Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian được xác định như thế nào và được tính như thế nào, công thức ra sao ?. Tất cả các vấn đề trên sẽ được giải quyết trong bài viết này.
Bạn đang xem: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong oxyz
ĐỊNH NGHĨA KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 MẶT PHẲNG
Trước hết, chúng ta cần biết rằng trong không gian hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối. Đó là hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng song song và hai mặt phẳng cắt nhau. Trong hai trường hợp mặt phẳng cắt nhau và trùng nhau ta có thể coi khoảng cách giữa chúng bằng 0. Người ta cũng không hỏi khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong trường hợp này. Vì vậy chúng ta chỉ xét khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song mà thôi.
Định nghĩa:
Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa khoảng cách từ một điểm M lên mặt phẳng [P] là khoảng cách giữa M và hình chiếu của nó trên mặt phẳng [P]. Ký hiệu là d[M,[P]].
Xem thêm: Không Đỡ Nổi Với Những Hình Ảnh Hài Hước Và Vui Nhộn, Truyện Tình Liên Quân
Cho hai mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng [P] và [Q] là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng [P] đến mặt phẳng [Q] hoặc ngược lại. Ký hiệu là d[[P],[Q]].
Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng
Ta còn chẳng cần phải tìm hình chiếu. Thật dễ dàng phải không nào :]] . Chúc các em thành công!
Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa khoảng cách từ một điểm M lên mặt phẳng [P] là khoảng cách giữa M và hình chiếu của nó trên mặt phẳng [P]. Ký hiệu là d[M,[P]].
Cho hai mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng [P] và [Q] là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng [P] đến mặt phẳng [Q] hoặc ngược lại. Ký hiệu là d[[P],[Q]]
Ngay bây giờ hãy cùng chúng tôi đi tìm hiểu công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian. Qua đó các bạn sẽ dễ dàng giải được những bài tập liên quan đến tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian
Cho hai mặt phẳng [P], [Q] song song trong không gian. Phương trình của chúng đều có thể đưa về dạng:
[P]: ax+by+cz+d=0 và [Q]: ax+by+cz+d’=0 [a²+b²+c²>0 và d≠d’]
Khi đó giả sử M[α;β;γ] thuộc mặt phẳng [P] ta có: aα+bβ+cγ=-d. Khoảng cách giữa [P] và [Q]chính là khoảng cách giữa M và [Q]. Do đó:
Vậy công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là:
Trên đây chúng tôi đã chia sẻ đến các bạn công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian. Với bài viết này các bạn sẽ có thêm những kiến thức chính xác giúp mình dễ dàng giải được những bài toán khó liên quan để tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng không gian. Thân Ái!
Mặt phẳng \[\left[ P \right]:ax + by + cz + d = 0\] có một VTPT là:
Mặt phẳng \[\left[ P \right]:ax - by - cz - d = 0\] có một VTPT là:
1. Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song với nhau với phương trình lần lượt là [α]: ax + by + cz + d1 = 0 và [β]: ax + by + cz + d2 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này được xác định theo công thức
d[[α]; [β]] = $\frac{{\left| {{d_1} – {d_2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ với d1 ≠ d2.
Chú ý: Nếu d1 = d2. => Hai mặt phẳng trùng nhau => d[[α]; [β]] = 0
2. Bài tập có lời giải chi tiết
Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, có hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là [α]: x – 2y + z + 1 = 0 và [β]: x – 2y + z + 3 = 0. Hãy tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng?
Hướng dẫn giải
Ta thấy hai mặt phẳng này song song với nhau nên khoảng cách giữa 2 mặt phẳng được xác định theo công thức
d[[α]; [β]] = $\frac{{\left| {1 – 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2}} + {1^2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Kết luận: d[[α]; [β]] = $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Bài tập 2. Hai mặt phẳng [α] // [β], cách nhau 3. Biết phương trình của mỗi mặt phẳng là [α]: 2x – 5y – 3z + 1 = 0 và [β]: ax + by + cz + d2 = 0. Hãy xác định các hệ số của phương trình mặt phẳng [β].
Hướng dẫn giải
Vì [α] // [β] => a = 2; b = – 5 và c = – 3
Mặt khác: d[[α]; [β]] = 3 => $\frac{{\left| {1 – {d_1}} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { – 5} \right]}^2} + {{\left[ { – 3} \right]}^2}} }} = 3 \Leftrightarrow {d_1} = 3\sqrt {38} – 1$
Kết luận: Phương trình mặt phẳng [β]: 2x – 5y – 3z + [$3\sqrt {38} – 1$] = 0
Vậy là bài viết đã giúp bạn biết được công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng, cách áp dụng công thức. Hy vọng qua bài viết này bạn sẽ nhớ chính xác công thức, biết cách áp dụng thành thạo. Đừng quên quay lại trang toanhoc.org để xem các bài viết hữu ích tiếp theo về Toán Học!
09:36:4631/10/2020
Thực tế, việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz ở chương trình lớp 12 hầu hết các bạn sẽ thấy "dễ thở" hơn rất nhiều với hình không gian ở lớp 11.
Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại công thức và cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, vận dụng vào việc giải các bài tập mình họa để các em dễ hiểu hơn.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cực hay
Chúng ta cũng nhớ, trong không gian thì giữa 2 mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối, đó là: Hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng cắt nhau và hai mặt phẳng song song. Ở hai trường hợp đầu [trùng nhau, cắt nhau] thì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng 0.
Như vậy việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng cơ bản là dạng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
I. Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
- Cho 2 mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng [P] và mặt phẳng [Q] là khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên mặt phẳng [P] đến mặt phẳng [Q] hoặc ngược lại. ký hiệu: d[[P];[Q]].
- Như vậy, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: Ax + By + Cz + D' = 0 [D ≠ D'] ta dùng công thức sau:
II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
* Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [α]: x + 2y − 3z + 1 = 0 và [β]: x + 2y − 3z − 4 = 0.
* Lời giải:
- Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:
* Bài 2: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song [α]: x + 2y + 3z - 5 = 0 và [β]: 2x + 4y + 6z - 16 = 0
* Lời giải:
- Ta cần đưa các hệ số [trước x,y,z] của mp [β] về giống với mp [α].
- Ta có, mp [β]: 2x + 4y + 6z - 16 = 0 ⇔ x + 2y + 3z - 8 = 0
- Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng [α] và [β] là:
* Bài 3 [Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12]: giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.
a] Chứng minh hai mặt phẳng [AB'D'] và [BC'D] song song.
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
* Lời giải:
- Ta có hình minh họa như sau:
- Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;
⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau:
A[0; 0; 0] ; B[1; 0; 0]; C[1; 1; 0]; D[0; 1; 0].
A'[0; 0; 1]; B'[1; 0; 1]; C'[1; 1; 1]; D'[0; 1; 1].
a] Chứng minh hai mặt phẳng [AB'D'] và [BC'D] song song.
- Ta có:
⇒ Vectơ pháp tuyến của mp [AB'D'] là:
- Tương tự, có:
⇒ [AB'D'] // [BC'D].
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
- Mặt phẳng [BC'D] có VTPT
1.[x - 1] + 1.[y – 0] - 1.[ z - 0]= 0 ⇔ x + y - z - 1 = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB'D'] và [BC'D] chính là khoảng cách từ A đến [BC'D] và bằng:
* Hoặc có thể viết phương trình mặt phẳng [AB'D'] rồi tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này như sau:
- Mặt phẳng [AB'D'] có VTPT
[-1].[x - 0] - 1.[y – 0] + 1.[ z - 0]= 0 ⇔ x + y - z = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB'D'] và [BC'D] là:
Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz. Để có cái nhìn tổng quát các em cũng có thể tham khảo bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian.
Như vậy, qua bài viết về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz với phương pháp tọa độ ở trên, các em thấy việc tính toán này là rất "dễ chịu" phải không nào?
Nếu bài toán nói tính khoảng cách của 2 mặt phẳng, các em chỉ cần kiểm tra vị trí tương đối của 2 mặt phẳng này, nếu chúng song song thì vận dụng ngay công thức ta có ở trên, còn nếu cắt nhau hoặc trùng nhau thì kết luận ngày khoảng cách này bằng 0, chúc các em học tốt.