Câu hỏi: tính chất đường trung bình trong tam giác vuông
Lời giải:
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác; trong một tam giác có ba đường trung bình. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.
Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về tính chất của đường trung bình trong tam giác và các bài tập liên quan nhé:
Định nghĩa
- Đường trung bình của tam giác được hiểu là đoạn thẳng nối hai trung điểm bất kỳ của một tam giác, chính vì vậy một tam giác sẽ có ba đường trung bình. Đường trung bình tạo ra các cặp cạnh có tỷ lệ với nhau và song song với cạnh còn lại. Trong trường hợp nếu là tam giác đặc biệt như tam giác đều hay tam giác cân, thì đường trung bình có thể bằng nửa cạnh thứ 3.
Đường trung bình của tam giác
- Định lí 1:Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
- Định lí 2:Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Bài tập
Câu 1:Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1/2 DC, Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM
Lời giải:
Gọi E là trung điểm của DC
Trong ΔBDC, ta có:
M là trung điểm của BC [gt]
E là trung điểm của CD [gt]
Nên ME là đường trung bình của ∆BCD
⇒ME // BD [tính chất đường trung bình tam giác]
Suy ra: DI // ME
AD = 1/2 DC [gt]
DE = 1/2 DC [cách vẽ]
⇒ AD = DE và DI//ME
Nên AI= IM [tính chất đường trung bình của tam giác].
Câu 2:Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng ba điểm E, F, I thắng hàng.
Lời giải:
* Hình thang ABCD có AB // CD
E là trung điểm của AD [gt]
F là trung điểm của BC [gt]
Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD
EF // CD [tỉnh chất đưòng trung bình hình thang] [1]
* Trong ∆ADC ta có:
E là trung điểm của AD [gt]
I là trung điểm của AC [gt]
Nên EI là đường trung bình của ∆ADC
⇒ EI // CD [tính chất đường trung bình tam giác] [2]
Từ [1] và [2] và theo tiên đề ƠClít ta có đường thẳng EF và EI trùng nhau. Vậy E, F, I thẳng hàng
Câu 3:Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung đếm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng: EI//CD, IF//AB
Lời giải:
Trong tam giác ADC, ta có:
E là trung điểm của AD [gt]
I là trung điểm của AC [gt]
Nên EI là đường trung bình của ΔADC
⇒EI // CD [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] và EI = CD / 2
* Trong tam giác ABC, ta có:
I là trung điểm của AC
F là trung điểm của BC
Nên IF là đường trung bình của ΔABC
⇒IF // AB [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] và IF= AB / 2
Câu 4: Cho hình thang ABCD [AB // CD], M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6Cm, CD = l4cm. Tính độ dài MI, IK, KN.
Lời giải:
Hình thang ABCD có AB // CD
M là trung điểm của AD [gt]
N là trung điểm của BC [gt]
Nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD⇒ MN//AB// CD
MN = [AB + CD] / 2 = [6 + 14] / 2 = 10 [cm]
* Trong tam giác ADC, ta có:
M là trung điểm của AD
MK // CD
⇒ AK= KC và MK là đường trung bình của ΔADC.
⇒ MK = 1/2 CD = 1/2 .14= 7 [cm]
Vậy: KN = MN – MK = 10 – 7 = 3 [cm]
* Trong ΔADB, ta có:
M là trung điểm của AD
MI // AB nên DI = IB
⇒ MI là đường trung bình của ΔDAB
⇒ MI = 1/2 AB = 1/2 .6 = 3 [cm]
IK = MK – Ml = 7 – 3 = 4 [cm]
Câu 5:Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE//IK, DE= IK.
Lời giải:
* Trong ∆ABC, ta có:
E là trung điểm của AB [gt]
D là trung điểm của AC [gt]
Nên ED là đường trung bình của ∆ABC
⇒ ED//BC và ED = BC/2 [tính chất đường trung bình của tam giác] [l]
* Trong ∆GBC, ta có:
I là trung điểm của BG [gt]
K là trúng điểm của CG [gt]
Nên IK là đường trung bình của ∆GBC
⇒ IK // BC và IK = BC/2 [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [l] và [2] suy ra: IK // DE, IK = DE.
Câu 6:Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh AE = 1/2 EC.
Lời giải:
Gọi F là trung điểm của EC.
Trong ΔCBE, ta có:
M là trung điểm của CB;
F là trung điểm của CE.
Nên MF là đường trung bình của ΔCBE
⇒ MF// BE [tính chất đường trung bình của tam giác] hay DE// MF
* Trong ∆AMF, ta có: D là trung điểm của AM
DE // MF
Suy ra: AE = EF [tính chất đường trung bình của tam giác]
Mà EF = FC = EC/2 nên AE = 1/2 EC
Câu 7:Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh MI = IK = KN.
Lời giải:
Trong ΔABC ta có: E là trung điểm của cạnh AB
D là trung điểm của cạnh AC
Nên ED là đường trung bình của Δ ABC
⇒ ED // BC và ED = 1/2 BC
[tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE
M là trung điểm cạnh bên BE
N là trung điểm cạnh bên CD
Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE⇒ MN // DE
[tính chất đường trung bình hình thang]
Trong ΔBED, ta có: M là trung điểm BE
MI // DE
Suy ra: MI là đường trung bình của ΔBED
⇒ MI = 1/2 DE - 1/4 BC [tính chất đường trung bình của tam giác]
1. Kiến thức cần nhớ
Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Ví dụ:
+ \[\Delta ABC\] có \[D\] là trung điểm của \[AB\] , \[E\] là trung điểm của \[AC\] nên \[DE\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\] \[ \Rightarrow DE{\rm{//}}BC;\,DE = \dfrac{1}{2}BC.\]
+ Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}DA = DB\\DE{\rm{//}}BC\end{array} \right. \Rightarrow EC = EA\] .
Đường trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Ví dụ:
+ Hình thang \[ABCD\] [hình vẽ] có \[E\] là trung điểm \[AD\] , \[F\] là trung điểm của \[BC\] nên \[EF\] là đường trung bình của hình thang \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF{\rm{//}}DC\\EF = \dfrac{{AB + DC}}{2}\end{array} \right.\]
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính các cạnh và góc.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.
+ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.
+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.