Bài 7 trang 98 sgk Hình học 11: Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc. Cho S là diện tích tam giác ABC…
Bài 7. Cho \[S\] là diện tích tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng:
\[S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}{2}.\overrightarrow{AC}{2}-[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]^{2}}.\]
\[S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sinA =\]\[\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-cos^{2}A}\]
\[=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\left [ \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|} \right ]^{2}}\]
Advertisements [Quảng cáo]
\[=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}{2}.\overrightarrow{AC}{2}-[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]^{2}}.\]
\[=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\cos^{2}A}\]
\[=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\left[\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|} \right ]^{2}}\]
\[ = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - A{B^2}A{C^2}.\dfrac{{{{\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]}^2}}}{{{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}^2}.{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}^2}}}} \]
\[ = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - A{B^2}.A{C^2}.\dfrac{{{{\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]}^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}} \]
\[=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}{2}.\overrightarrow{AC}{2}-[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]^{2}}.\]
Hệ thống được xây dựng và vận hành bởi Novaedu - Đơn vị chính thức đồng hành cùng với Bộ Giáo dục và Đào tạo trong việc triển khai đề án "Hỗ trợ học sinh, sinh viên khởi nghiệp đến năm 2025" [Đề án 1665] của Thủ tướng Chính phủ. Novaedu cũng là đơn vị đầu tiên và duy nhất được Bộ GD&ĐT phê duyệt triển khai chương trình "Kỹ năng toàn diện - Nền tảng cốt lõi để khởi nghiệp thành công" dành cho HSSV, Giảng viên tại các cơ sở giáo dục trên toàn quốc.
\[ \begin{aligned} & {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{\dfrac{{{\left| \overrightarrow{AB} \right|}{2}}{{\left| \overrightarrow{AC} \right|}{2}}-{{\left[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right]}{2}}}{{{\left| \overrightarrow{AB} \right|}{2}}{{\left| \overrightarrow{AC} \right|}{2}}}} \\ & =\dfrac{1}{2}.AB.AC.\dfrac{\sqrt{{{\left| \overrightarrow{AB} \right|}{2}}{{\left| \overrightarrow{AC} \right|}{2}}-{{\left[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right]}{2}}}}{AB.AC} \\ & =\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left| \overrightarrow{AB} \right|}{2}}{{\left| \overrightarrow{AC} \right|}{2}}-{{\left[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right]}^{2}}} \\ \end{aligned}\]
\[S=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}{2}.\overrightarrow{AC}{2}-[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]^{2}}.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức:
\[\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A\\\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \\\cos A = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\end{array}\]
Lời giải chi tiết
\[S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A\] \[=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\cos^{2}A}\]
\[=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\left[\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|} \right ]^{2}}\]
\[ = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - A{B^2}A{C^2}.\dfrac{{{{\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]}^2}}}{{{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}^2}.{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}^2}}}} \]
\[ = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - A{B^2}.A{C^2}.\dfrac{{{{\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]}^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}} \]
\[=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}{2}.\overrightarrow{AC}{2}-[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]^{2}}.\]