Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là gì? Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng như nào? Đây là chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học trung học cơ sở. Trong phạm vi bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu chi tiết nhé!
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng
Cho điểm M bất kỳ và 2 đường thẳng chéo nhau d1, d2
d1 đi qua A có 1 VTCP \[\vec{u_{1}}\]
d2 đi qua B có 1 VTCP \[\vec{u_{2}}\]
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d1
\[d[M,d_{1}]=\frac{\left | [\vec{AM},\vec{d_{1}}] \right |}{d_{1}}\]
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng \[d_{1}\] \[d_{2}\]
\[d[d_{1},d_{2}]=\frac{\left | [d_{1},d_{2}]\vec{AB} \right |}{\left | [\vec{d_{1}},d_{2}] \right |}\]
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz
Cách tính 1
\[\Delta_{1}\] đi qua\[M_{1}\] có 1 VTCP \[\vec{u_{1}}\]
\[\Delta_{2}\] đi qua \[M_{2}\] có 1 VTCP \[\vec{u_{2}}\]
\[d[\Delta_{1};\Delta_{2}]=\frac{\left |
Công thức: [\vec{u_{1}};\vec{u_{2}}]\vec{M_{1}M_{2}}\right |}{[\vec{u_{1}};\vec{u_{2}}]}\]
Cách tính 2
AB là đoạn vuông góc chung \[\Delta_{1}\] , \[\Delta_{2}\]
\[A\epsilon\Delta_{1}, BA\epsilon\Delta_{2}\]
\[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \vec{AB} .\vec{u_{1}}& = & 0\\ \vec{AB} .\vec{u_{2}}& = & 0 \end{matrix}\right.\]
Khoảng cách \[d[\Delta_{1};\Delta_{2}]=AB\]
Ví dụ: Cho
\[[d_{1}]\left\{\begin{matrix} x & = & 1+2t\\ y& = & 2+t\\ z& = & -3+3t \end{matrix}\right.\]
\[[d_{2}]\left\{\begin{matrix} x & = & 2+u\\ y& = & -3+2t\\ z& = & 1+3u \end{matrix}\right.\]
Tính \[d[d_{1};d_{2}]\]
Cách giải:
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 được tính như sau
Ta có: \[d[d_{1};d_{2}]=\frac{\left | [\vec{u_{1}};\vec{u_{2}}.\vec{M_{1}M_{2}}] \right |}{[\vec{u_{1}};\vec{u_{2}}]}=\frac{24}{\sqrt{[-3]^{2}]+[-3]^{2}]+3^{2}}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]
Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b
Khi đó \[d[a,b]=MN\]
Chọn mặt phẳng [α] chứa đường thẳng Δ và song song với Δ.
Khi đó \[d[\Delta, \Delta ]=d[\Delta , [\alpha]]\]
Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng
Khi dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng, thì khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
Bài tập ví dụ: Hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 3, AD = 4, AA = 5.
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và BD.
Bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Cách giải:
Ta có: \[[ABCD]//[ABCD]\]
\[AC \subset[ABCD]\] và \[BD \subset[ABCD]\]
Suy ra: \[d[AC,BD]=d[[ABCD];[ABCD]]=AA=5\]
Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung đó
Trường hợp 1: \[\Delta\] và \[\Delta \] vừa chéo nhau vừa vuông góc nhau
- Bước 1: Chọn mặt phẳng [α] chứa và vuông góc với tại I
- Bước 2: Trong mặt phẳng [α] kẻ \[IJ\perp \Delta \]
- Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 \[d[\Delta,\Delta ]=IJ\]
Trường hợp 2: \[\Delta\] và \[\Delta \] chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.
- Bước 1: Chọn mặt phẳng [α] chứa và song song với .
- Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của xuống [α] bằng cách lấy điểm \[M\epsilon\Delta\] dựng đoạn \[MN\perp[\alpha]\], khi đó d là đường thẳng đi qua N và song song với
- Bước 3: Gọi \[H=d\cap\Delta \], kẻ HK // MN
- Khi đó HK là đoạn vuông góc chung: \[d[\Delta, \Delta ]= HK=MN\]
Phương pháp 4: Phương pháp vecto
- MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi
\[\left\{\begin{matrix} \vec{AM} & = &x\vec{AB} \\ \vec{CN}& = &y\vec{CD} \\ \vec{MN} .\vec{AB}& = & 0\\ \vec{MN} .\vec{CD}&= & 0 \end{matrix}\right.\]
- Nếu trong \[[\alpha]\] có hai vecto không cùng phương \[\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}\] thì \[OH=d[O,[\alpha]]\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \vec{OH} &\perp \vec{u_{1}} \\ \vec{OH} & \perp \vec{u_{2}}\\ H & \epsilon[\alpha] \end{matrix}\right.\] \[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \vec{OH}.\vec{u_{1}} & = 0 \\ \vec{OH}.\vec{u_{1}} & = & 0\\ H & \epsilon & [\alpha] \end{matrix}\right.\]
Trên đây là tổng hợp kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng cũng như cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng. Hy vọng bài viết cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích. Chúc bạn luôn học tốt!