Câu hỏi:
Cho mặt phẳng [P]: x + y – 2z + 5 = 0, đường thẳng d: \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 2}}{1}\] và điểm A[1; -1; 2]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] cắt d và [P] lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án bên dưới
Đáp án đúng: D
Gọi \[M\left[ { – 1 + 2t;t;2 + t} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2 – {x_M}\\{y_N} = – 2 – {y_M}\\{z_N} = 4 – {z_M}\end{array} \right. \Rightarrow N\left[ {3 – 2t; – 2 – t;2 – t} \right]\]
Cho \[N \in \left[ P \right]\] suy ra \[3 – 2t – 2 – t – 4 + 2t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left[ {3;2;4} \right].\]
Khi đó: \[\overrightarrow u_{{\Delta}} = \left[ {2;3;2} \right].\]
Với Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng.
A. Phương pháp giải
- Tìm giao điểm A = d1 ∩ [P]; B = d2 ∩ [P]
- d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P]: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
- Giao điểm A của d1 và [P] có tọa độ [1 – t; t; 4t]
Thay vào phương trình mặt phẳng [P] có: t + 2. 4t = 0 ⇔ t = 0 => A [1; 0; 0]
- Giao điểm B của d2 và [P] có tọa độ [ 2 – t’; 4 + 2t’; 4]
Thay vào phương trình mặt phẳng [P] có: [4 + 2t’] + 2.4 = 0 ⇔ t = - 6 => B [8; -8; 4]
- Ta có:
Vậy phương trình của d là :
Chọn B.
Ví dụ 2: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P]: x – y – 2z + 3 = 0 và cắt hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
- Giao điểm A của d1 và [P] có tọa độ [2t-1;-t+1;t+1]
Thay tọa độ A vào phương trình [P] có:
[2t-1]-[ -t+1]-2[t+1]+3 = 0 ⇔ 2t- 1 + t – 1- 2t- 2+ 3= 0
⇔ t- 1= 0 nên t=1 => A [1; 0; 2]
- Giao điểm B của d2 và [P] có tọa độ [t+1;t+2;2t-1]
Thay tọa độ điểm B vào phương trình [P] Có: [t+1]-[t+2]-2[2t-1]+3 = 0 ⇔-4t+4=0 nên t=1 => B [2; 3; 1]
-Ta có
Vậy phương trình của d là :
Chọn A
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A. 8
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Gọi A là giao điểm của d1 và[ P]
Tọa độ A[ 2- t; 1+ 3t; 1+ 2t]. Thay tọa độ điểm A vào phương trình [P] ta được: 2- t + 2[ 1+ 3t] – 3[ 1+ 2t] = 0 ⇔ 2- t + 2+ 6t – 3 – 6t= 0 ⇔ - t + 1= 0 ⇔ t= 1 nên A[ 1; 4; 3]
+ Gọi B là giao điểm của d2 và[ P]
Tọa độ B[ 1-3t; - 2+ t; - 1- t]. Thay tọa độ điểm B vào phương trình [P] ta được:
1- 3t + 2[ - 2+ t] – 3[ - 1- t] - 2 = 0
⇔ 1- 3t – 4 + 2t + 3+ 3t – 2= 0
⇔ 2t – 2= 0 ⇔ t= 1 nên B [ -2; - 1; -2]
=>
Chọn D.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi A; B lần lượt là giao điểm của Δ với d1; d2
Do Δ⊂[P]⇒A,B cũng chính là giao điểm của [P] với
Khi đó :
Suy ra phương trình
Chọn A.
Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.[9;-8; -7]
B. [ 9; 1; 4]
C. [ 6; 9; -2]
D. [-2; 1; -2]
Hướng dẫn giải
+ Gọi A là giao điểm của d1 và[ P]
Tọa độ A[ 2t; 3; 1- t]. Thay tọa độ điểm A vào phương trình [P] ta được: 2t + 2.3 – [ 1- t] + 1= 0 ⇔ 3t + 6= 0 ⇔ t= - 2 nên A[ - 4; 3; 3]
+ Gọi B là giao điểm của d2 và[ P]
Tọa độ B[ 1- t; -2+ 2t; - t]. Thay tọa độ điểm B vào phương trình [P] ta được:
1- t + 2[ - 2+ 2t] + t + 1= 0
⇔ 4t - 2= 0 ⇔ t= 1/2
=>
+ Đường thẳng d nhận vecto
Chọn A.
Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm M[ 1; 2; 1]; N[ 0;1; 2] và đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Phương trình đường thẳng MN:
Đường thẳng MN đi qua M[ 1; 2; 1] và có vecto chỉ phương
+ Gọi A là giao điểm của d và[ P]
Tọa độ A[- 1+ 2t; - 2t; 1+ t]. Thay tọa độ điểm A vào phương trình [P] ta được: - 1+ 2t – 2[ - 2t]+ 1+ t = 0 ⇔ 7t = 0 ⇔ t= 0 nên A[ -1; 0; 1]
+ Gọi B là giao điểm của MN và[ P]
Tọa độ B[ 1-t; 2- t; 1+ t]. Thay tọa độ điểm B vào phương trình [P] ta được:
1- t – 2[ 2- t] + 1+ t= 0 ⇔ 2t – 2= 0
⇔ t= 1 nên B[ 0; 1; 2]
+ Đường thẳng Δ chính là đường thẳng AB: đi qua A[ -1; 0;1] và nhận vecto
Chọn A.
Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho các điểm A[ 1; 1;1]; B[0;1; 2]; C[ 2; 1; 2]. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P]: x+ y- 2z- 3= 0 đồng thời cắt hai đường thẳng AB và OC?
A.
B.
C.
D. Không có phương trình chính tắc
Hướng dẫn giải
+ Phương trình đường thẳng AB: đi qua A[ 1; 1; 1] vecto chỉ phương
=> Phương trình AB:
+ gọi giao điểm của AB và mặt phẳng [P] là M[ 1-t; 1; 1+ t] thay vào phương trình mặt phẳng [P] ta được: 1- t + 1- 2[ 1+ t] – 3= 0 ⇔ 1- t + 1- 2- 2t- 3= 0 ⇔ - 3t – 3= 0 ⇔ t= -1
Suy ra M[ 2; 1; 0].
+ Phương trình đường thẳng OC : đi qua O[0; 0;0] và có vecto chỉ phương
+ gọi giao điểm của OC và [ P] là N[ 2t; t; 2t] thay vào phương trình [P] ta được : 2t + t – 2.2t – 3= 0 ⇔ - t- 3= 0 ⇔ t= - 3 nên N[ -6; -3; - 6]
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua M[ 2; 1; 0] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d là:
Chọn A.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A[ 1; 2; 4]; B[-3; -2; 2] và C[ 1; -2; -1]. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P]: - 2x+ y+z-5= 0 đồng thời cắt đường thẳng AB và CO tại M và N . Tìm tọa độ vecto
A. [ 1; 2; - 3]
B. [ 0; 2; -2]
C. [0; -2; 2]
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Viết phương trình đường thẳng AB: đi qua A[ 1; 2; 4] và nhận vecto
=> Phương trình AB:
Gọi giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng [P] là M[ 1+ 2t; 2+ 2t; 4+t].
Thay tọa độ điểm M vào phương trình [ P] ta được :
- 2[ 1+ 2t] + 2+ 2t+ 4+ t – 5= 0
⇔ - 2- 4t + 2+ 2t +4+ t- 5= 0
⇔ - t – 1= 0 ⇔ t= -1 nên M[ - 1; 0; 3] .
+ Viết phương trình đường thẳng OC: đi qua O[0; 0; 0] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng OC:
Gọi giao điểm của đường thẳng OC và [P] là N[ t; - 2t; - t] thay vào phương trình [P] ta được : - 2t+ [-2t]+ [-t] – 5= 0 ⇔ - 5t – 5= 0 ⇔ t= - 1 nên N[ -1; 2; 1]
=>
Chọn B.