Câu hỏi:
Cho hàm số f[x] có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {0;\frac{{9\pi }}{2}} \right]\] của phương trình \[f\left[ {2\sin x + 1} \right] = 1\] là
Lời giải tham khảo:
chen-hinh-htn Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đáp án đúng: A
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
\[f\left[ x \right] = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = a \in \left[ {1;3} \right]\\ x = b \in \left[ {3; + \infty } \right]
\end{array} \right.\]
.Như vậy
\[f\left[ {2\sin x + 1} \right] = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\sin x + 1 = – 1\\ 2\sin x + 1 = a \in \left[ {1;3} \right]{\rm{ }}\\ 2\sin x + 1 = b \in \left[ {3; + \infty } \right]{\rm{ }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = – 1\left[ 1 \right]\\ \sin x = \frac{{a – 1}}{2},a \in \left[ {1;3} \right]{\rm{ }}\left[ 2 \right]\\ \sin x = \frac{{b – 1}}{2},b \in \left[ {3; + \infty } \right]{\rm{ }}\left[ 3 \right]
\end{array} \right.\]
.Trên đoạn \[\left[ {0;\frac{{9\pi }}{2}} \right]\] phương trình sin x = -1 có 2 nghiệm \[x = \frac{{3\pi }}{2},x = \frac{{7\pi }}{2}\].
Với \[1 . Do đó \[\sin x = \frac{{a – 1}}{2}\] có 5 nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ {0;\frac{{9\pi }}{2}} \right]\], các nghiệm này đều khác \[\frac{{3\pi }}{2}\] và \[\frac{{7\pi }}{2}\].
Với \[b > 3 \Rightarrow b – 1 > 2 \Leftrightarrow \frac{{b – 1}}{2} > 1\]. Do đó \[\sin x = \frac{{b – 1}}{2}\] vô nghiệm.
Vậy trên đoạn \[\left[ {0;\frac{{9\pi }}{2}} \right]\] phương trình \[f\left[ {2\sin x + 1} \right] = 1\] có 7 nghiệm.
Giải chi tiết:
Xét \[x \in \left[ {0;\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]:\]
Đặt \[t = \sin x\,\,\,\,\left[ {t \in \left[ { - 1;\,\,\,1} \right]} \right]\].
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \[f\left[ t \right] = 1\] có nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} 1\,\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\]
Suy ra \[\left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_2} \in \left[ { - 1;0} \right]\\\sin x = {t_3} \in \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\]
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy,
+] Phương trình \[\sin x = {t_3} \in \left[ {0;1} \right]\] có 3 nghiệm trong đoạn \[\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\]
+] Phương trình \[\sin x = {t_2} \in \left[ { - 1;0} \right]\] có 2 nghiệm trong đoạn \[\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\]
Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm trong đoạn \[\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\]
Chọn C.
Phương pháp giải:
Phương trình \[2f\left[ {\sin x} \right] + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left[ {\sin x} \right] = - \dfrac{3}{2}\] có nghiệm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]\] \[ \Leftrightarrow \] đường thẳng \[y = - \dfrac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ {\sin x} \right]\] tại các điểm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Dựa vào đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.
Giải chi tiết:
Phương trình \[2f\left[ {\sin x} \right] + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left[ {\sin x} \right] = - \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left[ * \right]\] có nghiệm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]\] \[ \Leftrightarrow \] đường thẳng \[y = - \dfrac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ {\sin x} \right]\] tại các điểm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Đặt \[\sin x = t \Rightarrow x \in \left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;\,\,1} \right].\]
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta có: đường thẳng \[y = - \frac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ t \right]\] tại hai điểm phân biệt.
Ta có \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_1} \in \left[ {0;1} \right]\\\sin x = {t_2} \in \left[ { - 1;0} \right]\end{array} \right.\].
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
+] Đường thẳng \[y = {t_1}\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sin x\] tại hai điểm phân biệt trong \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
+] Đường thẳng \[y = {t_2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sin x\] tại bốn điểm phân biệt trong \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Như vậy đường thẳng \[y = - \frac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ {\sin x} \right]\] tại 6 điểm phân biệt trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Chọn B.
Cho hàm số $y = f\left[ x \right]$ có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - \pi ;\;\frac{{5\pi }}{?
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ { - \pi ;\;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\] của phương trình \[f\left[ {\sin x + 1} \right] = 1\] là
A. \[6.\]
B. \[9.\]
C. \[5.\]
D. \[7.\]
Câu hỏi: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {0\,;\,\frac{{7\pi }}{2}} \right]\] của phương trình \[2f\left[ {cosx} \right] + 5 = 0\] là
A. \[7\].
B. \[6\].
C. \[5\].
D. \[8\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \[cosx = t \in \left[ { – 1;1} \right]\].
Ta được phương trình: \[2f\left[ t \right] + 5 = 0 \Leftrightarrow f\left[ t \right] =- \frac{5}{2}\] có hai nghiệm đối nhau là \[t =\pm a\] với \[a \in \left[ {0;1} \right]\].
+ Phương trình \[cosx =- a \in \left[ { – 1;0} \right],x \in \left[ {0;\frac{{7\pi }}{2}} \right]\], phương trình này có 4 nghiệm.
+ Trở về phương trình \[cosx = a \in \left[ {0;1} \right],x \in \left[ {0;\frac{{7\pi }}{2}} \right]\], phương trình này có 3 nghiệm.
Vậy có 7 nghiệm.
=======Thuộc mục: Trắc nghiệm Sự tương giao đồ thị hàm số
Cho hàm số [f[ x ] ] có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn [[ [0;[[5pi ]][2]] ] ] của phương trình [f[ [sin ,x] ] = 1 ] là:
Câu 83599 Vận dụng cao
Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\] của phương trình \[f\left[ {\sin \,x} \right] = 1\] là:
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
Đặt \[\sin x = t\], từ phương trình đã cho suy ra nghiệm \[t\]
Sử dụng đường tròn lượng giác để suy ra số nghiệm \[x\].
Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị --- Xem chi tiết
...