° < tg 65° < tg 73° nên cotg 38° < tg 62° < cotg 25° < tg 73°. Nhận xét. Để so sánh các tỉ số lượng giác sin và côsin của các góc, ta đưa về so sánh cùng một loại tỉ số lượng giác [ví dụ cùng là sin của các góc]. Tương tự như vậy, để so sánh các tỉ số lượng giác tang và côtang của các góc, ta đưa về so sánh cùng một loại tỉ số lượng giác [ví dụ cùng là tang của các góc]. Bài 25. HD. Dùng tính chất sin a < tg cc và COS a < cotg cc. ĐS : a] tg 25° > sin 25° ; b] cotg 32° > COS 32° ; tg 45° > sin 45° = COS 45° ; d] cotg 60° > COS 60° = sin 30°. D. Bài tập luyện thêm Tìm góc nhọn X [làm tròn đến độ] biết rằng : 2 , a] 5cos X = 3 ; b] tg X = 4 ; 2 2 2 3sin X + 4cos[90° - x] = 5 ; d] sin X - COS x = y • Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần : tg 65° ; cos 58° ; cotg 50° ;’sin 40°. , _ ~ z . 2 Một tam giác cân có đường cao ứng với cạnh bên băng jcạnh bên. Tính các góc của tam giác cân đó. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số 1. a] cos X = 0,6 => X « 53° ; tg X = 2 => X « 63° ; 7sin X = 5 => sin X = 6 . ~ X « 46 ; 7 . 2 sin2 X - [1 - sin2x] = — => sin^ X = 0,7 => sin X « 0,8367 => X « 57°. COS 58° = sin 32° ; cotg 50° = tg 40°. Vì sin 32° < sin 40° < tg 40° < tg 65° nên COS 58° < sin 40° < cotg 50° < tg 65°. [Xem hình bên] BH 2 _ . A . .-O sin A = —— = — => sin A « sin 42 AB 3 Do đó B = c «69°. A «42.
Các bài toán về Tỉ số lượng giác của góc nhọn và cách giải - Toán lớp 9
A. Lí thuyết
Cho tam giác ABC vuông tại A [như hình vẽ].
Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:
Cách nhớ gợi ý: Sin đi học [đối / huyền] , Cos không hư [kề / huyền], Tan đoàn kết [đối / kề] , Cot kết đoàn [kề / đối].
Các tính chất:
[1] Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
Tức là: Cho hai góc α,β, biết: α+β=90o
Khi đó, ta có:
sinα=cosβ; sinβ=cosα
tanα=cotβ; tanβ=cotα
[2] Nếu hai góc nhọn α, β, có sinα=sinβ hoặc cosα=cosβ thì α=β.
[3] Nếu là một góc nhọn bất kì thì
*Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt
B. Các dạng bài
Dạng 1: Tính toán các tỉ số lượng giác, độ dài các cạnh trong tam giác
Phương pháp giải:
Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Có AC = 10cm, cosBAC^=12. Tính sinBAC^ và độ dài AB, BC.
Giải:
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính sinABC^, cosABC^, tanABC^, cotABC^.
Giải:
Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác, các góc
Phương pháp giải :
Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại, áp dụng tính chất nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia và so sánh dựa trên các tính chất:
Nếu hai góc nhọn α, β, có sinα=sinβ hoặc cosα=cosβ thì α=β.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho hai góc nhọn α, β. Biết sinα=0,7 và cosβ=32. So sánh α và β.
Giải :
+] Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:
+] Có cosα≈0,714 < cosβ=32≈0,866⇒α>β
Bài 2: Cho là hai góc nhọn. Biết sinα=cosβ = 0,5. So sánh .
Giải:
+] Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:
Dạng 3: Rút gọn, tính toán các biểu thức lượng giác
Phương pháp giải:
Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Rút gọn và tính toán biểu thức:
A=sin15o−sin60o+cos30o−cos75o+5
Giải:
Bài 2: Rút gọn và tính toán biểu thức: A=sin282o+cot24o.cot66o+cos282o
Giải:
Dạng 4: Chứng minh biểu thức, đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác
Phương pháp giải:
Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:
Đối với bài chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của góc thì cần phải biến đổi sao cho không còn tồn tại các góc trong biểu thức.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho hai góc nhọn α, β. Chứng minh rằng: sin4α−cos4β=sin2α−cos2β
Giải:
Bài 2: Cho hai góc nhọn α, β. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của α, β: B=cos2α.cos2β+cos2α.sin2β+sin2α
Giải:
C. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=6cm, BC=10cm. Tính sinABC^, sinACB^, cosABC^, cosACB^.
Đáp án: sinABC^=45; sinACB^=35; cosABC^=35; cosACB^=45
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB=3cm, AC=4cm. Tính tanABC^, tanACB^, cotABC^, cotACB^.
Đáp án: tanABC^=43;tanACB^=34; cotABC^=34;cotACB^=43
Bài 3: Cho tam giác ABC. Có đường cao AH ứng với cạnh BC. AH=5cm, AB=7cm. Tính sinABH^, cosABH^
Đáp án: sinABH^=57;cosABH^=267
Bài 4: So sánh các tỉ số lượng giác của hai góc 67° và 54° [không dùng máy tính]
Đáp án: sin67o>sin54o; cos67otan54o; cot67o