Giải phương trình bậc 4 bằng cách đặt t

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÀM SỐ BẬC 4 I. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Ta thường gặp các dạng đặc biệt sau : Dạng 1: Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 [1] Đặt t = x2, ta có phương trình : at2 + bt + c = 0 [1] Nghiệm dương của [1] ứng với 2 nghiệm của [1] Vậy điều kiện cần và đủ để [1] có nghiệm là phương trình [1] có ít nhất một nghiệm không âm. ax4 + bx2 + c = 0 [a 0] 2 2 0 [ ] 0 t x f t at bt c = = + + = t = x2 x = ± t [1] có 4 nghiệm [1/ ] có 2 nghiệm dương ; > > >Δ 0S 0P 0 [1] có 3 nghiệm [1/ ] có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0 > = 0S 0P [1] có 2 nghiệm [1/ ] có 1 nghiệm dương P < 0 hay ; 0 / 2 0S Δ = > [1] có 1 nghiệm [ [1/ ] có nghiệm thỏa t1 < 0 = t2 ] hay [ [1/ ] có nghiệm thỏa t1 = t2 = 0 ] hay 0 0 P S = < 0 / 2 0S Δ = = [1] vô nghiệm [1/ ] vô nghiệm hay [ 1/ ] có 2 nghiệm âm Δ < 0 Δ < 0 < > Δ 0S 0P 0 0 0 P S > < [ 1 ] có 4 nghiệm là CSC = 0, [C] có trục đối xứng nếu ta tìm được các số α, β, γ, m sao cho : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = [αx2 + βx + γ]2 + m x R. Dùng đồng nhất thức cho ta có được các hệ số α, β, γ, m. III . CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4 + bx2 + c y = 4ax3 + 2bx y = 0 2x[2ax2 + b] = 0 x ax b = + = 0 1 2 02 [ ] [ ]2 3 1. Hàm số có 3 cực trị [2] có 2 nghiệm phân biệt khác 0 a.b < 0 2. Hàm số có đúng 1 cực trị [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có nghiệm bằng 0. a vàb a vàab = 0 0 0 0 IV.CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN DẠNG : y = ax4 + bx3 + cx2 + d y = 4ax3 + 3bx2 + 2cx y = 0 x[4ax2 + 3bx + 2c] = 0 x ax bx c = + + = 0 4 3 2 02 [ ] 1. Khi a > 0, ta có : Hàm số chỉ có 1 cực tiểu mà không có cực đại. [3] vô nghiệm hay [3] có nghiệm kép hay [3] có nghiệm x = 0. 2. Khi a < 0, ta có: Hàm số chỉ có 1 cực đại mà không có cực tiểu. [3] vô nghiệm hay [3] có nghiệm kép hay [3] có nghiệm x = 0. TOÁN ÔN VỀ HÀM SỐ BẬC 4 Cho hàm số bậc 4 có đồ thị [C a ] với phương trình : y = x4 + 8ax3 4[1 + 2a]x2 + 3 I. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 0 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [Co]. Xác định tọa độ điểm uốn. 2] Định m để tiếp tuyến với [Co] tại M có hoành độ m, cắt [Co] tại hai điểm P, Q khác điểm M. Có giá trị nào của m để M là trung điểm đoạn PQ. 3] Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn PQ khi m thay đổi trong điều kiện câu 2. II. Trong phần này ta khảo sát hàm số ứng với a = 2 1 4] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] 5] Cho đường thẳng [ D ] có phương trình y = ax + b. Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của [C] và [D] có hai nghiệm kép phân biệt α và β. Tìm tọa độ hai điểm chung. 6] Viết phương trình tiếp tuyến với [C] và có hệ số góc bằng 8. Tìm tọa độ các tiếp điểm. III. Trong phần này ta khảo sát hàm số trong trường hợp tổng quát. 7] Biện luận theo a số điểm cực trị của hàm số. Định a để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại. 8] Trong trường hợp đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này. 9] Định a để đồ thị có hai điểm uốn. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm uốn này. BÀI GIẢI PHẦN I: 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [ ]0C Khi a = 0 hàm số thành y = x4 4x2 + 3 y= 4x3 8x, / /y = 12x2 8 y= 0 x = 0 x 2 = 2 x = 0 x = ± 2 y [ ]0 = 3, y [ 2± ] = 1 y= 0 =2 2x 3 x = ± 6 3 ; y 6 3 ± = 7 9 [ ]0C có 2 điểm cực tiểu là [ ]2 , -1± và 1 điểm cực đại là [ ] 0,3 [ ]0C có 2 điểm uốn là 6 7, 3 9 ± Bảng biến thiên và đồ thị : bạn đọc tự làm. 2] Tiếp tuyến [ tại M []D ] +4 2m , m 4m 3 thuộc [ ]0C có phương trình: y = y [ ]m [ Mx - x ] [ ]x - m + yM hay y = [ + m]34m - 8m 4 4m2 + 3 Phương trình hoành độ giao điểm của [ ]D và [ ]0C là x4 4x2 + 3 = [ ]34m - 8m [ ]x - m + m4 4m2 + 3 [1] [ Nhận xét: pt [1] chắc chắn nhận m làm nghiệm kép nên ta có: [1] [ ]2x - m [ ] =2Ax + Bx + C 0 ] [1] x4 m4 4 [ ]2 2x - m = [ ]x - m [ ]34m - 8m x m = 0 x3 + mx2 + m2x + m3 4 [ ]x + m = 4m3 8m x = m x3 + mx2 + [ ]2m - 4 x 3m3 + 4m = 0 [2] x = m [ ]x - m [ ]2 2x + 2mx + 3m - 4 = 0 x = m x2 + 2mx + 3m2 4 = 0 [3] Do đó, [ cắt []D ]0C tại 2 điểm P, Q khác m [3] có 2 nghiệm phân biệt khác m. 2 2 2 2 2 m + 2m + 3m - 4 0 = m - 3m + 4 > 0 Δ 2 2 2m 3 m < 2 [4] 6m 3 m < 2 ± Để M là trung điểm của PQ thì xM = P Q x + x 2 m = m m = 0 [m = 0 thoả [4] nên nhận] Nhận xét: pt [2] chắc chắn có nghiệm x = m. 3] I là trung điểm của PQ nên: ta có xI = m và 2yI = yP + yQ = 2 [ ]4 2m - 4m + 3 yI = 4 + 3 4Ix 2Ix Vậy quĩ tích của I là 1 phần đồ thị của hàm số y = x4 4x2 + 3 với x < 2 và x ± 6 3 PHẦN II: Khảo sát hàm số với a = 1 2 4] Khảo sát và vẽ đồ thị [ ]C khi a = 1 2 : độc giả tự làm. a = 1 2 , hàm số thành y = x4 4x3 + 3; y / = 4x3 12x2 5] Tìm a, b để phương trình hoành độ giao điểm của y = x4 4x3 + 3 [ ]C và đường thẳng: y = ax + b [ ]1D có 2 nghiệm kép phân biệt α , β . Phương trình hoành độ giao điểm của [ ]C và [ ]1D là x4 4x3 + 3 = ax + b x 4 4x3 ax + 3 b = 0 Do đó, yêu cầu bài toán x 4 4x3 ax + 3 b = [ ]2x - α [ ]2x - β x mà [ ]2x-α [ ]2x-β = x4 2 [ ]+ α β x3 + [ ]2 2+ +4α β αβ x2 2 x+αβ [ ]α +β 2α 2β Do đó, yêu cầu bài toán [ ] [ ] α + βα β αβ = α +β + α αβ α βα β 2 2 2 2 2 2 = -4 + + 4 = 0 [ ] 2 2 + = a = 3 - b β α β αβ αβ + = 2 4 + 2 = 0[ =-2] a = -8 3 - b = 4 a = 8 và b = 1. α β αβ α β + β α + với + = 2 và =-2 [ = 1- 3 và =1 3 ]hay[ = 1- 3 và =1 3 ] Khi đó, thế = ±x 1 3 và y = 8 x 1, ta có 2 điểm chung là A [ ]1 - 3, -9 + 8 3 và B [ ]1 + 3, -9 - 8 3 6] Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8, ta có: 4x3 12x2 = 8 4x 3 12x2 + 8 = 0 x3 3x2 + 2 = 0 [ ]x - 1 [ ]2x - 2x -2 = 0 x = 1 hay x = 1± 3 y [ ]1 = 0, y [1 - 3 ] = 9 + 8 3 , y [ ]1 + 3 = 9 8 3 Tiếp tuyến tại [ là y = 8]1,0 [ ]x - 1 hay y = 8x + 8 Theo câu 5, 2 tiếp điểm tại A và B có cùng 1 tiếp tuyến là y = 8x 1 Tóm lại có 2 tiếp tuyến thỏa ycbt là : y = 8x + 8 hay y = 8x 1. Các tiếp điểm là : [ , A]1,0 [ ]1 - 3, -9 + 8 3 và B [ ]1 + 3, -9 - 8 3 PHẦN III: 7] Số điểm cực trị của hàm số là nghiệm đơn hay nghiệm bội ba của đa thức: f [ ]x = 4x3 + 24ax2 8 [ ]x 1 + 2a = 4x [ ]2x + 6ax - 2 1 + 2a Tam thức g[x] = x2 + 6ax 2[1 + 2a] có : = 9aΔ 2 + 4a + 2 > 0 , nên a i] Khi a 1 2 , g[x] = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra có 3 nghiệm đơn phân biệt [ ]f x = 0 có 3 cực trị. ii] Khi a = 1 2 thì g[x] = 0 có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm khác 0 có 1 nghiệm kép x = 0 và 1 nghiệm đơn [ ]f x = 0 có 1 cực trị Điều kiện cần để hàm chỉ có 1 cực trị là a = 1 2 . Khi a = 1 2 , hàm đạt cực tiểu tại x = 3. [Khi a = 1 2 , g[x] = 0 x2 = 0 x = 3 với x = 0 là nghiệm kép và x = 3 là nghiệm đơn]. Vậy khi a = 1 2 thì hàm chỉ có cực tiểu và không có cực đại. 8] Khi a 1 2 , hàm số có 3 cực trị. Gọi x1, x2, x3 là hoành độ 3 điểm cực trị khi a 1 2 , ta có : x1, x2, x3 là nghiệm của f [ ]x = 0. Chia đa thức f [ ]x cho 1 4 f [ ]x ta có: f [ ]x = 1 4 f [ ]x [ ]x + 2a 2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 Vậy 3 điểm cực trị thoả phương trình: y = 2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 vì = = ff [ ]1x f [ ]2x [ ]3x = 0 Vậy, phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị là : y = 2 [ ]26a + 2a + 1 x2 + 4 [ ]2a + 2a x + 3 9] y = 4x3 + 24ax2 8 [ ]x 1 + 2a y = 12x2 + 48ax 8 [ ] 1 + 2a y = 0 3x 2 + 12ax 2 [ ]1 + 2a = 0 [9] Vì [9] có = 36aΔ 2 + 6 [ ] 1 + 2a = 6 [ ]26a + 2a + 1 > 0 , a nên đồ thị luôn có 2 điểm uốn I, J có hoành độ là nghiệm của phương trình [9] Hướng dẫn: giả sử chia f [ ]x cho 1 4 f [ ]x [vế trái của [9]] Ta có : f [ ]x = 1 4 f [ ]x [ ]h x + Ax + B thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm uốn là: y = Ax + B. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2002 KHỐI B: [ĐH: 2,0đ; CĐ: 2,5đ]: Cho hàm số : y = mx4 + [m2 9]x2 + 10 [1] [m là tham số] 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m=1 . 2. Tìm m để hàm số [1] có ba điểm cực trị . BÀI GIẢI 1] m = 1, y = x4 8x2 + 10 [C]. MXĐ : D = R y = 4x3 16x; y = 0 x = 0 x = ±2 y = 12x2 16; y = 0 x = 3 2± x 3 2 3 2 + y" + 0 0 + [C] lõm lồi lõm Điểm uốn I1 9 10, 3 2 , I2 9 10, 3 2 x 2 0 2 + y' 0 + 0 0 + y + 10 + 6 CĐ 6 CT CT 2] y = mx4 + [m2 9]x2 + 10 y = 4mx3 + 2[m2 9]x y = 0 =+ = [*]0]9m[mx2 0x 22 y có 3 cực trị [*] có 2 nghiệm phân biệt 0 6 x y 10 2 2 O m[m2 9] < 0 m < 3 0 < m < 3 ĐỀ DỰ BỊ 1 - NĂM 2002 KHỐI A [2,0 điểm] Cho hàm số: y = x4 mx2 + m 1 [1] [m là tham số] 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = 8. 2] Xác định m sao cho đồ thị của hàm số [1] cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. BÀI GIẢI 1] Khi m = 8 y = x4 8x2 + 7 MXĐ : D = R. y' = 4x3 16x = 4x[x2 4] y' = 0 4x[x2 4] = 0 x = 0 hay x = ±2 y'' = 12x2 16; y'' = 0 12x2 16 = 0 x2 = =16 4 12 3 x = ± 2 3 3 x 2 0 2 + y' 0 + 0 0 + y + 7 + - 9 9 x 2 3 3 2 3 3 + y'' + 0 0 + y + lõm -17/9 lồi - 17/9 lõm + O 22 7 9 x y 2] Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm : x4 mx2 + m 1 = 0 [1] Đặt t = x2 0, t2 mt + m 1 = 0 [2] Phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt . Phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt. 2 2 1 2 1 2 m 4[m 1] [m 2] S t t m 0 P t t m 1 0 Δ = = > = + = > = = > 0 m 1 m 2 > ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG - DỰ BỊ 1 - NĂM 2004 - KHỐI A [2 điểm] Cho hàm số : y = x4 2m2x2 + 1 [1] với m là tham số 1] Khảo sát hàm số [1] khi m = 1. 2] Tìm m để đồ thị hàm số [1] có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. BÀI GIẢI 1] Khi m = 1 thì y = x4 2x2 + 1 MXĐ : D = R y = 4x3 4x = 4x[x2 - 1] , y = 0 x = 0 hay x = ± 1 y=12x2 4 , y = 0 x = 3 3 ± y[0] = 1 ; y [± 1] = 0 ; y[ 3 3 ± ] = 4 9 x 1 0 1 + y 0 + 0 0 + y + + 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 x 3 3 3 3 + y + 0 0 + y + lõm 4 9 lồi 4 9 lõm + y 1 -1 0 x1 2] y = 4x3 4 m x; y = 0 x = 0 hay x = 2 m± . Hàm có 3 cực trị m 0. Gọi A [0;1] ; B, C là 2 điểm cực trị có hoành độ là m± suy ra tung độ của B và C là 1 m4 4AB [ m ; m ]= uuur và 4AC [ m ; m ]= uuur .Vì y là hàm chẵn nên AC = AB. Do đó, yêu cầu bt m 0 và AB.AC 0 = m 0 và m2 + m8 = 0 m6 = 1 m = 1± DỰ BỊ 1 KHỐI B NĂM 2005: [2 điểm]. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [ C ] của hàm số 4 26 5y x x= + 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : 4 2 26 logx x m 0 = . 1/ Khảo sát 4 2y x 6x 5= + MXĐ: D= R [ ]= = = = = ±/ 3 2 /y 4x 12x 4x x 3 ,y 0 x 0 hay x 3 = = = ±/ / 2 / /y 12x 12,y 0 x 1 BBT x 3 -1 0 1 3 + y ' - 0 + + 0 - - 0 + y '' + + 0 - - 0 + + y + 5 + -4 0 0 -4 Đồ thị 2/ Tìm m để pt 4 2 2x 6x log m 0 = có 4 nghiệm phân biệt. 4 2 4 2 2 2x 6x log m 0 x 6x 5 log m 5 = + = + Đặt 2k log m 5= + Ycbt đường thẳng y= k cắt [C] tại 4 điểm phân biệt 4 k 5 < < < +