Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \[[O;r]\] và \[[O';r]\]. Khoảng cách giữa hai đáy là \[OO' = r.\sqrt3\]. Một hình nón có đỉnh là \[O'\] và có đáy là hình tròn \[[O;r]\].
LG a
- Gọi \[S_1\] là diện tích xung quanh của hình trụ và \[S_2\] là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \[{{{S_1}} \over {{S_2}}}\].
Phương pháp giải:
+] Diện tích xung quanh của hình trụ: \[{S_{xq}} = 2\pi Rh\] với \[R;h\] lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
+] Diện tích xung quanh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl\] với \[r;l\] lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
Lời giải chi tiết:
Hình trụ có chiều cao \[l = h = r\sqrt3\] và bán kính đáy \[r\] nên diện tích xung quanh hình trụ là:
\[S_1 = 2πr.h = 2πr.r\sqrt3 = 2\sqrt3 πr^2\]
Với \[M\] là một điểm bất kì thuộc đường tròn \[[O]\] thì \[O'M\] là một đường sinh của hình nón ta có:
\[l' = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{r^2} + {r^2}} = 2r\]
Hình nón có bán kính đáy \[r\] và độ dài đường sinh \[l=2r\] nên diện tích xung quanh hình nón là:
\[S_2 = πrl'= π.r.2r = 2πr^2\]
Vậy: \[{{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{2\sqrt 3 \pi {r^2}} \over {2\pi {r^2}}} = \sqrt 3 \]
LG b
- Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.
Phương pháp giải:
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
+] Tính thế tích của khối nón: \[{V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\] và thể tích của hình trụ: \[V = \pi {r^2}h\]
+] Suy ra thể tích phần còn lại: \[{V_2} = V - {V_1}\].
+] Tính tỉ số: \[\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\]
Lời giải chi tiết:
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
Gọi V là thể tích khối trụ ta có: \[V = \pi {r^2}h\]
Gọi \[V_1\] là thể tích khối nón ta có: \[{V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\]
Gọi \[V_2\] là thế tích phần còn lại ta có: \[{V_2} = V - {V_1} = \pi {r^2}h - \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{2}{3}\pi {r^2}h\]
Vậy tỉ số \[\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\dfrac{2}{3}\pi {r^2}h}} = \dfrac{1}{2}\].
Cách khác:
Tính trực tiếp như sau:
Thể tích khối trụ là:
\[{V_{\text{trụ}}} = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.r\sqrt 3 = \pi {r^3}\sqrt 3 \]
Thể tích khối nón là:
\[{V_{\text{nón}}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}.r\sqrt 3 = \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3}\]
Thể tích của khối trụ nằm ngoài khối nón là:
\[V = {V_{\text{trụ}}} - {V_{\text{nón}}} = \pi {r^3}\sqrt 3 - \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\]
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r3
- Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
- Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
- Cho 2 điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của
hình trụ bằng 30°. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Giải
- Ta có h\=l\=r3
Diện tích xung quanh hình trụ là:
Sxq\=2πrl\=2πr.r3\=23πr2
Diện tích toàn phần hình trụ là:
Stp\=Sxq+2Sđáy\=23πr2+2πr2\=2[3+1]πr2
- Thể tích khối trụ là:
V\=πr2h\=πr2.r3\=3πr3
- Ta có OA=O'B=r
Gọi AA' là đường sinh của hình trụ, ta có O'A'=r và AA'=r3
Góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ chính là góc BAA'^\=30°
Vì OO' song song với mặt phẳng [ABA'] nên khoảng cách giữa OO' và AB bằng khoảng cách giữ OO'
và mặt phẳng [ABA'] Gọi H là trung điểm của đoạn BA' ta có O'H chính là khoảng cách cần tìm
[vì O'H⊥[AA'B]]. Tam giác BA'A vuông tại A' nên ta có:
BA'\=AA'tan30°\=r3.13\=r
Vậy ∆BA'O' là tam giác đều cạnh r nên O'H\=r32