Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Một Hàm Số Lượng Giác, Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Hàm Số Lượng Giác
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản và PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT với một hàm số LƯỢNG GIÁC đặng việt đông file word
Đang xem: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản và PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT với một hàm số LƯỢNG GIÁC đặng việt đông file word 61 324 6
PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI và QUY về bậc HAI với một hàm số LƯỢNG GIÁC đặng việt đông file word 58 196 2
Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực
Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực 26 89 0
Xem thêm: Review Khóa Học Nghiệp Vụ Xuất Nhập Khẩu Đại Học Ngoại Thương Tphcm
Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực
Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực 26 111 0
SKKN vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực
SKKN vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực 26 74 0
Xem thêm: 10 Tỉnh, Thành Có Diện Tích Các Tỉnh Thành Việt Nam, Tỉnh Thành Việt Nam
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG: o asin2 u + bsinu + c = 0[ a 0] Đặt t = sin u ,điều kiện 1 t o acos2 u + bcosu + c = 0[ a 0] Đặt t = cosu ,điều kiện 1 t o atan2 u + btanu + c = 0[ a = 0] Đặt t = tanu , điều kiện cosu o acot2 u + bcotu + c = 0[ a 0] Đặt t = cotu ,điều kiện sinu Câu 1: Giải phương trình lượng giác sau: 1] 2cos2 x 3cosx + = 2] 4sin2 x + 4sin x = 4] tan x + 3] sin2 2x 13sin2x + = [ ] 5] 4cos x 1+ cosx + = [ ] tanx = 6] cot2 x + 4cotx + = 7] cos2x 3sinx = 8] sin2 x cosx + = LỜI GIẢI 1] 2cos x 3cosx + = [1] Đặt cosx = t,t Phương trình [1] trở thành: 2t2 3t + = t = 1 t = So với điều kiện nhận hai nghiệm Với t = cosx = x = k2π,[k ¢ ] π x = + k2π 1 π ,[k ¢ ] Với t = cosx = cosx = cos 2 x = π + k2π π π Kết luận nghiệm phương trình: x = k2π , x = + k2π , x = + k2π 3 ,[k ¢ ] 2] 4sin2 x + 4sin x = [1] Đặt sin x = t,t Phương trình [1] trở t = So với điều kiện nhận t = 2 π π 5π sin x = sin x = + k2π x = + k2π,[ k ¢ ] sinx = 6 π 5π + k2π,[ k ¢ ] Kết luận nghiệm phương trình: x = + k2π,x = 6 3] sin2 2x 13sin2x + = [1] Đặt sin2x = t,t Phương trình [1] trở thành: 4t2 + 4t = t = 13+ 149 13 149 So với điều kiện nhận t= 2 13 149 13 149 , suy : sin2x = t= 2 thành: t2 13t + = t = 13 149 arcsin 13 149 x = + k2π + kπ 2x = arcsin 2 13 149 13 149 π arcsin + k2π 2x = π arcsin x = + kπ 13 149 = sin α , suy sin2x = sin α α x = + kπ 2x = α + k2π ,[ k ¢ ] x = π α + kπ 2x = π α + k2π 2 Hoặc đặt Vậy nghiệm phương trình: 13 149 13 149 arcsin π arcsin 2 x= + kπ ,x = + kπ ,[ k ¢ ] 2 π 4] tan x + tanx = [1] Đặt tan x = t, x + kπ ÷ [ ] Phương trình [1] trở thành: t + [ ] t = t = 1 t = π π Với t = tanx = tanx = tan x = + kπ,[k ¢ ] 4 π π Với t = tanx = tan ÷ x = + kπ ,[k ¢ ] 3 So với điều kiện nhận hai nghiệm π π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ , x = + kπ,[k ¢ ] [ ] 5] 4cos x 1+ cosx + = [1] [ ] Đặt cosx = t,t Phương trình [1] trở thành: 4t 1+ t + = So với điều kiện hai nghiệm đều nhận t= 2 π x = + k2π 1 π ,[ k ¢ ] Với t = cosx = cosx = cos 2 x = π + k2π π x = + k2π 3 π cosx = cosx = cos ,[ k ¢ ] Với t = 2 x = π + k2π t= Vậy nghiệm phương trình: x= π π π π + k2π,x = + k2π x = + k2π,x = + k2π,[ k ¢ ] 3 6 6] cot2 x + 4cotx + = Đặt cotx = t,[ x kπ ] Phương trình [1] trở thành: t2 + 4t + = t = 1 t = 3 π π Với t = 1 cotx = 1 cotx = cot ÷ x = + kπ ,[ k ¢ ] 4 Với t = 3 cotx = 3 cotx = arccot [ 3] x = arccot [ 3] + kπ,[ k ¢ ] π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ , x = arccot [ 3] + kπ,[ k ¢ ] 7] cos2x 3sinx = 1 2sin2 x 3sin x = 2sin2 x + 3sinx + = [1] Đặt sinx = t,t Phương trình [1] trở thành: 2t2 + 3t + = t = 1 t = So với điều kiện hai nghiệm đều nhận π Với t = 1 sinx = 1 x = + k2π,[ k ¢ ] π x = + k2π ,[ k ¢ ] 1 π Với t = sinx = sinx = sin ÷ 2 6 x = 7π + k2π, k ¢ [ ] π Vậy nghiệm phương trình: x = + k2π , π 7π x = + k2π,x = + k2π,[ k ¢ ] 6 8] sin2 x cosx + = [1] [1] 1 cos2 x cosx + = cos2 x + cosx = [1] Đặt cosx = t,t Phương trình [1] trở thành: t2 + t = t = 1 t = 2 So với điều kiện nhận t = Với t = cosx = x = k2π Vậy nghiệm phương trình: x = k2π , [k ¢ ] Câu 2: Giải phương trình lượng giác sau: = cotx + 1] tan x cotx = 2] sin2 x 2π π x 3] 5cosx 2sin + = 4] cos 2x + ÷+ 3cos x + ÷+ = 3 5] 23sin x sin3x = 24 6] sin x + 3sin x + 2sin x = π 2 π 7] cos + x ÷+ 4cos x ÷ = 3cotx = 9] sin2 x 4cos2 [ 6x 2] + 16cos2 [ 1 3x] = 13 11] cos2x 3cosx = 4cos2 x 8] cos4x + 12sin xcosx = 10] 12] π π π 2sin2 2x + ÷ 6sin x + ÷cos x + ÷+ = 6 13] cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2 x + LỜI GIẢI π cosx x + kπ ,[ k ¢ ] [1] Điều kiện 2 sinx x kπ [ 1] tan x tan x = 2tan2 x 3tanx = [ 1] 1] tan x cotx = Đặt tan x = t Phương trình [1] trở thành: 2t2 3t = t = 2 t = Với t = tanx = x = arctan2 + kπ,[ k ¢ ] Với t = 1 1 tan x = x = arctan ÷+ kπ ,[ k ¢ ] 2 2 Vậy nghiệm phương trình là: x = arctan + kπ, 1 x = arctan ÷+ kπ ,[ k ¢ ] 2 = cotx + [1] Điều kiện sinx x kπ 2] sin2 x [ 1] 1+ cot2 x = cotx + cot2 x cotx = [ 1] Đặt cotx = t Phương trình [1] trở thành: t2 t = t = 1 t = π Với t = 1 cotx = 1 x = + kπ ,[ k ¢ ] Với t = cotx = x = arccot2 + kπ,[ k ¢ ] π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ , x = arccot2 + kπ,[ k ¢ ] x x x 3] 5cosx 2sin + = 5 1 2sin ÷ 2sin + = 2 x x x + 2sin 12 = [ 1] Đặt t = sin ,t Phương trình [1] trở 2 thành: 5t2 + t = t = 1 t = [loại] x x π Với t = sin = = + k2π x = π + k4π [ k ¢ ] 2 Vậy nghiệm phương trình: x = π + k4π [ k ¢ ] 10sin2 2π π 4] cos 2x + ÷+ 3cos x + ÷+ = 3 2π π Các bạn để ý: 2x + ÷ = 2 x + ÷ , nên ta nghĩ đến công thức 3 3 nhân đôi để đưa phương trình bậc theo cos, ta thực sau: π π π π 2cos2 x + ÷ 1+ 3cos x + ÷+ = 2cos2 x + ÷+ 3cos x + ÷+ = 3 3 3 3 π π cos x + ÷ = 1 cos x + ÷ = , hai nghiệm đều nhận 3 3 π π 2π cos x + ÷ = 1 x + = π + k2π x = + k2π ,[ k ¢ ] 3 π 2π π x + = + k2π x = + k2π π cos x + ữ = cos x + ÷ = cos 3 3 x + π = 2π + k2π x = π + k2π 3 2π π + k2π,x = + k2π,x = π + k2π ,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = 3 [ ] 5] 23sin x sin3x = 24 23sinx 3sinx 4sin x = 24 4sin x + 20sin x 24 = [1] Đặt sin x = t,t Phương trình [1] trở π thành: 4t3 + 20t 24 = t = sin x = x = + k2π,[ k ¢ ] π Vậy nghiệm phương trình: x = + k2π,[ k ¢ ] 6] sin x + 3sin x + 2sin x = [ 1] Đặt sinx = t,t Phương trình [1] trở thành: t3 + 3t2 + 2t = t = 1 t = 2 t = , so với điều kiện nhận t = 1 t = π Với t = 1 sinx = 1 x = + k2π,[ k ¢ ] Với t = sinx = x = kπ,[ k ¢ ] π Vậy nghiệm phương trình: x = + k2π, x = kπ,[ k ¢ ] π 2 π 7] cos + x ÷+ 4cos x ÷ = [ 1] 3 6 π π π π π Ta có + x ÷+ x ÷ = cos x ÷ = sin + x ÷ 3 6 6 3 π π + x ÷+ 4sin + x ÷ = [ 1] 3 π Đặt sin + x ÷ = t,t Phương trình [1] trở thành: t2 4t + = 3 π t = 3 t = , so với điều kiện nhận t = , suy sin + x ÷ = 3 [ 1] 1 sin π π π + x = + k2π x = + k2π,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = π + k2π ,[ k ¢ ] 8] cos4x + 12sin xcosx = 1 2sin2 2x + 6sin2x = sin2 2x 3sin2x + = sin2x = 1 sin 2x = [loại] π π Với sin2x = 2x = + k2π x = + kπ,[ k ¢ ] π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,[ k ¢ ] 3cotx = Điều kiện sinx x kπ,k ¢ 9] sin2 x 1+ cot2 x 3cotx = 3cot2 x 3cotx = [ ] cotx = cotx = Với cotx = π π cotx = cot ÷ x = + kπ ,[ k ¢ ] 3 π π Với cotx = cotx = cot x = + kπ,[ k ¢ ] 6 π π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ , x = + kπ,[ k ¢ ] 2 10] 4cos [ 6x 2] + 16cos [ 1 3x] = 13 [ 1] Đặt t = 3x [ 1] 4cos 2t + 16cos2 [ t ] = 13 4cos2 2t + 16cos2 t = 13 1+ cos2t = 13 4cos2 2t + 8cos2t = cos2t = cos2t = [loại] 2 4cos2 2t + 16 2t = π Với cos2t = cos2t = cos 2t = π + k2π t = π t = + k2π π + kπ π + kπ π 3x = + kπ x = 3x = π + kπ x = π kπ + + 18 , k ¢ [ ] π kπ + 18 π kπ π kπ ,x = + ,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = + + 18 3 18 x 1+ cosx 11] cos2x 3cosx = 4cos2 2cos2 x 3cosx = 2 2cos2 x 5cosx = cosx = cosx = [loại] 2π 2π cosx = cosx = cos x= ± + k2π,[ k ¢ ] 3 2π Vậy nghiệm phương trình: x = ± + k2π,[ k ¢ ] π π π 12] 2sin 2x + ÷ 6sin x + ÷cos x + ÷+ = [ 1] 3 6 6 [ [ 1] sin ] π π π π 2x + ÷ 3sin 2x + ÷+ = sin 2x + ÷ = 0 sin 2x + ÷ = [loại] 3 3 3 3 π π π kπ ,[ k  ] Vi sin 2x + ữ = 2x + = kπ x = + 3 π kπ ,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = + 2 13] cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos x + [ 1] Biến đổi tích về tổng được: 1 cos4x + cos6x] = [ cos2x + cos6x] + 3cos2 x + cos4x = cos2x + 6cos2 x + [ 2 Sau sử dụng cơng thức nhân đơi hạ bậc: 2cos2 2x = cos2x + 3[ 1+ cos2x] + 2cos2 2x 4cos2x = [ 1] Đặt cos2x = t,t Phương trình [1] trở thành: 2t2 4t = t = 1 t = So với điều kiện nhận t = 1 , suy ra: π cos2x = 1 2x = π + k2π x = + kπ ,[ k ¢ ] π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,[ k ¢ ] Câu 3: Giải phương trình lượng giác sau: 1] 4 sin x + ÷+ 4 sinx + ÷ = sinx sin x cosx ÷ = 2] 2 cos x + ÷+ 9 cos x cosx [ ] 2 3] tan x + cot x + 4[ tanx + cotx] + = 4] tan x + tan x + tan3 x + cotx + cot2 x + cot3 x = LỜI GIẢI 1] 4 sin x + ÷+ 4 sinx + ÷ = [ 1] sinx sin2 x 2 Đặt t = sin x + t2 = sinx + = t2 ÷ sin x + sin x sin x sin x + 4t = 4t2 + 4t 15 = t = t = 2 5 Với t = : sinx + = [ 2] , đặt u = sinx,u / {0} sinx 2 [ 2] 2u2 + 5u + = u = u = 2 [loại] π x = + k2π 1 π u = sin x = sin x = sin ÷ [ k ¢] 2 6 x = 7π + k2π 3 Với t = sin x + = [ 3] , đặt v = sinx,v / {0} sin x 2 [ 1] 4[ t ] [ 3] 2v 3v + = [phương trình vơ nghiệm] π 7π + k2π ,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = + k2π,x = 6 cosx ÷ = [ 1] 2] 2 cos x + ÷+ 9 cosx cos x Đặt t = cosx t2 = cosx ÷ cos2 x + = t2 + cosx cos2 x cosx [ 1] 2[ t ] + + 9t = 2t2 + 9t + = t = 1 t = Với t = 1 2 cosx = 1 cos2 x cosx = cosx = 1 cosx = [loại] cosx cosx = 1 x = π + k2π ,[ k ¢ ] Với t = 7 cosx = 2cos2 x 7cosx = cosx = hoặc cosx 2 cosx = [loại] cosx = 2π x= ± + k2π ,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = π + k2π, x = ± [ ] 2 3] tan x + cot x + 4[ tanx + cotx] + = [ 1] 2π + k2π ,[ k ¢ ] Đặt t = tanx + cotx t2 = [ tan x + cotx] tan2 x + cot2 x = t2 2 [ 1] 3[ t ] + 4t + = 3t2 + 4t = t = 2 t = Với t = 2 tanx + cotx = 2 tanx + = 2 tan2 x + 2tanx + = tanx π π tanx = 1 tan x = tan ÷ x = + kπ ,[ k ¢ ] 4 2 Với t = tan x + cotx = 3 tanx + = 3tan2 x + 2tan x + = [phương trình vô nghiệm] tan x π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ ,[ k ¢ ] 3 tan x + tan x + tan x + cotx + cot x + cot x = [ 1] 4] Đặt t = tanx + cotx Có: tan2 x + cot2 x = [ tan x + cotx] 2tan xcotx = t2 Có: tan3 x + cot3 x = [ tanx + cotx] 3tanx.cotx [ tan x + cotx] = t3 3t [ 1] [ tanx + cotx] + [ tan ] [ ] x + cot2 x + tan3 x + cot3 x = t + t2 + t3 3t = t3 + t2 2t = t = = tan2 x 2tanx + = Với t = tanx + cotx = tan x + tanx π π tanx = tanx = tan x = + kπ,[ k ¢ ] 4 π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,[ k ¢ ] Câu 4: Giải phương trình lượng giác sau: 15 1] sin4 + cos4 x 2sin2x + sin2 2x = 2] cos6 2x + sin6 2x = cos4x 3] sin4 x + cos4 x = 4] π 3π sin4 x + cos4 x + cos x ÷sin x ÷ = 5] sin4 x + cos2x + 4sin6 x = 4 4 6] cos8x + sin3 xcosx cos3 xsin x = LỜI GIẢI 1] sin + cos x 2sin2x + sin2 2x = [ 1] 1 sin 2x ÷ 2sin 2x + sin2 2x = sin2 2x 2sin2x + = [ 1] 4 4 Đặt sin2x = t,t Phương trình [1] trở thành: t2 2t + = So với điều kiện nhận t = 4+ t = t = 4 sin2x = [ ] arcsin x = 2x = arcsin + k2π + kπ ,[ k ¢ ] π arcsin 2x = π arcsin + k2π + kπ ,[ k ¢ ] x = [ [ ] ] [ ] Vậy nghiệm phương trình: x= [ ] + kπ,x = π arcsin [ 4 3] + kπ,[ k ¢ ] arcsin 2 15 2] cos6 2x + sin6 2x = cos4x [ 1] 15 1 cos4x 15 [ 1] 1 sin2 2x = cos4x 1 × = cos4x 3[ 1 cos4x] = 15cos4x cos4x = 3 kπ 4x = ± arccos + k2π x = ± arccos + [ k ¢] 4 kπ Vậy nghiệm phương trình: x = ± arccos + [ k ¢ ] 4 2 5 3] sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x = 3 [ ] [ ] 1 cos2x 1+ cos2x ÷ + ÷ = [ 1] Đặt cos2x = t,t 2 3 2 1 2t + t 1+ 2t + t [ 1] + × = 8t2 + 4t = t = 1 t = π Với t = 1 cos2x = 1 2x = π + k2π x = + kπ ,[ k ¢ ] π π 2x = + k2π x = + kπ 1 ,[ k ¢ ] Với t = cos2x = 2 2x = π + k2π x = π + kπ π π π + kπ , x = + kπ ,x = + kπ ,[ k ¢ ] 6 π π 4 4] sin x + cos x + cos x ÷sin x ÷ = 4 4 Vậy nghiệm phương trình: x = 1 π 1 1 sin2 2x ÷+ sin ÷+ sin [ 2x π ] = 1 sin2 2x + [ 1 sin2x] = 2 2 2 sin2 2x + sin2x = sin2x = 0 sin2x = 1 kπ ,[ k ¢ ] Với sin2x = 2x = kπ x = π π Với sin2x = 1 2x = + k2π x = + kπ ,[ k ¢ ] kπ π Vậy nghiệm phương trình: x = , x = + kπ ,[ k ¢ ] [ ] [ ] 5] sin4 x + cos2x + 4sin6 x = sin2 x + cos2x + sin2 x = 1 cos2x 1 cos2x ÷ + cos2x + 4 ÷ = [1] Đặt cos2x = t,t 2 1 t 1 t Phương trình [1] trở thành: ÷ + t + 4 ÷ =0 2t3 7t2 + 4t = t = [loại] Kết luận phương trình vơ nghiệm 3 6] cos8x + sin xcosx cos xsin x = [ 1] x cos2 x = cos8x sin2xcos2x = 1 2 1 2sin 4x sin4x = 2sin 4x + sin 4x = sin 4x = sin 4x = 4 kπ ,[ k ¢ ] Với sin4x = 4x = kπ x = [ 1] cos8x + sinxcosx [ sin ] Với 1 4x = arcsin ÷+ k2π x = 8 sin4x = 1 4x = π arcsin ÷+ k2π x = 8 Vậy nghiệm phương trình: x = x= kπ arcsin ÷+ 8 π kπ arcsin ÷+ 4 8 kπ kπ , , x = arcsin ÷+ 4 8 π kπ arcsin ÷+ ,[ k ¢ ] 4 8 Câu 5: Giải phương trình lượng giác sau: ,[ k ¢ ] [ ] π 1] sin2x + 3cos2x = 2cos 2x ÷ 6 x 2] cotx + 1+ tanxtan ÷sinx = 2 4sin2x 3] cotx tanx = sin 2x π π 4] [ 2sinx 1] = 4[ sinx 1] cos 2x + ÷ sin 2x + ÷ 4 4 cos2x + sin2 x sin2x [ ĐH khối A 2003] 5] cotx = 1+ tanx 2 6] 5sin x = 3[ 1 sin x] tan x [ĐH khối B 2004] 7] cos2 3xcos2x cos2 x = [ĐH khối A 2005] π π 4 8] sin x + cos x + cos x ÷sin 3x ÷ =0 [ĐH khối D 2005] 4 4 [ 1+ sinx + cos2x] sin x + π4 ÷ = cosx [ĐH khối A 2010] sin4 x + cos4 x 1 = cot2x 10] [1]5sin2x 8sin2x 11] cotx tanx + 4sin 2x = sin2x 9] 1+ tanx 12] 3cos4x 8cos6 x + 2cos2 x + = [1]2cos4x 13] cotx = tanx +sin 2x LỜI GIẢI π 1] sin2x + 3cos2x = 2cos 2x ÷ [ 1] 6 [ ] 1 π [ 1] 4 sin2x + cos2x÷÷ = 2cos 2x ÷ π π π 4 cos2xcos + sin 2xsin ÷ = 2cos 2x ÷ 6 6 π π π π 2cos2 2x ÷ cos 2x ÷ = cos 2x ÷ = 0 cos 2x ÷ = 6 6 6 6 π π π π kπ ,[ k ¢ ] Với cos 2x ÷ = 2x = + kπ x = + 6 π π π 2x = + k2π x = + kπ π ,[ k ¢ ] Với cos 2x ÷ = 6 2x π = π + k2π x = π + kπ 12 π kπ π π + , x = + kπ,x = + kπ,[ k ¢ ] 12 sinx x 2] cotx + 1+ tanxtan ÷sinx = [ 1] Điều kiện cosx 2 x cos Vậy nghiệm phương trình: x = x Ta có: 1+ tan xtan = 1+ cosx x x x cos x x cosxcos + sin xsin 2÷ = 2= 2= x x x cosx cosxcos cosxcos cosxcos 2 sinxsin sinx [ 1] sinx + cosx = cos 2x = sin 2x = 2x = x + sin2 x = 4sinxcosx 2sin 2x = π + k2π 5π + k2π π x = 12 + kπ ,[ k ¢ ] x = 5π + kπ 12 π 5π + kπ ,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,x = 12 12 kπ 4sin 2x [ 1] Điều kiện sin2x x 3] cotx tanx = sin 2x cosx sin x cos2 x sin2 x [ 1] sinx cosx = sin 2x 4sin2x sinxcosx = sin2x 4sin 2x 2cos2x = 4sin 2x 2cos2x = 4sin2 2x sin2x sin 2x [ cos2x = 1 1 cos2 2x ] 2cos2 2x cos2x = Với cos2x = 2x = k2π x = kπ,[ k ¢ ] [loại] cos2x = 1 cos2x = 2π π 2x = + k2π x = + kπ 2π ,[ k ¢ ] Với cos2x = cos2x = cos 2x = 2π + k2π x = π + kπ 3 Vậy nghiệm phương trình: x = π π + kπ ,x = + kπ ,[ k ¢ ] 3 π π [ 2sinx 1] = 4[ sinx 1] cos 2x + ÷ sin 2x + ÷ [ 1] 4 4 π π [ 2sin x 1] = 4[ sin x 1] cos 2x + ÷+ sin 2x + ÷ 4 π π [ 2sin x 1] = 4[ sin x 1] 2cos 2x + ÷ 4 4] [ 2sin x 1] = 4[ sin x 1] 2cos2x [ [ 2sin x 1] = 4[ sin x 1] 1 2sin2 x [ ] ] 2sin2 x + 2 sinx = sin x = 1 sinx = [loại] π Với sinx = x = + k2π,[ k ¢ ] π + k2π ,[ k ¢ ] cosx cos2x cotx = + sin x sin2x 5] [ ] Điều kiện sinx 1+ tan x 1+ tan x Với Vậy nghiệm phương trình: x = cosx cos2 x sin2 x 1= + sin2 x sinxcosx sin x sin x 1+ cosx cosx [ cosx sinx] [ cosx + sinx] + sinx sin x cosx cosx sinx = [ ] sin x cosx + sin x cosx sinx = cosx [ cosx sin x] sinx [ cosx sinx] sin x [ cosx sinx] cosx + sinx ÷ = sin x cosx + sinx = sin x π π π π Với cosx sin x = 2cos x + ÷ = x + = + kπ x = + kπ ,[ k ¢ ] 4 1 1 cos2x cosx + sin x = 1 sin xcosx + sin2 x = 1 sin 2x + =0 Với sinx 2 cosx sinx = 0 π π sin 2x + cos2x = 2sin 2x + ÷ = sin 2x + ÷ = [vô nghiệm] 4 π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,[ k ¢ ] 5sin x = sin x tan x [ ] [ ] Điều kiện: cosx 6] sin2 x cos2 x sin2 x 5sinx = 3[ 1 sinx] 1 sin2 x sin2 x 5sinx = 3[ 1 sinx] [ 1 sinx] [ 1+ sin x] 5sinx = 3[ 1 sinx] 5sinx = sin2 x 1+ sinx hoặc sinx = 2 [ vô nghiệm] π x = + k2π π ,[ k ¢ ] , so với điều kiện thỏa Với sinx = sinx = sin x = 5π + k2π π 5π + k2π,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = + k2π,x = 6 2sin2 x + 3sin x = sinx = 2 7] cos 3xcos2x cos x = [ 1] [ĐH khối A 2005] 1+ cos6x 1+ cos2x cos2x = [ 1+ cos6x] cos2x [ 1+ cos2x] = 2 cos6xcos2x = [ cos4x + cos8x] = cos4x + cos8x = 2cos 4x + cos4x = cos4x = 1 cos4x = [loại] kπ ,[ k ¢ ] Với cos4x = 4x = k2π x = kπ ,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = π π 4 8] sin x + cos x + cos x ÷sin 3x ÷ =0 [ 1] [ĐH khối D 2005] 4 4 [ 1] 1 π 2x + sin 2x + sin 4x ÷ = 2 1 1 sin2 2x + [ sin2x cos4x] = 2 [ 1] 1 sin [ ] 2 sin2 2x + sin 2x cos4x = sin 2x + sin2x 1 2sin 2x = sin 2x = hoặc sin2x = 2 [loại] sin 2x + sin2x = π π kπ ,[ k ¢ ] Với sin2x = 2x = + kπ x = + π kπ ,[ k ¢ ] Vậy nghiệm phương trình: x = + 2 [ 1+ sinx + cos2x] sin x + π4 ÷ = cosx [ĐH khối A 2010] π x + kπ cosx cosx ,[ k ¢ ] Điều kiện 1+ tan x tanx 1 x π + kπ π [ 1+ sin x + cos2x] sin x + ÷ = cosx sinx 1+ cosx cosx [ 1+ sin x + cos2x] sinx + cosx = cosx sin x + cosx 2 1+ sin x + cos2x = 2sin2 x + sin x + = sin x = sinx = [loại] π π 7π + k2π ,[ k ¢ ] Với sinx = sinx = sin ÷ x = + k2π x = 6 6 9] 1+ tanx So với điều kiện nghiệm phương trình π 7π x = + k2π x = + k2π ,[ k ¢ ] 6 10] sin4 x + cos4 x 1 = cot2x [1]5sin2x 8sin2x LỜI GIẢI Điều kiện : sin2x sin4 x + cos4 x cos2x = sin4 x + cos4 x = 20cos2x 5sin 2x sin2x 8sin 2x 8 1 sin2 2x ÷ = 20cos2x 1 cos2 2x = 20cos2x 4cos2 2x 20cos2x + = cos2x = [nhận] hoặc cos2x = [loại] 2 π π 2x = + k2π x = + kπ π ,[ k ¢ ] Với cos2x = cos2x = cos x = π + k2π x = π + kπ π π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,x = + kπ ,[ k ¢ ] 6 11] cotx tanx + 4sin 2x = sin2x LỜI GIẢI [ [ ] ] [1] sin2x Điều kiện : sin2x cosx sinx + 4sin 2x = [1] sin x cosx sin2x cotx tanx + 4sin 2x = cos2 x sin2 x + 4sin 2x = sinxcosx sin2x [ ] 2cos2x + 1 cos2 2x = 2cos2x + 4sin2 2x = x = kπ cos2x = 2cos2 x cos2x = ,[ k ¢ ] x = ± π + kπ cos2x = π Vậy nghiệm phương trình: x = kπ,x = ± + kπ,[ k ¢ ] 12] 3cos4x 8cos x + 2cos x + = [1]LỜI GIẢI [ 1] 3cos4x 8[ cos x] + 2cos2 x + = 1+ cos2x 2cos 2x 8 ÷ + [ 1+ cos2x] + = t = cos2x,t < 1;1> Đặt [ [ ] ] 2t2 [ 1+ t ] + t + = t3 3t2 + 2t = t = t = 1 t = [loại] π π kπ + kπ x = + ,[ k ¢ ] Với t = cos2x = 2x = k2π x = kπ,[ k ¢ ] Với t = cos2x = 2x = Kết luận nghiệm phương trình x = 13] cotx = tanx + π kπ + , x = kπ,[ k ¢ ] 2cos4xsin 2x LỜI GIẢI cotx = tanx + 2cos4x sin 2x [1] Điều kiện : sin2x 2x kπ x 2cos4x sin 2x cosx sinx cos4x = sin x cosx sinxcosx cos2x = cos4x kπ ,[ k ¢ ] [1] cotx tanx = cos2x = cos2x = cos2 x sin2 x = cos4x 2cos2 2x cos2x = Với cos2x = π x = ± + kπ;[ k ¢ ] Với cos2x = 2x = k2π x = kπ,[ k ¢ ] π So với điều kiện nghiệm phương trình x = ± + kπ;[ k ¢ ] với điều kiện nhận t = Với t = cosx = x = k2π Vậy nghiệm phương trình: x = k2π , [k ¢ ] Câu 2: Giải phương trình lượng giác sau: = cotx + 1] tan x cotx = 2] sin2 x 2π π x 3] π cos2x = 1 2x = π + k2π x = + kπ ,[ k ¢ ] π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,[ k ¢ ] Câu 3: Giải phương trình lượng giác sau: 1] 4 sin x + ÷+ 4 sinx + ÷ = sinx sin x π π tanx = tanx = tan x = + kπ,[ k ¢ ] 4 π Vậy nghiệm phương trình: x = + kπ,[ k ¢ ] Câu 4: Giải phương trình lượng giác sau: 15 1] sin4 + cos4 x 2sin2x + sin2 2x = 2] cos6 2x +