Một thầy giáo có 10 cuốn sách toán đôi một khác nhau

Số cách lấy ra 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh là:

Số cách chọn sao cho không còn sách đại số là:

 cách 

[chọn hết 3 cuốn Đại số có 1 cách, chọn 2 cuốn nữa trong 7 cuốn gồm 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Hình, sau đó xếp cho 5 bạn]

Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích là:

 cách

[chọn hết 4 cuốn giải tích có 1 cách, chọn 1 cuốn trong 6 cuốn gồm 3 cuốn đại số và 3 cuốn hình, xếp 5 cuốn vừa chọn cho 5 bạn]

Số cách chọn sao cho không còn sách Hình là:

 cách

[chọn hết 3 cuốn Hình có 1 cách, chọn thêm 2 cuốn trong 7 cuốn gồm 3 cuốn đại và 4 cuốn Giải tích]

Vậy số cách tặng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$$S-A-B-C=24480$$ cách.

I. Hoán vị

1. Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử [n ≥ 1]. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

2. Số các hoán vị

Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: Pn = n.[n – 1].[n – 2]….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.[n – 1]…2.1 là n! [đọc là n là giai thừa], ta có: Pn = n!.

- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.

Lời giải:

Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.

II. Chỉnh hợp

1. Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử [n ≥ 1].

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.

2. Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử [1 ≤ k ≤ n] .

- Định lí:Ank  =  n[n−1]...[n−k+ ​1]

- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E  ta lập được bao nhiêu vectơ khác  có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.

Lời giải:

Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Số vecto khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:

Do đó, ta có: A52  =  5.4.3=  60 vectơ thỏa mãn đầu bài.

- Chú ý:

a] Với quy ước 0! = 1 ta có: Ank  =  n![n−k]!;  1  ≤ k ≤n.

b] Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Vì vậy: Pn  =​​  Ann.

III. Tổ hợp

1. Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử [n ≥ 1]. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

2. Số các tổ hợp.

Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử [ 0 ≤ k ≤ n].

- Định lí: Cnk  =  n!k![n−k]!.

Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.

Lời giải:

Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 [điểm].

Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là C83  =  56.

3. Tính chất của các số Cnk

a] Tính chất 1.

Cnk  =   Cnn−k;  0 ≤  k  ≤  n.

Ví dụ 6. C83=C85=56.

b] Tính chất 2 [công thức Pa-xcan].

Cn−1k−1  +​ Cn−1k= Cnk;    1 ≤ k