Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay
- Để nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 [a 0] ta làm như sau:
+ B1: Tính = b2 4ac. Nếu < 0 thì không tồn tại nghiệm của phương trình. Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2
+ B2: Trong trường hợp 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:
- Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x2 + bx + c = 0[*] ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn tổng bằng b và tích bằng c. Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0. Tóm lại trong trường hợp này ta có kết quả sau
x2 + [u + v]x + uv = 0 x1 = -u, x2 = -v
x2 - [u + v]x + uv = 0 x1 = u, x2 = v
- Nếu hệ số a 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng [*] rồi nhẩm nghiệm
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:
- Nếu a b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:
Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau
a. x2 11x + 30 = 0
b. x2 12x + 27 = 0
c. x2 + 16x + 39 = 0
Giải
a. Phương trình đã cho có = 112 4.30 = 121 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-et ta có:
Ta thấy 30 = 15.2 = [-15].[-2] = 10.3 = [-10].[-3] = 6.5 = [-6].[-5] nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn [*] là 6 và 5
Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = 5, x2 = 6
b. Phương trình đã cho có = 122 4.27 = 144 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-et ta có
Ta thấy 27 = 9.3 = [-9].[-3] = 1.27 = [-1].[-27] nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn [*] là 9 và 3
Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = 3, x2 = 9
c. Phương trình đã cho có = 162 4.39 = 256 156 = 100 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-et ta có
Ta thấy 39 = 13.3 = [-13].[-3] = 1.39 = [-1].[-39] nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng -16 nên hai số thỏa mãn [*] là -13 và -3
Suy ra các nghiệm của phương trình là: x1 = -13, x2 = -3
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau
a. 2x2 + 3x + 1 = 0
b. 3x2 2x - 1 = 0
Giải
a. Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 3 + 1 = 0
Suy ra các nghiệm của phương trình là:
b. Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + [-2] + [-1] = 0
Suy ra các nghiệm của phương trình là:
Câu 1: Số nghiệm của phương trình 7x2 - 9x + 2 = 0 là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Giải
Phương trình đã cho có: a + b + c = 7 + [-9] + 2 = 0
Suy ra các nghiệm của phương trình là:
Đáp án C
Câu 2: Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 1975x2 + 4x - 1979 = 0
Giải
Phương trình đã cho có: a + b + c = 1975 + 4 + [-1979] = 0
Suy ra các nghiệm của phương trình là:
Đáp án A
Câu 3: Cho phương trình [m 2]x2 [2m + 5]x + m + 7 = 0 [m 2], khẳng định nào sau đây đúng
A. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
B. Phương trình có 2 nghiệm x = -1, x = m + 3 m 2
C. Phương trình có nghiệm kép m 2
D. Phương trình vô nghiệm m 2
Giải
Với m 2 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:
a = m 2, b = -[2m + 5], c = m + 7
Suy ra a + b + c = m 2 [2m + 5] + m + 7 = 0
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm:
Đáp án A
Câu 4: Một nghiệm của phương trình mx2 + [3m 1]x + 2m - 1 = 0 [m 0] là
Giải
Với m 0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:
a = m, b = 3m - 1, c = 2m - 1
Suy ra a - b + c = m 3m + 1 + 2m - 1 = 0
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm:
Đáp án C
Câu 5: Cho phương trình: [2m 1]x2 + [m - 3]x - 6m - 2 = 0 [
Biết rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm x = -2, tìm nghiệm còn lại của phương trình theo m
Giải
Vì phương trình đã cho có nghiệm x = -2
Nghĩa là phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 . Không làm mất tính tổng quát, giả sử x1 = -2
Áp dụng Vi-et ta có:
Đáp án B
Câu 6: Tìm m để phương trình x2 + 3mx - 108 = 0 có một nghiệm bằng 6. Với giá trị m vừa tìm được tính nghiệm còn lại
A. m = 4 và x = -18
B. m = 3 và x = -16
C. m = 2 và x = -15
D. m = 1 và x = -19
Giải
Vì x = 6 là nghiệm của phương trình nên:
Với m = 4 phương trình trở thành: x2 + 12x - 108 = 0. Theo Vi-et ta có:
Đáp án A
Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình x2 - [m + 4]x + 3m + 3 = 0
A. Phương trình có nghiệm kép x = 2 m
B. Phương trình có hai nghiệm x = 3, x = m + 1 m
C. Phương trình có hai nghiệm x = 2, x = m + 2 m
D. Phương trình vô nghiệm
Giải
phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Phương trình x2 - [m + 4]x + 3m + 3 = 0 x2 - [[m + 1] + 3]x + 3[m + 1] = 0
phương trình có 2 nghiệm: x = 3, x = m + 1
Đáp án B
Câu 8: Biết rằng phương trình x2 - [2m + 1]x + m2 + m = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m
A. 2m2 - 2m - 1
B. 2m2 + 2m - 1
C. 2m2 + 2m + 1
D. 2m2 - 2m + 1
Giải
Phương trình x2 - [2m + 1]x + m2 + m = 0 x2 - [m + [m + 1]]x + m[m + 1] = 0
phương trình có 2 nghiệm x = m, x = m + 1
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là:
m2 + [m + 1]2 = m2 + m2 + 2m + 1 = 2m2 + 2m + 1
Đáp án là C
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi