Giải bài tập Toán 9 Tập 1 trang 24

Bài 34 trang 24 sgk Toán 9 tập 2

34. Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng:Nếu tăng 8 luống nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp ?

Bài giải:
Gọi \[x\] là số luống rau, \[y\] là số cây của mỗi luống. Điều kiện \[x > 0, y > 0\].

Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, ta được:

\[[x + 8][y - 3] = xy - 54 \Leftrightarrow  - 3x + 8y =  - 30\]

Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn tăng 32 cây, nên ta được:

\[[x - 4][y + 2] = xy + 32 \Leftrightarrow 2x-4y=40\]

Ta được hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} -3x+8y= -30 & & \\ 2x-4y= 40& & \end{matrix}\right.\]

Giải ra ta được: \[x = 50, y = 15\]

Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: 50 . 15 = 750 [cây]

Bài 35 trang 24 sgk Toán 9 tập 2

35. [Bài toán cổ Ấn Độ]. Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rubi ?

Bài giải:

Gọi \[x\] [rupi] là giá tiền mỗi quả thanh yên.

Gọi \[y\] [rupi] là giá tiền mỗi quả táo rừng.

Điều kiện \[x > 0, y > 0\].

Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi nên ta có: 

\[9x+8y=107\]

Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi nên ta có:

\[7x+7y=91\]

Ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} 9x + 8y =107 & & \\ 7x + 7y = 91& & \end{matrix}\right.\]

Giải ra ta được \[x = 3, y = 10\].

Vậy, thanh yên 3 rupi/quả; táo rừng 10 rupi/quả.

Bài 36 trang 24 sgk Toán 9 tập 2

36. Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bi mờ không đọc được [đánh dấu *]:

Điểm số của mỗi lần bắn	10	9	8	7	6
Số lần bắn	25	42	*	15	*

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

Bài giải:

Gọi số thứ nhất bị mờ là \[x\], số thứ hai bị mờ là \[y\]. Điều kiện \[x > 0, y > 0\].

Số lần bắn là 100 nên ta có: \[25+42+x+15+y=100\]

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có:

\[10.25 + 9 . 42 + 8.x + 7.15 + 6.y = 100.8,69\]

Ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} 25 + 42 + x + 15 + y = 100 & & \\ 10.25 + 9 . 42 + 8.x + 7.15 + 6.y = 100.8,69& & \end{matrix}\right.\]

hay \[\left\{\begin{matrix} x + y = 18 & & \\ 8.x + 6.y = 136& & \end{matrix}\right.\] ⇔ \[\left\{\begin{matrix} x = 14 & & \\ y = 4& & \end{matrix}\right.\]

Vậy số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4.

Giaibaitap.me

Page 2

Bài 37 trang 24 sgk Toán 9 tập 2

37. Hai vật chuyển động đểu trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

Bài giải:

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là \[x\] [cm/s] và \[ y\] [cm/s] [điều kiện \[x > y > 0\]].

Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường mà vật đi nhanh đi được trong 20 giây hơn quãng đường mà vật kia đi trong 20 giây đúng bằng 1 vòng [= 20π cm],

ta có phương trình: \[20[x - y] = 20π\]

Khi chuyển động ngược chiều cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây là đúng 1 vòng.

Ta có phương trình: \[4[x + y] = 20π\].

Ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} 20[x - y] = 20\pi & & \\ 4[x + y] = 20\pi & & \end{matrix}\right.\]

Giải ra ta được \[\left\{\begin{matrix} x = 3\pi & & \\ y = 2\pi & & \end{matrix}\right.\]

Vậy vận tốc của hai vật là 3π cm/s, 2π cm/s.

Bài 38 trang 24 sgk Toán 9 tập 2

38. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn [không có nước] thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \[\frac{2}{15}\] bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Bài giải:

Giả sử khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể trong \[x\] phút, vòi thứ hai trong \[y\] phút.

Điều kiện\[x > 0, y > 0\].

Ta có 1 giờ 20 phút = 80 phút.

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] bể, vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{y}\] bể, cả hai vòi cùng chảy được \[\frac{1}{80}\] bể nên ta được: \[\frac{1}{x}\] + \[\frac{1}{y}\] = \[\frac{1}{80}\].

Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được \[\frac{10}{x}\] bể, trong 12 phút vòi thứ hai chảy được \[\frac{12}{y}\] bể thì được \[\frac{2}{15}\] bể, ta được:

\[\frac{10}{x}\] + \[\frac{12}{y}\] = \[\frac{2}{15}\]

Ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} = \frac{1}{80}& & \\ \frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\]

Giải ra ta được \[x = 120, y = 240\].

Vậy nếu chảy một mình để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút [2 giờ], vòi thứ hai 240 phút [4 giờ].

Bài 39 trang 25 sgk Toán 9 tập 2

39. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị tăng [VAT] với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?

Bài giải:

Giả sử không kể thuế VAT người đó phải trả \[x\] triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, \[y\] triệu đồng cho loại hàng thứ hai.

Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất, [kể cả thuế VAT 10%] là \[\frac{110}{100}x\] triệu đồng, cho loại hàng thứ hai, với thuế VAT 8% là \[\frac{108}{100}y\] triệu đồng. Ta có phương trình:

\[\frac{110}{100}x\] + \[\frac{108}{100}y\] \[= 2,17\] hay \[1,1x + 1,08y = 2,17\]

Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là:

\[\frac{109}{100}[x+y]\] \[= 2,18\] hay \[1,09x + 1,09y = 2,18\].

Ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} 1,1x + 1,08y = 2,17 & & \\ 1,09x + 1,09y = 2,18 & & \end{matrix}\right.\]

Giải ra ta được: \[x = 0,5; y = 1,5\]

Vậy số tiền người đó phải trả cho loại thứ nhất là 0,5 triệu đồng, loại thứ hai là 1,5 triều đồng.

Giaibaitap.me

Page 3

Bài 40 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:

a]\[\left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\]

b] \[\left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\]

c] \[\left\{ \matrix{{3 \over 2}x - y = {1 \over 2} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\]

Giải

a] Giải hệ phương trình: 

\[\left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2[1] \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1[2] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2[1'] \hfill \cr

- 2{\rm{x}} - 5y = - 5[2'] \hfill \cr} \right.\]

Cộng [1’] với [2’] vế theo vế, ta được: \[0x + 0y = -3\]

Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Minh họa hình học kết quả tìm được:

- Vẽ đồ thị hàm số \[2x + 5y = 2\].

Cho \[y = 0 ⇒  x = 1\]. Ta xác định được điểm \[A[1; 0]\]

Cho \[y = 1 ⇒ x = -1,5\]. Ta xác định được điểm \[B[-1,5; 1]\].

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

-Vẽ đồ thị hàm số  \[{2 \over 5}x + y = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 5y = 5\]

Cho \[x = 0 ⇒ y = 1\]. Ta xác định được điểm \[C[0; 1]\]

Cho \[y = 2 ⇒ x = -2,5\]. Ta xác định được điểm \[D[-2,5; 2]\]

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.

b] Giải hệ phương trình:  

\[\left\{ \matrix{ 0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3[1] \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5[2] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2{\rm{x}} - y = - 3[1'] \hfill \cr

3{\rm{x}} + y = 5[2'] \hfill \cr} \right.\]

Cộng [1’] với [2’] vế theo vế, ta được \[x = 2\]

Thế \[x = 2\] vào [2], ta được: \[6 + y = 5 ⇔ y = -1\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[[x = 2; y = -1]\]

Minh họa hình học:

- Đồ thị hàm số \[0,2x + 0,1y = 0,3\] là một đường thẳng đi qua hai điểm:

\[A[x = 0; y = 3]\] và \[B[x = 1,5; y = 0]\]

- Đồ thị hàm số \[3x + y = 5\] là một đường thẳng đi qua hai điểm \[C[x = 0; y = 5]\] và \[D[x = 1; y = 2]\]

- Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: \[M[x = 2; y = -1]\].

Vậy \[[2; -1]\] là một nghiệm của hệ phương trình.

c] Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \matrix{ {3 \over 2}x - y = {1 \over 2}[1] \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1[2] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{\rm{x}} + 2y = - 1[1'] \hfill \cr

3{\rm{x}} - 2y = 1[2'] \hfill \cr} \right.\]

Cộng [1’] và [2’] vế theo vế, ta có: \[0x + 0y = 0\].

Phương trình này có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát là \[\left[ {x;{3 \over 2}x - {1 \over 2}} \right]\]  với \[x ∈ R\]

Minh họa hình học

- Đồ thị hàm số [1] là đường thẳng đi qua hai điểm \[A[0;  - {1 \over 2}]\] và \[B[1;1]\] nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm.

Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

a] 

\[\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = 1 \hfill \cr

\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\]

b]  

\[\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr

{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\]

Giải:

a] 

\[\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = 1[1] \hfill \cr

\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + y\sqrt 5 = 1[2] \hfill \cr} \right.\]

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ [1] ta có  \[x = {{\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y + 1} \over {\sqrt 5 }}[3]\]

Thế [3] vào [2], ta được:  

\[\eqalign{ & \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]\left[ {{{\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr & \Leftrightarrow \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y + \left[ {1 - \sqrt 3 } \right] + 5y = \sqrt 5 \cr

& \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr} \]

Thế y vừa tìm được vào [3], ta được:

\[x = {{\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]\left[ {{{\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1} \over 3}} \right] + 1} \over {\sqrt 5 }}\] hay  \[x = {{\sqrt 5  + \sqrt 3  + 1} \over 3}\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \[\left[ {{{\sqrt 5  + \sqrt 3  + 1} \over 3};{{\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1} \over 3}} \right]\]

b]Giải hệ phương trình: [I] 

\[\left\{ \matrix{ {{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr

{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\]

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt \[u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\]

Thay vào hệ [I], ta có hệ mới với ẩn là \[u\] và \[v\] ta được:

\[\left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 [1'] \hfill \cr u + 3v = - 1[2'] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 [3] \hfill \cr

- 2u - 6v = 2[4] \hfill \cr} \right.\]

Cộng [3] và [4] vế theo vế, ta được: \[ - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2  \Leftrightarrow v = {{ - \left[ {2 + \sqrt 2 } \right]} \over 5}\]

Thay \[v = {{ - \left[ {2 + \sqrt 2 } \right]} \over 5}\] vào [1’], ta được:

\[2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2  \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2  + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\]

\[\Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\]

Với giá trị của \[u,v\] vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm \[x, y\].

Ta có: 

\[\left\{ \matrix{ {x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr {y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.đk\left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr

y \ne - 1 \hfill \cr} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \left[ {x + 1} \right]\left[ {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right] \hfill \cr

y = \left[ {y + 1} \right]{{\left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right]} \over 5} \hfill \cr} \right.\]

\[\left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} = \left[ {x + 1} \right]\left[ {1 + 3\sqrt 2 } \right] \hfill \cr 5y = \left[ {y + 1} \right]\left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr

y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[\left[ {{{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }};{{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }}} \right]\] thỏa mãn điều kiện

Bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình\[\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\] trong mỗi trường hợp sau:

a] \[m = -\sqrt{2}\]       b] \[m = \sqrt{2}\]        c] \[m = 1\]

Giải:

[I] \[\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m[1] \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 [2] \hfill \cr} \right.\]

Ta có [1] ⇔ \[y = 2x – m\] [3]

Thế [3] vào [2], ta có:

\[4{\rm{x}} - {m^2}\left[ {2{\rm{x}} - m} \right] = 2\sqrt 2\]

\[ \Leftrightarrow 2\left[ {2 - {m^2}} \right]x = 2\sqrt 2  - {m^3}[*]\] 

a] Với \[m = - \sqrt{2}\]. Thế vào phương trình [*], ta được:

\[2[2 – 2]x = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 4\sqrt{2}\]

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b] Với \[m = \sqrt{2}\]. Thế vào phương trình [*], ta được:

\[2[2 – 2]x = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} ⇔ 0x = 0\]

Vậy hệ trình này có vô số nghiệm.

c] Với \[m = 1\]. Thế vào phương trình [*], ta được:

\[2.[2-1]x = 2\sqrt 2  - 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = 2\sqrt 2  - 1\]

\[\Leftrightarrow x = {{2\sqrt 2  - 1} \over 2}\] 

Thay \[x\] vừa tìm được vào [3], ta có: \[y = 2\sqrt{2} – 2\]

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: \[\left[ {{{2\sqrt 2  - 1} \over 2};2\sqrt 2  - 2} \right]\]

Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Bài 43. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Giải:

Gọi \[x\] [m/phút] là vận tốc của người xuất phát từ A và \[y\] [m/phút] là vận tốc của người xuất phát từ B.

Điều kiện: \[x > 0; y > 0\]

- Khi gặp nhau tại điểm cách A là 2km thì người xuất phát từ A đi được 2000 mét, còn người xuất phát từ B đi được 1600 mét.

Ta có phương trình: \[{{2000} \over x} = {{1600} \over y}[1]\] 

- Theo đề bài cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8km = 1800m.

Ta có phương trình \[{{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}[2]\] 

Ta có hệ phương trình: [I] \[\left\{ \matrix{{{2000} \over x} = {{1600} \over y}[1] \hfill \cr {{1800} \over x} + 6 = {{1800} \over y}[2] \hfill \cr} \right.\]

Đặt \[u = {{100} \over x}\] và \[v = {{100} \over y}\] . Thay vào [I], ta được:  

\[\left[ I \right] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{20u = 16v \hfill \cr 18u + 6 = 18v \hfill \cr} \right.\]

Giải hệ phương trình ta được \[u = {4 \over 3}\] và \[v = {5 \over 3}\] 

- Với \[{{100} \over x} = u = {4 \over 3} \Leftrightarrow x = 75\] [nhận]

- Với \[{{100} \over y} = v = {5 \over 3} \Leftrightarrow y = 60\] [nhận]

Vậy vận tốc của người đi từ A là 75m/phút và người đi từ B là 60m/phút.

Giaibaitap.me

Page 4

Bài 44 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Bài 44. Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 \[c{m^3}\] là hợp  kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3

Giải:

Gọi \[x\] [gam] và \[y\] [gam]lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đã cho. Điều kiện:\[ x > 0; y > 0\].

Vì khổi lượng của vật là 124 gam, ta có phương trình: \[x + y = 124\] [1]

Khi đó, thể tích của \[x\] [gam] đồng là \[{{10} \over {89}}x[c{m^3}]\] và thể tích của \[y\] [gam] kẽm là \[{{1} \over {7}}y[c{m^3}]\] 

Vì thể tích của vật là 15cm3, nên ta có phương trình: \[{{10} \over {89}}x + {1 \over 7}y = 15[2]\]

Ta có hệ phương trinh : \[\left\{ \matrix{x + y = 124[1] \hfill \cr {{10} \over {89}}x + {1 \over 7}y = 15[2] \hfill \cr} \right.\]

Giải hệ phương trình ta được \[x = 89\] [nhận] và  \[y = 35\] [nhận]

Vậy vật đã cho có 89 gam đồng và 35 gam kẽm.

Bài 45 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Bài 45. Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Giải:

Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm xong công việc trong \[x\] [ngày] và đội II làm xong công việc trong \[y\] [ngày]

Điều kiện: \[x, y > 12\]

Như vậy, mỗi ngày đội I làm được \[{1 \over x}\] công việc và đội II làm được \[{1 \over y}\] công việc và cả hai đội làm được \[{1 \over {12}}\] công việc. Ta có phương trình:

\[{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}[1]\]

Trong 8 ngày làm chung, cả hai đôi làm được \[\left[ {{8 \over x} + {8 \over y}} \right]\] công việc. Do năng suất gấp đôi nên đội II mỗi ngày làm được \[{2 \over y}\] công việc và làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày nên làm được: \[3,5.{2 \over y} = {7 \over y}\] công việc. Ta có phương trình: 

\[\left[ {{8 \over x} + {8 \over y}} \right]+{7 \over y}=1\Leftrightarrow {8 \over x} + {{15} \over y}=1\]

Ta có phương trình:\[\left\{ \matrix{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}[1] \hfill \cr {8 \over x} + {{15} \over y} = 1[2] \hfill \cr} \right.\] 

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn số phụ ta được:

\[x = 28\] [nhận] và \[y = 21\] [nhận]

Vậy đội I làm cong công việc trong 28 ngày, đội II làm xong công việc trong 21 ngày 

Bài 46 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Bài 46. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Giải:

Gọi \[x\] [tấn] và \[y\] [tấn] là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái.

Điều kiện: \[x > 0; y > 0\]

Theo đề bài ta có:

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc nên ta có phương trình:

\[x + y = 720\]

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%. nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch được: \[x + {{15} \over {100}}x = {{115} \over {100}}x\] [tấn] và đơn vị thứ hai thu hoạch được : \[y + {{12} \over {100}}y = {{112} \over {100}}y\] [tấn].

Cả hai thu hoạch được 819 tấn, nghĩa là: \[{{115} \over {100}}x + {{112} \over {100}}y = 819\] 

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \matrix{x + y = 720 \hfill \cr {{115} \over {100}}x + {{112} \over {100}}y = 819 \hfill \cr} \right.\] 

Giải hệ phương trình ta được : \[x = 420\] [nhận] và \[y = 300\] [nhận]

Vậy:  Năm ngoái đơn vị thứ I thi hoạch được 420 tấn thóc, đơn vị thứ II thu hoạch được 300 tấn thóc.

Năm nay đơn vị thứ I thu hoạch được: \[{{115} \over {100}}.420 = 483\] tấn thóc, đơn vị thứ II thu hoạch được \[{{112} \over {100}}.300 = 336\] tấn thóc

Giaibaitap.me

Page 5

Bài 1 trang 30 sgk Toán 9 tập 2

Bài1. Diện tích S của hình tròn được tính bởi công thức \[S = \pi {R^2}\], trong đó R là bán kính của hình tròn.

a] Dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị của S rồi điền vào các ô trống trong bảng sau [\[\pi ≈ 3,14\], làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai].

R [cm]	0,57	1,37	2,15	4,09
S = πR2 [cm2]

b] Nếu bán kính tăng gấp 3 lần thì diện tích tăng hay giảm bao nhiêu lần ?

c] Tính bán kính của hình tròn, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, nếu biết diện tích của nó bằng 79,5 \[{cm^2}\] .

Bài giải:

a] Dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị của S như sau:

Kết quả lần lượt là: \[1,020186\]

                               \[5,893466\]

                                \[14,51465\]

                                \[52,526234\]

Ta được bảng sau:

R [cm]	0,57	1,37	2,15	4,09
S = πR2 [cm2]	1,02	5,89	14,51	52,53

b] Giả sử \[S' = \pi R{'^2} = \pi {[3R]^2} = \pi 9{R^2} = 9\pi {R^2} = 9S\]

Vậy diện tích tăng 9 lần.

c] \[79,5 = S = \pi {R^2}\].

Do đó \[R = \sqrt {79,5:3,14 }\] \[≈ 5,03 [cm]\]

Bài 2 trang 31 sgk Toán 9 tập 2

Bài2. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là \[100 m\]. Quãng đường chuyển động \[s\] [mét] của vật rơi phụ thuộc vào thời gian \[t\] [giây] bởi công thức: \[s{\rm{  = }}4{t^2}\]

a] Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét ? Tương tự, sau 2 giây ?

b] Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất ?

Bài giải:

a] Quãng đường chuyển động của vật sau 1 giây là: \[s{\rm{  = }}{4.1^2} = 4 m\]

Khi đó vật cách mặt đất là: \[100 - 4 = 96m\]

Quãng đường chuyển động của vật sau 2 giây là: \[s{\rm{  = }}{4.2^2} = 4.4 = 16m\]

Khi đó vật cách mặt đất là \[100 - 16 = 84m\]

b] Khi vật tới mặt đất, quãng đường chuyển động của nó là 100m. Khi đó ta có:

\[4{t^2} = 100 \Leftrightarrow {t^2} = 25 \Leftrightarrow t =  \pm 5\]

Vì thời gian không thể âm nên \[t = 5\] [giây]

Bài 3 trang 31 sgk Toán 9 tập 2

Bài3. Lực \[F\] của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc \[v\] của gió, tức là \[F = a{v^2}\] [\[a\] là hằng số]. Biết rằng khi vận tốc gió bằng \[2 m/s\] thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng \[120 N\] [Niu –tơn]

a] Tính hằng số \[a\].

b] Hỏi khi \[v = 10 m/s\] thì lực \[F\] bằng bao nhiêu ? Cùng câu hỏi này khi \[v = 20 m/s\] ?

c] Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là \[12 000 N\], hỏi con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc gió \[90 km/h\] hay không ?

Bài giải:

a] Ta có: \[v = 2 m/s\] thì \[F = 120 N\]

Thay vào công thức \[F = a{v^2}\] ta được \[ a.{2^2} = 120\]

Suy ra: \[a = 120 : 4 = 30\] \[N/{m^2}\]

b] Với \[a = 30\] \[N/{m^2}\] . Ta được \[F = 30{v^2}\] nên khi vận tốc \[v = 10m/s\] thì \[F = {30.10^2} = 3000N\].

Khi vận tốc \[v = 20m/s\] thì \[F = {30.20^2} = 12000N\]

c] Gió bão có vận tốc \[90 km/h\] hay \[90000m/3600s\] = \[25m/s\]. Mà theo câu b] cánh buồm chỉ chịu sức gió \[20 m/s\].

Vậy cơn bão có vận tốc gió \[90km/h\] thuyền không thể đi được.

Giaibaitap.me

Page 6

Bài 4 trang 36 sgk Toán 9 tập 2

Bài 4. Cho hai hàm số: \[y = {3 \over 2}{x^2},y =  - {3 \over 2}{x^2}\]. Điền vào những ô trống của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị đối với trục Ox.

Bài giải:

Thực hiện phép tính và điền vào chỗ trống ta được bảng sau:

Vẽ đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị của hai hàm số đối xứng với nhau qua trục Ox.

Bài 5 trang 37 sgk Toán 9 tập 2

Bài 5. Cho ba hàm số:

\[y = {1 \over 2}{x^2};y = {x^2};y = 2{x^2}\]

a] Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b] Tìm ba điểm \[A, B, C\] có cùng hoành độ \[x = -1,5\] theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng.

c] Tìm ba điểm \[A', B', C'\] có cùng hoành độ \[x = 1,5\] theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối xứng của A và A', B và B', C và C'.

d] Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị của x để hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.

Bài giải:

a] Vẽ đồ thị

  

b] Gọi \[{y_A},{y_B},{y_C}\] lần lượt là tung độ các điểm \[A, B, C\] có cùng hoành độ \[x = -1,5\]. Ta có:

\[\eqalign{ & {y_A} = {1 \over 2}{[ - 1,5]^2} = {1 \over 2}.2,25 = 1,125 \cr & {y_B} = {[ - 1,5]^2} = 2,25 \cr

& {y_C} = 2{[ - 1.5]^2} = 2.2,25 = 4,5 \cr} \]

c] Gọi \[{y_{A'}},{y_{B'}},{y_{C'}}\]  lần lượt là tung độ các điểm \[A', B', C'\] có cùng hoành độ \[x = 1,5\]. Ta có:

\[\eqalign{ & {y_{A'}} = {1 \over 2}{[1,5]^2} = {1 \over 2}.2,25 = 1,125 \cr & {y_{B'}} = {[1,5]^2} = 2,25 \cr

& {y_{C'}} = 2{[1.5]^2} = 2.2,25 = 4,5 \cr} \]

Kiểm tra tính đối xứng: A và A', B và B', C và C' đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

d] Với mỗi hàm số đã cho ta đều có hệ số \[a > 0\] nên O là điểm thấp nhất của đồ thị.

Vậy \[x = 0\] thì hàm số có giả trị nhỏ nhất.

Bài 6 trang 38 sgk Toán 9 tập 2

Bài 6. Cho hàm số \[y = f[x] = {x^2}\].

a] Vẽ đồ thị của hàm số đó.

b] Tính các giá trị \[f[-8]; f[-1,3]; f[-0,75]; f[1,5]\].

c] Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị \[{[0,5]^2};{[ - 1,5]^2};{[2,5]^2}\].

d] Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biểu diễn các số \[\sqrt{3}; \sqrt{7}\].

Bài giải:

a] Vẽ đồ thị hàm số y = x2. 

b] Ta có \[y = f[x] = {x^2}\] nên

\[\eqalign{ & f\left[ { - 8} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - 8} \right]^2} = {\rm{ }}64;{\rm{ }}f\left[ { - 1,3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - 1,3} \right]^2} = {\rm{ }}1,69;{\rm{ }} \cr & f\left[ { - 0,75} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - 0,75} \right]^2} = {\rm{ }}0,5625; \cr

& {\rm{ }}f\left[ {1,5} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{5^2} = {\rm{ }}2,25 \cr} \]

c] Theo đồ thị ta có:

\[\eqalign{ & {[0,5]^2} \approx 0,25 \cr & {[ - 1,5]^2} \approx 2,25 \cr

& {[2,5]^2} \approx 6,25 \cr} \]

d] Theo đồ thị ta có: Điểm trên trục hoành \[\sqrt{3}\] thì có tung độ là \[y = {[\sqrt 3 ]^2} = 3\]. Suy ra điểm biểu diễn \[\sqrt{3}\] trên trục hoành bằng\[ 1,7\]. Tương tự điểm biểu diễn \[\sqrt{7}\] gồm bằng \[2,7\].

Giaibaitap.me

Page 7

Bài 7 trang 38 sgk Toán 9 tập 2

Bài 7. Trên mặt phẳng tọa độ [h.10], có một điểm \[M\] thuộc đồ thị của hàm số \[y = a{x^2}\].

a] Tìm hệ số \[a\]

b] Điểm \[A[4; 4]\] có thuộc đồ thị không ?

c] Hãy tìm thêm hai điểm nữa [không kể điểm O] để vẽ đồ thị.

Bài giải:

a] Theo hình vẽ ta có tọa độ của điểm \[M\] là \[x = 2, y = 1\]. \[M[2; 1]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = a{x^2}\] nên ta có: \[1 = a{.2^2} \Leftrightarrow a = {1 \over 4}\]

b] Theo câu a, ta có hàm số là \[y = {1 \over 4}{x^2}\]

Thay tọa độ của điểm \[A\] vào hàm số ta được \[4 = {1 \over 4}{4^2}\] hay \[4 = 4\], thỏa mãn.

Vật điểm \[A[4; 4]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\].

c] Nhờ tính đối xứng của đồ thị, chẳng hạn ta lấy thêm hai điểm \[M'[-2; 1]\] và

\[A'[-4; 4]\]. Vẽ đồ thị: xem hình bên dưới.

 

Bài 8 trang 38 sgk Toán 9 tập 2

Bài 8. Biết rằng đường cong trong hình 11 là một parabol \[y = a{x^2}\].

a] Tìm hệ số \[a\].

b] Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ \[x = -3\].

c] Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ \[y = 8\].

Bài giải:

a] Theo hình vẽ, ta lấy điểm \[A\] thuộc đồ thị có tọa độ là \[x = -2, y = 2\]. Khi đó ta được:

 \[2 = a.{[ - 2]^2} \Leftrightarrow a = {1 \over 2}\]

b] Đồ thị có hàm số là \[y = {1 \over 2}{x^2}\]. Tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ \[x = -3\] là \[y = {1 \over 2}{[ - 3]^2} = {9 \over 2}\].

c] Các điểm thuộc parabol có tung độ là \[8\] là:

\[8 = {1 \over 2}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow x =  \pm 4\]

Ta được hai điểm và tọa độ của hai điểm đó là \[M[4; 8]\] và \[M'[-4; 8]\].

Bài 9 trang 39 sgk Toán 9 tập 2

Bài 9. Cho hai hàm số \[y = {1 \over 3}{x^2}\] và \[y = -x + 6\].

a] Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b] Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó.

Bài giải:

*Vẽ đồ thị: \[y = {1 \over 3}{x^2}\]

x	-6	-3	0	3	6
y	12	3	0	3	12

*Vẽ đồ thị: \[y = -x + 6\]

- Cho \[x = 0 => y = 6\].

- Cho \[y = 0 => x = 6\].

Vẽ đồ thị: xem hình bên dưới.

 

b] Giá trị gần đúng của tọa độ câc giao điểm [thực ra đây là giá trị đúng].

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm \[A\] và \[B\].

Theo đồ thị ta có \[A[3; 3]\] và \[B[-6; 12]\].

Bài 10 trang 39 sgk Toán 9 tập 2

Bài 10. Cho hàm số \[y =  - 0.75{x^2}\]. Qua đồ thị của hàm số đó, hãy cho biết khi \[x\] tăng từ \[-2\] đến \[4\] thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \[y\] là bao nhiêu ?

Bài giải:

Vẽ đồ thị: \[y =  - 0.75{x^2}\]

Do đó khi \[-2 ≤ x ≤ 4\] thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là \[-12\] còn giá trị lớn nhất là \[0\].Vì \[-2 < 0 < 4\] và khi \[x = 0\] thì \[y = 0\] là giá trị lớn nhất của hàm số. Hơn nữa khi \[x = -2\] thì \[y =  - 0.75{[ - 2]^2} =  - 3\], khi \[x = 4\] thì  \[y =  - 0.75{[ 4]^2} =  -12 0\] và phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] vô nghiệm thì\[a{x^2} + bx + c > 0\] với mọi giá trị của \[x \]?

Bài giải:

Khi \[a > 0\] và phương trình vô nghiệm thì \[b{^2} - 4ac 0

Suy ra: \[a{x^2} + bx + c=\] \[a\left [ x + \frac{b}{2a} \right ]^{2}\]\[-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\] > 0

với mọi \[x\].

Bài 20 trang 49 sgk Toán 9 tập 2

Bài 20. Giải các phương trình:

a] \[25{x^2}-{\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] ;                            

b] \[2{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

c] \[4,2{x^2} + {\rm{ }}5,46x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];                       

d] \[4{x^2} - {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 \].

Bài giải:

a] \[25{x^2}{\rm{  - }}16 = 0 \Leftrightarrow 25{x^2} = 16 \Leftrightarrow {x^2} = {\rm{ }}{{16} \over {25}}\]

\[⇔ x = ±\]\[\sqrt{\frac{16}{25}}\] = ±\[\frac{4}{5}\]

b] \[2{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Phương trình vô nghiệm vì vế trái là \[2{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} \ge  {\rm{ }}3\] còn vế phải bằng \[0\].

c] \[4,2{x^2} + {\rm{ }}5,46x{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x\left[ {2,1x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,73} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Vậy \[x = 0\] hoặc \[2,1x{\rm{ }} + {\rm{ }}2,73{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} =  > {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 1,3\].

d] \[4{x^2} - {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 \]

\[\Leftrightarrow {\rm{ }}4{x^2} - {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 {\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Có \[a = 4, b = -2\sqrt{3}, b’ = -\sqrt{3}, c = -1 + \sqrt{3}\]

\[\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - \sqrt 3 } \right]^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}\left[ { - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{\rm{ }}\]

\[= {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} - {\rm{ }}4\sqrt 3 {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]^2}\]

\[{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 \]

\[{x_1}\] = \[\frac{\sqrt{3} - 2+ \sqrt{3}}{4}\] = \[\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\] , \[{x_2}\] = \[\frac{\sqrt{3} +2 - \sqrt{3}}{4}\] = \[\frac{1}{2}\]

Giaibaitap.me

Page 11

Bài 21 trang 49 sgk Toán 9 tập 2

Bài 21. Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi [Xem Toán 7, Tập 2, tr.26]:

a] \[{x^2} = {\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}288\];                           

b] \[{1 \over {12}}{x^2} + {\rm{ }}{7 \over {12}}x = 19\].

Bài giải:

a] \[{x^2} = {\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}288{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}12x{\rm{ }} - {\rm{ }}288{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - 6} \right]^{2}}-{\rm{ }}1{\rm{ }}.{\rm{ }}\left[ { - 288} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}36{\rm{ }} + {\rm{ }}288{\rm{ }} = {\rm{ }}324\]

\[\sqrt {\Delta '}  = 18\]

\[{x_1} = {\rm{ }}6{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}24,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}6{\rm{ }}-{\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }} - 12\]

b]  \[{1 \over {12}}{x^2} + {\rm{ }}{7 \over {12}}x = 19\]

\[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}228{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}49{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}\left[ { - 228} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}49{\rm{ }} + {\rm{ }}912{\rm{ }} = {\rm{ }}961{\rm{ }} = {\rm{ }}{31^2}\]

\[{x_1} = {\rm{ }}{{ - 7 + 31} \over 2} = 12,{x_2} = {\rm{ }}{{ - 7 - 31} \over 2} =  - 19\]

Bài 22 trang 49 sgk Toán 9 tập 2

Bài 22. Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

a]\[15{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}2005{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];           

b] \[ - {{19} \over 5}{x^2} - \sqrt 7 x + 1890 = 0\].   

Giải

Khi phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có \[a\] và \[c\] trái dấu thì \[ac < 0\], suy ra \[–ac > 0\]; hơn nữa \[{b^2} \ge {\rm{ }}0\]. Do đó \[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}4ac{\rm{ }} > {\rm{ }}0\]. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a]    Phương trình \[15{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}2005{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 15\], \[c = -2005\] trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b]    Phương trình \[ - {{19} \over 5}{x^2} - \sqrt 7 x + 1890 = 0\]  có

\[a \]= \[-\frac{19}{5}\] và \[c = 1890\] trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 23 trang 50 sgk Toán 9 tập 2

Bài 23 Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc \[v\] của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức:

\[v{\rm{ }} = {\rm{ }}3{t^2}-{\rm{ }}30t{\rm{ }} + {\rm{ }}135\],

[\[t\] tính bằng phút, \[v\] tính bằng km/h].

a] Tính vận tốc của ôtô khi \[t = 5\] phút.

b] Tính giá trị của \[t\] khi vận tốc ôtô bằng 120 km/h [làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai].

Bài giải:

a] Khi \[t = 5\] [phút] thì \[v{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}{5^2}-{\rm{ }}30{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}135{\rm{ }} = {\rm{ }}60\] [km/h]

b] Khi \[v = 120\] [km/h], để tìm \[t\] ta giải phương trình

\[120{\rm{ }} = {\rm{ }}3{t^2}-{\rm{ }}30t{\rm{ }} + {\rm{ }}135\]

Hay \[{t^2}-{\rm{ }}10t{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.{\rm{  }}\].

Có \[a{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }} - 10,{\rm{ }}b'{\rm{ }} = {\rm{ }} - 5,{\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}5\].

\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{5^2}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}25{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}20,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '}  = {\rm{ }}2\sqrt 5 \]

\[{t_1} = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}2\sqrt 5 {\rm{ }} \approx {\rm{ }}9,47,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}2\sqrt 5 {\rm{ }} \approx {\rm{ }}0,53\]

Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên \[0 < t < 10\] nên cả hai giá trị của \[t\] đều thích hợp. Vậy \[{t_1} \approx {\rm{ }}9,47\] [phút], \[{t_2} \approx {\rm{ }}0,53\] [phút].

Bài 24 trang 50 sgk Toán 9 tập 2

Bài 24. Cho phương trình [ẩn \[x\]] \[{x^2}-{\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\].

a] Tính \[\Delta '\].

b] Với giá trị nào của \[m\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Có nghiệm kép ? Vô nghiệm ?

Bài giải:

a] \[{x^2}-{\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\] có \[a = 1, b = -2[m - 1], b' = -[m - 1]\], \[c{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^2}\]

\[\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - \left[ {m{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]} \right]^2}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}{m^2}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m\]

b] Ta có \[\Delta' = 1 – 2m\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \[1 – 2m > 0\] hay khi \[m < \frac{1}{2}\]

Phương trình vô nghiệm khi \[m > \frac{1}{2}\]

Phương trình có nghiệm kép khi \[m = \frac{1}{2}\].

Giaibaitap.me

Page 12

Bài 25 trang 52 sgk Toán 9 tập 2

Bài 25. Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm [nếu có]. Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống [..]:

a] \[2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[{\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \];

b] \[5{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}35{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \];

c] \[8{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Delta  = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \];

d] \[25{x^2} + {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \].

Bài giải:

a] \[2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 2, b = -17, c = 1\]

\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - 17} \right]^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}289{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}281\]

\[{x_1} + {x_2} =  - {{ - 17} \over 2} = {{17} \over 2};{x_1}{x_2} = {1 \over 2}\]

b] \[5{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}35{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 5, b = -1, c = -35\]

\[\Delta  = {\left[ { - 1} \right]^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}\left[ { - 35} \right] = 1 + 700 = 701\]

\[{x_1} + {x_2} =  - {{ - 1} \over 5} = {\rm{ }}{1 \over 5};{x_1}{x_2} = {{ - 35} \over 5} =  - 7\]

c] \[8{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 8, b = -1, c = 1\]

\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - 1} \right]^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}8{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}32{\rm{ }} = {\rm{ }} - 31{\rm{ }} < {\rm{ }}0\]

Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.

d] \[25{x^2} + {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 25, b = 10, c = 1\]

\[\Delta  = {\rm{ }}{10^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}25{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}100{\rm{ }} - {\rm{ }}100{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[{x_1} + {x_2} =  - {{10} \over {25}} =  - {2 \over 5};{x_1}{x_2} = {1 \over {25}}\]

Bài 26 trang 53 sgk Toán 9 tập 2

Bài 26. Dùng điều kiện \[a + b + c = 0\] hoặc \[a - b + c = 0\] để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :

a] \[35{x^2}-{\rm{ }}37x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

b] \[{\rm{ }}7{x^2} + {\rm{ }}500x{\rm{ }} - {\rm{ }}507{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

c] \[{x^2} - {\rm{ }}49x{\rm{ }} - {\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

d] \[4321{x^2} + {\rm{ }}21x{\rm{ }} - {\rm{ }}4300{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].

Bài giải

a] \[35{x^2}-{\rm{ }}37x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 0, b = -37, c = 2\]

Do đó: \[a + b + c = 35 + [-37] + 2 = 0\]

nên \[{x_1} = 1;{x_2} = {2 \over {35}}\]

b] \[7{x^2} + {\rm{ }}500x{\rm{ }} - {\rm{ }}507{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a=7, b = 500, c=-507\]

Do đó: \[a + b + c = 7 + 500 - 507=0\]

nên \[{x_1} = 1;{x_2} =  - {{507} \over 7}\]

c] \[{x^2} - {\rm{ }}49x{\rm{ }} - {\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 1, b = -49, c = -50\]   

Do đó \[a - b + c = 1 - [-49] - 50 = 0\]

nên \[{x_1} =  - 1;{x_2} =  - {{ - 50} \over 1} = 50\]

d] \[4321{x^2} + {\rm{ }}21x{\rm{ }} - {\rm{ }}4300{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 4321, b = 21, c = -4300\]

Do đó \[a - b + c = 4321 - 21 + [-4300] = 0\]

nên \[{x_1} =  - 1;{x_2} =  - {{ - 4300} \over {4321}} = {{4300} \over {4321}}\].

Bài 27 trang 53 sgk Toán 9 tập 2

Bài 27. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a] \[{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];            

b] \[{x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Bài giải:

a] \[{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 1, b = -7, c = 12\]

nên \[{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {{ - 7} \over 1} = 7 = 3 + 4\]

\[{x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = 3.4\]

Vậy \[{x_1} = {\rm{ }}3,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\].

b] \[{x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a = 1, b = 7, c = 12\]

nên \[{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {7 \over 1} =  - 7 =  - 3 + [ - 4]\]

\[{x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = [ - 3].[ - 4]\]

Vậy \[{x_1} = {\rm{ }} - 3,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 4\].

Giaibaitap.me

Page 13

Bài 28 trang 53 sgk Toán 9 tập 2

Bài 28. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a] \[u + v = 32, uv = 231\];            

b] \[u + v = -8, uv = -105\];

c] \[u + v = 2, uv = 9\]

Bài giải:

a] \[u\] và \[v\] là nghiệm của phương trình: \[{x^2}-{\rm{ }}32x{\rm{ }} + {\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ [ - }}16{]^2}-{\rm{ }}231.1{\rm{ }} = {\rm{ }}256{\rm{ }}-{\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}25,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}5\]

\[{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}21,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}11\]

Vậy \[u = 21, v = 11\] hoặc \[u = 11, v = 21\]

b] \[u\], \[v\] là nghiệm của phương trình:

\[{{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\]

\[\Delta {\rm{ }} = {4^2}{\rm{ - 1}}{\rm{.[ - 105] =  }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}121,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}11{\rm{ }}\]

\[{x_1}{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4{\rm{ }} + {\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}7\], \[{{x_2} = {\rm{ }} - 4{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }} - 15}\]

Vậy \[u = 7, v = -15\] hoặc \[u = -15, v = 7\].

c] Vì \[{{2^{2}}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}0}\] nên không có giá trị nào của \[u\] và \[v\] thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài 29 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 29. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm [nếu có] của mỗi phương trình sau:

a] \[4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];                     

b] \[9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];

c] \[5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];                      

d] \[159{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

 Bài giải:

a] Phương trình \[4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có nghiệm vì \[a = 4, c = -5\] trái dấu nhau nên

\[{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {1 \over 2},{x_1}{x_2} =  - {5 \over 4}\]

b] Phương trình \[9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[\Delta' = 36 - 36 = 0\]

\[{x_1} + {x_2} = {{12} \over 9} = {4 \over 3},{x_1}{x_2} = {4 \over 9}\]

c] Phương trình \[5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có  

\[\Delta =\] \[{1^2} - {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 39{\rm{ }} < {\rm{ }}0\]

Phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.

d] Phương trình \[159{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có hai nghiệm phân biệt vì \[a\] và \[c\] trái dấu

\[{x_1} + {x_2} = {\rm{ }}{2 \over {159}},{x_1}{x_2} =  - {1 \over {159}}\]

Bài 30 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 30. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a] \[{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];                       

b] \[{x^2}-{\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\]

Bài giải

a] Phương trình \[{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có nghiệm khi \[\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\] hay khi \[m ≤ 1\]

Khi đó \[{x_{1}} + {\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }}2\], \[{\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}m\]

b] Phương trình \[{x^2}-{\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\] có nghiệm khi

  \[\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^{2}} - {\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\] 

hay khi \[m  ≤\] \[\frac{1}{2}\]

Khi đó \[{x_{1}} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]\], \[{\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}{m^2}\]

Giaibaitap.me

Page 14

Bài 31 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a] \[1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];          

b] \[\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

c] \[\left[ {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];

d] \[\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{x^2}-{\rm{ }}\left[ {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] với \[m ≠ 1\].
Bài giải:

a] Phương trình \[1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Có \[a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0\] nên \[{x_1} = 1;{x_2} = {\rm{ }}{{0,1} \over {15}} = {1 \over {150}}\]

b] Phương trình \[\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Có \[a – b + c = \sqrt{3} + [1 - \sqrt{3}] + [-1] = 0\] nên \[{x_1} =  - 1,{x_2} =  - {{ - 1} \over {\sqrt 3 }} = {\rm{ }}{{\sqrt 3 } \over 3}\]

c] \[\left[ {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Có \[a + b + c = 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} – [2 + \sqrt{3}] = 0\]

Nên \[{x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{ - [2 + \sqrt 3 ]} \over {2 - \sqrt 3 }} =  - {[2 + \sqrt 3 ]^2} =  - 7 - 4\sqrt 3 \]

d] \[\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{x^2}-{\rm{ }}\left[ {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Có \[a + b + c = m – 1 – [2m + 3] + m + 4 = 0\]

Nên \[{x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}\]

Bài 32 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 32. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a] \[u + v = 42\], \[uv = 441\];                        

b] \[u + v = -42\], \[uv = -400\];

c] \[u – v = 5\], \[uv = 24\].

Bài giải:

a] \[u + v = 42\], \[uv = 441\] => \[u, v\] là nghiệm của phương trình:

\[{x^2}-{\rm{ }}42x{\rm{ }} + {\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{21^2}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}0;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}21\]

Vậy \[u = v = 21\]

b] \[u + v = -42, uv = -400\], \[u, v\] là nghiệm của phương trình:

\[{x^2} + {\rm{ }}42x{\rm{ }}-{\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }} + {\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}841\]

\[\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}29;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}8,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 50\].

Do đó: \[u = 8, v = -50\] hoặc \[u = -50, v = 8\]

c] \[u – v = 5, uv = 24\]. Đặt \[–v = t\], ta có \[u + t = 5, ut = -24\], ta có \[u,t\] là nghiệm của phương trình: \[{x^2} - 5x - 24 = 0\]

Giải ra ta được: \[{x_1} = {\rm{ 8}},{\rm{ }}{x_2} = {\rm{  - 3}}\]

Vậy \[u = 8, t = -3\] hoặc \[u = -3, t = 8\].

Do đó: \[u = 8, v = 3\] hoặc \[u = -3, t = 8\].

Bài 33 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có nghiệm là \[{x_1}\] và \[{x_2}\] thì tam thức  \[a{x^2} + bx + c \] phân tích được thành nhân tử như sau:

\[a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a[x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1}][x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}]\].

Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a]\[2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\]

b] \[{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\]

Bài giải:

Biến đổi vế phải: \[a[x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1}][x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}]{\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a[{x_1} + {\rm{ }}{x_2}]x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}\]

\[ = a{x^2} - a\left[ { - {b \over a}} \right]x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c\]

Vậy phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có nghiệm là \[{x_1},{x_2}\] thì:

            \[a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a[x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1}][x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}]\].      

Áp dụng:

a] Phương trình \[2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] có \[a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0\] nên có hai nghiệm là \[{x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}\] nên:

\[2{x^2}{\rm{  + }}5x + 3 = 2[x{\rm{ - }}1][x - {\rm{ }}{3 \over 2}] = [x - 1][2x - 3]\]

b] Phương trình  \[{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\] có \[a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2\].

Nên \[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\], có hai nghiệm là:

\[{x_1}\] = \[\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}\], \[{x_2}\]= \[\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}\]

nên: \[3{x^2} + 8x + 2 = 3[x - {\rm{ }}{{ - 4 - \sqrt {10} } \over 3}][x - {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {10} } \over 3}]\]

\[ = 3[x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3}][x + {\rm{ }}{{4 - \sqrt {10} } \over 3}]\]

Giaibaitap.me

Page 15

Bài 34 trang 56 sgk Toán 9 tập 2

Bài 34. Giải các phương trình trùng phương:

a] \[{x^4}-{\rm{ }}5{x^2} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];    

b] \[2{x^4}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];     

c] \[3{x^4} + {\rm{ }}10{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Bài giải:

a] \[{x^4}-{\rm{ }}5{x^2} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Đặt \[{x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\], ta có: \[{t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0;{\rm{ }}{t_1} = {\rm{ }}1,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }}4\]

Nên: \[{x_1} = {\rm{ }} - 1,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}1,{\rm{ }}{x_3} = {\rm{ }} - 2,{\rm{ }}{x_4} = {\rm{ }}2\].

b]\[2{x^4}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].

Đặt \[{x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\], ta có: \[2{t^2}{\rm{  - }}3t{\rm{  - }}2 = 0;{t_1} = 2,{t_2} = {\rm{ }} - {1 \over 2}\] [loại]

Vậy:\[{x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 ;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{  - }}\sqrt 2 \]

c] \[3{x^4} + {\rm{ }}10{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Đặt \[{x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\], ta có:\[3{t^2} + 10t + 3 = 0\]; \[{t_1} =  - 3\] [loại], \[{t_2} = {\rm{ }} - {1 \over 3}\] [loại].

Phương trình vô nghiệm.

Bài 35 trang 56 sgk toán 9 tập 2

Bài 35. Giải các phương trình:

a] \[\frac{[x+ 3][x-3]}{3}+ 2 = x[1 - x]\];   

b] \[\frac{x+ 2}{x-5} + 3 = \frac{6}{2-x}\];

c] \[\frac{4}{x-1}\] = \[\frac{-x^{2}-x+2}{[x+1][x+2]}\]

Bài giải:

a] \[\frac{[x+ 3][x-3]}{3}+ 2 = x[1 - x]\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9 + 6 = 3x{\rm{  - }}3{x^2}\]

\[\Leftrightarrow 4{x^2}{\rm{  - }}3x{\rm{  - }}3 = 0;\Delta  = 57\]

\[{x_1} = {\rm{ }}{{3 + \sqrt {57} } \over 8},{x_2} = {\rm{ }}{{3 - \sqrt {57} } \over 8}\]

b] \[\frac{x+ 2}{x-5}\] + 3 = \[\frac{6}{2-x}\]. Điều kiện \[x ≠ 2, x ≠ 5\].

\[[x + 2][2 – x] + 3[x – 5][2 – x] = 6[x – 5]\]

\[ \Leftrightarrow 4{\rm{  - }}{x^2}{\rm{  - }}3{x^2} + 21x{\rm{  - }}30 = 6x{\rm{  - }}30\]

\[\Leftrightarrow 4{x^2}{\rm{  - }}15x{\rm{  - }}4 = 0,\Delta  = 225 + 64 = 289,\sqrt \Delta   = 17\]

\[{x_1} = {\rm{ }} - {1 \over 4},{x_2} = 4\]

c] \[\frac{4}{x-1}\] = \[\frac{-x^{2}-x+2}{[x+1][x+2]}\]. Điều kiện: \[x ≠ -1; x ≠ -2\]

Phương trình tương đương:\[4\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }} - {x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\]

\[{ \Leftrightarrow {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x}\]

\[{ \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\]

Giải ra ta được: \[{x_1} = {\rm{ }} - 2\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm \[x = -3\].

Bài 36 trang 56 sgk toán 9 tập 2

Bài 36. Giải các phương trình:

a] \[[3{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1][{x^2}-{\rm{ }}4]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];

b] \[{[2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4]^2}-{\rm{ }}{\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^2} = {\rm{ }}0\]

Bài giải:

a] \[[3{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1][{x^2}-{\rm{ }}4]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 3{x^2} - 5x + 1 = 0 \hfill \cr {x^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{5 \pm \sqrt {13} } \over 6} \hfill \cr

x{\rm{ }} = {\rm{ }} \pm 2 \hfill \cr} \right.\]

b] \[{[2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4]^2}-{\rm{ }}{\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^2} = {\rm{ }}0\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}[2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1][2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1]{\rm{ }} \]\[= {\rm{ }}0\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}[2{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}5][2{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr

2{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right.\]

\[{x_1} = {\rm{ }}1;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 2,5;{\rm{ }}{x_3} = {\rm{ }} - 1;{\rm{ }}{x_4} = {\rm{ }}1,5\]

loigiaihay.com

Bài 37 trang 56 sgk Toán 9 tập 2

Bài 37. Giải phương trình trùng phương:

a] \[9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\];

b] \[5{x^4} + 2{x^2}{\rm{  - }}16 = 10{\rm{  - }}{x^2}\];

c] \[0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0\];

d] \[2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4\]

Bài giải:

a] \[9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\]. Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0\], ta có: \[9{t^2}-{\rm{ }}10t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].

Vì \[a + b + c = 9 – 10 + 1 = 0\] nên \[{t_1} = 1,{t_2} = {1 \over 9}\]

Suy ra: \[{x_1} =  - 1,{x_2} = 1,{x_3} =  - {1 \over 3},{x_4} = {\rm{ }}{1 \over 3}\]

b] \[5{x^4} + 2{x^2}{\rm{  - }}16 = 10{\rm{  - }}{x^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}5{x^4} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].

Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0\], ta có: \[5{t^2} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} - 26{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}529{\rm{ }} = {\rm{ }}{23^2}\];

\[{\rm{ }}{t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 2,6\] [loại]. Do đó: \[{x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - \sqrt 2 \]

c] \[0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0\] 

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}6{x^2} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

 Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0\], ta có:

\[{t^2} + {\rm{ }}6t{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[{\rm{ }}{t_1} = {\rm{ }} - 1\] [loại], \[{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 5\] [loại].

Phương trình vô nghiệm,

Chú ý:  Cũng có thể nhẫn xét rằng vế trái \[{x^4} + {\rm{ }}6{x^2} + {\rm{ }}5{\rm{ }} \ge {\rm{ }}5\], còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.

d] \[2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4\] \[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 5 - {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} = 0\].

Điều kiện \[x ≠ 0\]

\[2{x^4} + {\rm{ }}5{x^2}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0\], ta có:

\[2{t^2} + 5t{\rm{  - }}1 = 0;\Delta  = 25 + 8 = 33\],

\[{t_1} = {\rm{ }}{{ - 5 + \sqrt {33} } \over 4},{t_2} = {\rm{ }}{{ - 5 - \sqrt {33} } \over 4}\] [loại]

Do đó \[{x_1} = {\rm{ }}{{\sqrt { - 5 + \sqrt {33} } } \over 2},{x_2} = {\rm{ }} - {{\sqrt { - 5 + \sqrt {33} } } \over 2}\]

Giaibaitap.me

Page 16

Bài 38 trang 56 sgk Toán 9 tập 2

Bài 38. Giải các phương trình:

a] \[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right]^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\];

b] \[{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]^2} = {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right][{x^2}-{\rm{ }}2]\];

c] \[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x[{x^2} + {\rm{ }}1,5]\];

d] \[\frac{x[x - 7]}{3} – 1\] = \[\frac{x}{2}\] - \[\frac{x-4}{3}\];

e] \[\frac{14}{x^{2}-9}\] = \[1 - \frac{1}{3-x}\];           

f] \[\frac{2x}{x+1}\] = \[\frac{x^{2}-x+8}{[x+1][x-4]}\]

Bài giải:

a]   \[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right]^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Delta  = 25{\rm{  - }}16 = 9,{x_1} =  - 2,{x_2} =  - {1 \over 2}\]

b] \[{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]^2} = {\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right][{x^2}-{\rm{ }}2]\]

\[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}-{\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\]

\[{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Delta'  = 16 + 22 = 38,{x_1} = {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {38} } \over 2},{x_2} = {{ - 4 - \sqrt {38} } \over 2}\]

c] \[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x[{x^2} + {\rm{ }}1,5]\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}1,5x\]

\[\Leftrightarrow {\rm{ }}2,5{x^2}-{\rm{ }}1,5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}5{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];

\[{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }}-{\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }} - 31{\rm{ }} < {\rm{ }}0\]

Phương trình vô nghiệm

d] \[\frac{x[x - 7]}{3}– 1\] = \[\frac{x}{2}\] - \[\frac{x-4}{3}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}2x\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]\]

\[\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}14x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}8\]

\[\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}15x{\rm{ }}-{\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}0;\]

\[\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}225{\rm{ }} + {\rm{ }}112{\rm{ }} = {\rm{ }}337\]

\[{x_1} = {{15 + \sqrt {337} } \over 4},{x_2} = {\rm{ }}{{15 - \sqrt {337} } \over 4}\]

e] \[\frac{14}{x^{2}-9}\] = 1 - \[\frac{1}{3-x}\]. Điều kiện: \[x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm 3\]

Phương trình được viết lại: \[\frac{14}{x^{2}-9}\] = \[1 + \frac{1}{x- 3}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3 \]

\[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}0\],

\[{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}81\]

Nên \[{x_1} = {{ - 1 - 9} \over 2} =  - 5;{x_2} = {{ - 1 + 9} \over 2} = 4\] [thỏa mãn]

Vậy phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = {\rm{ }} - 5,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\].

f] \[\frac{2x}{x+1}\] = \[\frac{x^{2}-x+8}{[x+1][x-4]}\]. Điều kiện: \[x ≠ -1, x ≠ 4\]

Phương trình tương đương với:

\[2x\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}8\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Có \[a – b + c = 1 – [-7] – 8 = 0\] nên \[{x_1} = - 1,{x_2} = 8\]

Vì \[{x_1} = - 1\]không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là \[x = 8\].

Bài 39 trang 57 sgk Toán 9 tập 2

Bài 39. Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

a] \[[3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10][2{x^2} + {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];

b] \[{x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];                     

c] \[[{x^{2}} - {\rm{ }}1]\left[ {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\];

d] \[{[{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5]^2} = {\rm{ }}{[{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5]^2}\].

Bài giải.

a] \[[3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10][2{x^2} + {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Leftrightarrow\]\[\left[ \matrix{ [3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10]{\rm{ }} = {\rm{ }}0[1] \hfill \cr

2{x^2} + {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right]x{\rm{ }} + \sqrt 5 -{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0[2] \hfill \cr} \right.\]

Giải [1]: phương trình \[a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0\]

nên \[{x_1} =  - 1,{x_2} =  - {{ - 10} \over 3} = {{10} \over 3}\]

Giải [2]: phương trình có \[a + b + c = 2 + [1 -  \sqrt{5}] +  \sqrt{5} - 3 = 0\]

nên  \[{x_3} = 1,{x_4} = {{\sqrt 5  - 3} \over 2}\]

b] \[{x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] \[\Leftrightarrow {x^2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}2\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \]

\[\Leftrightarrow \left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right][{x^2} - {\rm{ }}2]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Leftrightarrow\]\[\left[ \matrix{ x + 3 = 0 \hfill \cr

{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right.\]

Giải ra \[{x_1} = {\rm{ }} - 3,{\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }} - \sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_{3}} = \sqrt 2 \]

c] \[[{x^{2}} - {\rm{ }}1]\left[ {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\] \[ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]\left[ {{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 0,6x + 1 = 0[1] \hfill \cr

{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0[2] \hfill \cr} \right.\]

[1] ⇔ \[0,6x + 1 = 0 \]

\[ \Leftrightarrow {x_1} =  - {1 \over {0,6}} =  - {5 \over 3}\]

[2]:\[\Delta  = {[ - 1]^2} - 4.1.[ - 1] = 1 + 4 = 5,\sqrt \Delta   = \sqrt 5,\]

\[{x_2} = {\rm{ }}{{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\]

Vậy phương trình có ba nghiệm:

\[{x_1} =  - {5 \over 3},{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\],

d] \[{[{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5]^2} = {\rm{ }}{[{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5]^2}\]\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{[{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5]^2} - {\rm{ }}{[{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5]^2} = {\rm{ }}0\]

\[\Leftrightarrow [{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5].\]

\[[{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}5]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}[2{x^2} + {\rm{ }}x]\left[ {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

⇔\[ x[2x + 1][3x – 10] = 0\]

Hoặc \[x = 0\], \[x = -\frac{1}{2}\] , \[x = \frac{10}{3}\] 

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

$$ \Leftrightarrow {x_1} =  - {1 \over {0,6}} =  - {5 \over 3}$$

Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2

Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a] \[3{[{x^2} + {\rm{ }}x]^2}-{\rm{ }}2[{x^2} + {\rm{ }}x]{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];            

b] \[{[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2]^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];

c] \[x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\];                             

d] \[\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3\]

Hướng dẫn: a] Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\], ta có phương trình \[3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \[t\]. Thay mỗi giá trị của \[t\] vừa tìm được vào đằng thức \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\] , ta được một phương trình của ẩn \[x\]. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \[x\].

d] Đặt \[\frac{x+1}{x} = t\] hoặc \[\frac{x}{x+ 1} = t\]

Bài giải:

a] \[3{[{x^2} + {\rm{ }}x]^2}-{\rm{ }}2[{x^2} + {\rm{ }}x]{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\], ta có:

\[3{t^2}{\rm{  - }}2t{\rm{  - }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} =  - {1 \over 3}\]

Với \[{t_1} = 1\], ta có: \[{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\] hay \[{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\Delta {\rm{  = }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{  = }}5,{\rm{ }}\sqrt \Delta   = \sqrt 5 \]

\[{x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\]

Với \[{t_2}= -\frac{1}{3}\], ta có: \[{x^2} + x =  - {1 \over 3}\]hay \[3{x^2} + 3x{\rm{  + }}1{\rm{  = }}0\]:

Phương trình vô nghiệm, vì \[\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\]

b] \[{[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2]^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\], ta có phương trình \[{t^2} + {\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Giải ra ta được \[{t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 3\].

- Với \[{t_1}= 2\] ta có: \[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}2\] hay \[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Suy ra \[{x_1} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\].

- Với \[{t_2}= -3\], ta có: \[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3\] hay \[{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].

Phương trình này vô nghiệm vì \[\Delta= {[-4]}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{x_1} = 0, {x_2}= 4\].

c] \[x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\]. Điều kiện: \[x ≥ 0\]. Đặt \[t = \sqrt{x}, t ≥ 0\]

Ta có:\[{t^2}-{\rm{ }}6t{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Suy ra: \[{t_1}= -1\] [loại], \[{t_2}= 7\]

Với \[t = 7\], ta có: \[\sqrt{x} = 7\]. Suy ra \[x = 49\].

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: \[x = 49\]

d] \[\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3\]. Điều kiện: \[x ≠ -1, x ≠ 0\]

Đặt \[\frac{x}{x+ 1}\] = t, ta có: \[\frac{x+1}{x}\] = \[\frac{1}{t}\]. Vậy ta có phương trình: \[t - \frac{10}{t} – 3 = 0\]

hay: \[{t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }}-{\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]. Suy ra \[{t_1} = 5, {t_2} = -2\].

- Với \[{t_1}= 5\], ta có \[\frac{x}{x+ 1} = 5\] hay \[x = 5x + 5\]. Suy ra \[x = -\frac{5}{4}\]

-  Với \[{t_2} = -2\], ta có \[\frac{x}{x+ 1}= -2\] hay \[x = -2x – 2\]. Suy ra \[x = -\frac{2}{3}\].

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{x_1}= -\frac{5}{4}\], \[{x_2} =-\frac{2}{3}\]  

Giaibaitap.me

Page 17

Bài 41 trang 58 sgk Toán 9 tập 2

Bài 41. Trong lúc học nhóm bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ?

Bài giải.

Gọi số mà một bạn đã chọn là: \[x\] và số bạn kia chọn là: \[x+5\].

Tích của hai số là: \[x[x+5]\]

Theo đầu bài ta có phương trình:

\[x[x+5]=150\] hay \[{x^2}+5x-150=0\]

Giải phương trình ta được: \[{x_1}=10,{x_2}=-15\]

Vậy:+] nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.

      +] nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Lan chọn số -10 hoặc ngược lại.

Bài 42 trang 58 sgk Toán 9 tập 2

Bài 42. Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm ?

Bài giải:

Gọi lãi suất cho vay là \[x\] [%], \[[x > 0]\].

Tiền lãi sau một năm là: \[2 000 000 . \frac{x}{100}\] hay \[20000x\] [đồng]

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: \[2 000 000 + 20000x\] [đồng]

Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là:

\[[2 000 000 + 20000x]\frac{x}{100}\]hay \[20000x + 200{x^2}\]

Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:

\[2 000 000 + 40000x + 200x^2\]

Theo đầu bài ra ta có phương trình:

\[2 000 000 + 40 000x + 200x^2= 2 420 000\]

hay \[x^2+ 200x - 2 100 = 0\]

Giải phương trình:

\[\Delta = 100^2 - 1 . [-2 100] = 10 000 + 2 100 = 12 100\]

\[=>  \sqrt{\Delta'}= 110\]

nên \[{x_1}\] = \[\frac{-100-110}{1} = -210\], \[{x_2}\]= \[\frac{-100+110}{1}= 10\]

  Vì \[x > 0\] nên \[{x_1}\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy lãi suất là 10%.

Bài 43 trang 58 sgk Toán 9 tập 2

Bài 43. Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài \[120\] km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường dài hơn đường lúc đi \[5\]km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là \[5\] km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.

Bài giải:

Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là \[x\][km/h], \[x > 0\], thì vân tốc lúc về là \[x - 5\] [km/h].

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: \[\frac{120}{x}  + 1\] [giờ]

Đường về dài: \[120 + 5 = 125\] [km]

Thời gian về là: \[\frac{125}{x-5}\] [giờ]

Theo đầu bài có phương trình: \[\frac{120}{x} + 1 =\frac{125}{x-5}\]

Giải phương trình:

\[x^2 – 5x + 120x – 600 = 125x \Leftrightarrow x^2 – 10x – 600 = 0\]

∆’ = [-5]2 – 1 . [-600] = 625, √∆’ = 25

\[{x_1} = 5 – 25 = -20, {x_2} = 5 + 25 = 30\]

Vì \[x > 0\] nên \[{x_1} = -20\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

 Vậy vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h

Bài 44 trang 58 sgk Toán 9 tập 2

Bài 44. Đố em vừa tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một đơn vị.

Giải

Gọi số phải tìm là \[x\].

Theo giả thiết một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là: \[\frac{x}{2}\] - \[\frac{1}{2}\]

Theo đầu bài ta có phương trình: \[[\frac{x}{2}-\frac{1}{2}]\]\[\frac{x}{2}\] = \[\frac{1}{2}\]

hay \[x^2 – x – 2 = 0\], có \[a – b + c = 1 – [-1] – 2 = 0\] nên: \[{x_1} = -1, {x_2} = 2\]

Vậy số phải tìm bằng -1 hoặc 2.

Giaibaitap.me

Page 18

Bài 45 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bài 45. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Bài giải:

Gọi số bé là \[x\], \[x ∈ N, x > 0\],

số tự nhiên kề sau là \[x + 1\].

Tích của hai số này là \[x[x + 1]\] hay \[x^2+ x\].

Theo đầu bài ta tích của hai số lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình:

\[x^2 + x - 2x - 1 = 109\] hay \[x^2- x - 110 = 0\]

Giải phương trình: \[\Delta = 1 + 440 = 441\], \[\sqrt{\Delta} = 21\]

\[{x_1} = 11, {x_2} = -10\]

Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = -10\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy hai số phải tìm là: 11 và 12

Bài 46 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bài 46. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \[240\] m2. Nếu tăng chiều rộng \[3\] m và giảm chiều dài \[4\] m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

Bài giải:

Gọi chiều rộng của mảnh đất là \[x\] [m], \[x > 0\].

Vì diện tích của mảnh đất bằng \[240\] m2 nên chiều dài là: \[\frac{240}{x}\] [m]

Nếu tăng chiều rộng \[3\]m và giảm chiều dài \[4\]m thì mảnh đất mới có chiều rộng là \[x + 3\] [m],

chiều dài là [\[\frac{240}{x}- 4]\] [m] và diện tích là:

\[[x + 3][\frac{240}{x}\] - 4] [ m2 ]

Theo đầu bài ta có phương trình: \[[x + 3][\frac{240}{x}- 4] = 240\]

Từ phương trình này suy ra:

\[-4x^2 – 12x + 240x + 720 = 240x\]

hay \[x^2 + 3x – 180 = 0\]

Giải phương trình: \[\Delta = 3^2 + 720 = 729\], \[\sqrt{\Delta} = 27\]

\[{x_1} = 12, {x_2} = -15\]

Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = -15\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là \[12\]m, chiều dài là: \[240 : 12 = 20\] [m]

Vậy mảnh đất có chiều rộng là \[12\]m, chiều dài là \[20\]m.

Bài 47 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bài 47. Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài \[30\] km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là \[3\] km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh sớm hơn cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe mỗi người.

Bài giải:

Gọi vận tốc của bác Hiệp là \[x\] [km/h], \[x > 0\] khi đó vận tốc của cố Liên là \[x - 3\] [km/h]

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là \[\frac{30}{x}\] [giờ].

Thời gian bác Liên đi từ làng lên tỉnh là: \[\frac{30}{x-3}\] [giờ]

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình:

\[\frac{30}{x-3}\] - \[\frac{30}{x}\] = \[\frac{1}{2}\]

Giải phương trình:

\[x[x - 3] = 60x - 60x + 180\] hay \[x^2 – 3x - 180 = 0\]

\[{x_1} = 15, {x_2} = -12\]

Vì \[x > 0 \]nên \[{x_2} = -12\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của bác Hiệp là \[15\] km/h

Vận tốc của cô Liên là \]12\] km/h

Giaibaitap.me

Page 19

Bài 48 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bài 48. Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng \[5\] dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích \[1500\] dm3 [h.15]. Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

Bài giải:

Gọi chiều rộng của miếng tôn là \[x\] [dm], \[x > 0\].

Chiều dài của nó là \[2x\] [dm]

Khi làm thành một cái thùng không đáy thì chiều dài của thùng là \[2x - 10\] [dm], chiều rộng là \[x - 10\] [dm], chiều cao là \[5\] [dm].

Dung tích của thùng là \[5[2x - 10][x - 10]\] [dm3]

Theo đầu bài ta có phương trình:

\[5[2x - 10][x - 10] = 1500\] hay

\[x^2 – 15x – 100 = 0\]

Giải phương trình: \[\Delta = 225 + 400 = 625\], \[\sqrt{\Delta} = 25\]

\[{x_1} = 20, {x_2} = -5\] [loại]

Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng 20 [dm], chiều dài bằng 40 [dm].

Bài 49 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bài 49. Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc ?

Bài giải:

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là \[x\] [ngày], \[x > 0\].

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là \[x + 6\] [ngày].

Mỗi ngày đội I làm được \[\frac{1}{x}\] [công việc].

Mỗi ngày đội II làm được \[\frac{1}{x+6}\] [công việc]

Hai đội làm 4 ngày xong công việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được \[\frac{1}{4}\] công việc ta có phương trình:

\[\frac{1}{x}\] + \[\frac{1}{x+6}\] = \[\frac{1}{4}\]

Giải phương trình: \[x[x + 6] = 4x + 4x + 24\] hay \[x^2– 2x - 24 = 0\], \[\Delta' = 1 + 24 = 25 = 5^2\]

\[{x_1} = 1 + 5 = 6, {x_2} = 1 - 5 = -4\]

Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = 1 - 5 = -4\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy một mình đội I làm trong \[6\] ngày thì xong việc.

Một mình đội II làm trong \[12\] ngày thì xong việc.

Bài 50 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bài 50. Miếng kim loại thứ nhất nặng \[880\] g, miếng kim loại thứ hai nặng \[858\] g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là \[10\] cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là \[1\] g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Bài giải:

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \[x\] [g/cm3 ]

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \[x - 1\] [g/cm3 ]

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \[\frac{880}{x}\]  [cm3 ]

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \[\frac{858}{x-1}\] [cm3 ]

Theo đầu bài thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là \[10\] cm3 nên ta có phương trình: \[\frac{858}{x-1} - \frac{880}{x} = 10\]

Giải phương trình:

\[10x[x - 1] = 858x - 880x + 880\] hay \[5x^2 + 6x - 440 = 0\]

\[\Delta'=9 + 2200 = 2209\], \[\sqrt{\Delta' }= 47\]

\[{x_1}= 8,8, {x_2} = -10\]

Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = -10\] [loại]

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \[8,8\] g/cm3

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \[7,8\] g/cm3

Giaibaitap.me

Page 20

Bài 51 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bài 51. Người ta đổ thêm \[200\] g nước vào một dung dịch chứa \[40\] g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi \[10\] %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước ?

Bài giải:

Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: \[x\] [g], \[x > 0\]

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: \[\frac{40}{x + 40}\]

Nếu đổ thêm \[200\] g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là: \[x + 40 + 200\] [g]

Nồng độ của dung dịch bây giờ là: \[\frac{40}{x + 240}\]

Vì nồng độ muối giảm \[10\]% nên ta có phương trình:

\[\frac{40}{x + 40}\] - \[\frac{40}{x + 240}\] = \[\frac{10}{100}\]

Giải phương trình:

\[[x + 40][x + 240] = 400[x + 240 - x - 40]\]

hay \[x^2 + 280x - 70400 = 0\]

\[\Delta' = 19600 + 70400 = 90000\], \[\sqrt{\Delta'} = 300\]

\[{x_1} = 160, {x_2} = -440\]

Vì \[x > 0\] nên \[{x_2} = -440\] [loại]

Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có \[160\] g nước.

Bài 52 trang 60 sgk Toán 9 tập 2

Bài 52. Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là \[30\] km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ \[40\] phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả \[6\] giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là \[3\] km/h.

Bài giải:

Gọi vận tốc thực của canô là \[x\] [km/h], \[x > 3\] , nên vận tốc khi đi xuôi dòng là: \[x + 3\] [km/h] và vận tốc khi ngược dòng là: \[x - 3\] [km/h]

Thời gian xuôi dòng là: \[\frac{30}{x + 3}\] [giờ]

Thời gian ngược dòng là: \[\frac{30}{x - 3}\] [giờ]

Nghỉ lại \[40\] phút hay \[\frac{2}{3}\] giờ ở B.

Theo đầu bài kể từ khi khời hành đến khi về tới bến A hết tất cả \[6\] giờ nên ta có phương trình: \[\frac{30}{x+ 3}+ \frac{30}{x- 3}+ \frac{2}{3} = 6\]

Giải phương trình:

\[16[x + 3][x - 3] = 90[x + 3 + x - 3]\] hay: \[4x^2 - 45x - 36 = 0\]

\[\Delta = 2025 + 576 = 2601, \sqrt{\Delta} = 51\]

\[{x_1} = 12, {x_2} = -\frac{3}{4}\] [loại]

 Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là \[12\] km/h.

Bài 53 trang 60 sgk Toán 9 tập 2

Bài 53. Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn [h.16].

Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là \[x\].

Bài giải:

Giả sử\[M\] là điểm chia đoạn \[AB\] và \[AB\] có độ dài bằng \[a\].

Gọi độ dài của \[AM = x, 0 < x < a\]. Khi đó \[MB = a - x\].

Theo đầu bài: \[{{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}\] hay \[{x \over a} = {{a - x} \over x}\]

Giải phương trình: \[x^2 = a[a - x]\] hay \[x^2 + ax - a^2= 0\]

\[\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}\]

\[{x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a[\sqrt 5  - 1]} \over 2},{x_2} = {{ - a[\sqrt 5  + 1]} \over 2}\]

Vì \[x > 0\] nên \[{x_2}\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy \[AM={{a[\sqrt 5  - 1]} \over 2}\]

Tỉ số cần tìm là: \[{{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5  - 1} \over 2}\]

Giaibaitap.me

Page 21

Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Bài 54. Vẽ đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] và \[y =  - {1 \over 4}{x^2}\] trên cùng một hệ trục tọa độ

a] Qua điểm \[B[0; 4]\] kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.

b] Tìm trên đồ thị của hàm số \[y =  - {1 \over 4}{x^2}\] điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:

- Ước lượng trên hình vẽ:

- Tính toán theo công thức.

Giải:

Vẽ đồ thị hàm số:

* Hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] và \[y =  - {1 \over 4}{x^2}\]

- Tập xác định \[D = R\]

- Bảng giá trị

- Đồ thị hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] và \[y =  - {1 \over 4}{x^2}\] là các Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\] nằm trên trục hoành, đồ thị hàm số \[y =  - {1 \over 4}{x^2}\] nằm dưới trục hoành.

a] Đường thẳng qua \[B[0; 4]\] song song với \[Ox\] cắt đồ thị tại hai điểm \[M, M'\] [xem trên đồ thị]. Từ đồ thị ta có hoành độ của \[M\] là \[x = 4\], của \[M'\] là \[x = - 4\].

b] Trên đồ thị hàm số \[y =  - {1 \over 4}{x^2}\] ta xác định được điểm \[N\] và \[N’\] có cùng hoành độ với \[M, M’\]. ta được đường thẳng \[M, M’\]

Tìm tung độ của \[N, N’\]

- Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của \[N\] là \[y = - 4\]; của \[N’\] là \[y = -4\]

- Tính toán theo công thức:

Điểm \[N\] trên \[y =  - {1 \over 4}{x^2}\] có \[x = 4\] nên \[y =  - {1 \over 4}{.4^2} =  - 4\]

Điểm \[N’\] trên \[y =  - {1 \over 4}{x^2}\] có \[x = 4\] nên \[y =  - {1 \over 4}.{[ - 4]^2} =  - 4\]

Vậy tung độ của \[N, N’ = -4\].

Bài 55 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Bài 55. Cho phương trình \[x^2 – x – 2 = 0\]

a] Giải phương trình

b] Vẽ hai đồ thị \[y = x^2\] và \[y = x + 2\] trên cùng một hệ trục tọa độ.

c] Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a] là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Hướng dẫn làm bài:

a] Giải phương trình: \[x^2 – x – 2 = 0\]

\[\Delta = [-1]^2– 4.1.[-2] = 1 + 8 > 0\]

\[\sqrt\Delta= \sqrt9 = 3\]

\[\Rightarrow {x_1} = -1; {x_2}= 2\]

b] Vẽ đồ thị hàm số

- Hàm số \[y = x^2\]

+ Bảng giá trị:

- Hàm số \[y = x + 2\]

+ Cho \[x = 0 ⇒ y = 2\] được điểm \[A[0;2]\]

+ Cho \[x = -2 ⇒ y = 0\] được điểm \[B[-2;0]\]

Đồ thị hàm số:

c] Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\[{x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_1} = - 1 \hfill \cr {x_2} = 2 \hfill \cr} \right.\] 

Điều này chứng tỏ rằng đồ thị đường thẳng cắt đồ thị parapol tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \[x = -1; x= 2\]. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình \[x^2 - x - 2 = 0\] ở câu a].

Bài 56 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Bài 56. Giải các phương trình:

a] \[3{{\rm{x}}^4} - 12{{\rm{x}}^2} + 9 = 0\]            

b] \[2{{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2 = 0\]

c] \[{x^4} + 5{{\rm{x}}^2} + 1 = 0\]  

Hướng dẫn làm bài:

a] \[3{{\rm{x}}^4} - 12{{\rm{x}}^2} + 9 = 0\]   

Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\] 

Ta có phương trình:

\[\eqalign{ & 3{t^2} - 12t + 9 = 0 \cr

& \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \cr} \] 

Phương trình có \[a + b + c = 0\] nên có hai nghiệm \[{t_1} = 1; {t_2} = 3\] [đều thỏa mãn]

Với \[{t_1} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\]

Với \[{t_2} = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3\]

b] \[2{{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2 = 0\]

Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\]  

Ta có phương trình :

\[\eqalign{ & 2{t^2} + 3t - 2 = 0 \cr & \Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5 \cr

& \Rightarrow {t_1} = {{ - 3 + 5} \over 4} = {1 \over 2}[TM];{t_2} = - 2[loại] \cr}\]

Với \[t = {1 \over 2} \Rightarrow {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{1 \over 2}}  =  \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\]

c] \[{x^4} + 5{{\rm{x}}^2} + 1 = 0\]    

Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\] 

Ta có phương trình :

\[t^2 + 5t + 1 = 0\]

\[\Delta = 25 – 2 = 21\]

\[\eqalign{ & \Rightarrow {t_1} = {{ - 5 + \sqrt {21} } \over 2} < 0[loại] \cr

& {t_2} = {{ - 5 - \sqrt {21} } \over 2} < 0[loại] \cr} \] 

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Bài 57. Giải các phương trình:

a] \[5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\]                     

b] \[{{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\] 

c] \[{x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\]                            

d] \[{{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\] 

e] \[2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left[ {x + 1} \right]\]              

f] \[{x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left[ {x + \sqrt 2 } \right]\]

Hướng dẫn làm bài:

a]

\[\eqalign{ & 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr & \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr

& \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}\]

Phương trình có \[a – b + c = 1 + 1 – 2 = 0\] nên có 2 nghiệm \[{x_1}= -1; {x_2}= 2\]

b]

\[\eqalign{ & {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr & \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr

& \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr} \]

c] \[{x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\]  ĐKXĐ: \[x ≠ 0; x ≠ 2\]

\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} = 10 - 2{\rm{x}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Delta ' = 1 + 10 = 11 \cr & \Rightarrow {x_1} = - 1 + \sqrt {11} [TM] \cr

& {x_2} = - 1 - \sqrt {11} [TM] \cr} \]

d] \[{{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\] ĐKXĐ: \[x \ne  \pm {1 \over 3}\]

\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2{\rm{x}} + 1} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{14{\rm{x}} + 4} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow \left[ {2{\rm{x}} + 1} \right]\left[ {3{\rm{x}} - 1} \right] = 14{\rm{x}} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} + x - 1 = 14{\rm{x}} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 13{\rm{x}} - 5 = 0 \cr & \Delta = {[ - 13]^2} - 4.6.[ - 5] = 289 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {289} = 17 \cr & \Rightarrow {x_1} = {5 \over 2}[TM] \cr

& {x_2} = - {1 \over 3}[loại] \cr} \]

e]

\[\eqalign{ & 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left[ {x + 1} \right] \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left[ {\sqrt 3 - 1} \right]x + 1 - \sqrt 3 = 0 \cr & \Delta = {\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]^2} - 8\sqrt 3 \left[ {1 - \sqrt 3 } \right] \cr & = 15 - 2.5.\sqrt 3 + 3 = {\left[ {5 - \sqrt 3 } \right]^2} \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left[ {5 - \sqrt 3 } \right]}^2}} = 5 - \sqrt 3 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 5 - \sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr

& {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 5 + \sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \cr}\] 

f]

\[\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left[ {x + \sqrt 2 } \right] \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left[ {2\sqrt 2 - 3} \right]x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr & \sqrt \Delta = 1 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr

& {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr} \]

Giaibaitap.me

Page 22

Bài 58 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Bài 58. Giải các phương trình

a] \[1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\]

b] \[5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\]

Hướng dẫn làm bài:

a] \[1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\] [1]

\[ \Leftrightarrow x\left[ {1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2} \right] = 0\]

\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2 = 0[*] \hfill \cr} \right.\]

Giải [*]: \[1,2x^2 – x – 0,2 = 0\]

Ta có: \[a + b + c = 1,2 + [-1] + [-0,2] = 0\]

Vậy [*] có 2 nghiệm: \[{x_1}= 1\]; \[{x_2} = {{ - 0,2} \over {1,2}} =  - {1 \over 6}\] 

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} =  - {1 \over 6}\] 

b] \[5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\]

\[⇔ x^2[5x – 1] – [5x – 1] = 0\]

\[⇔ [5x – 1][x^2– 1] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{5{\rm{x}} - 1 = 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {1 \over 5} \hfill \cr x = \pm 1 \hfill \cr} \right.\]

Vậy phương trình [2] có 3 nghiệm: \[{x_1} = {1 \over 5};{x_2} =  - 1;{x_3} = 1\] 

Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 tập 2

Bài 59. Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a] \[2{\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right]^2} + 3\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right] + 1 = 0\] 

b] \[{\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 4\left[ {x + {1 \over x}} \right] + 3 = 0\]   

Hướng dẫn làm bài:

a] \[2{\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right]^2} + 3\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right] + 1 = 0\] 

Đặt \[x^2 – 2x = t\]. Khi đó [1] \[⇔ 2t^2+ 3t +1 = 0 \][*]

Phương trình [*] có \[a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0\]

Vậy phương trình [*] có hai nghiệm:  

- Với \[t = -1\]. Ta có

\[\eqalign{ & {x^2} - 2{\rm{x}} = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 0 \cr

& \Rightarrow {x_1} = {x_2} = 1 \cr}\]

- Với \[t =  - {1 \over 2}\]. Ta có:  

\[\eqalign{ & {x^2} - 2{\rm{x}} = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 2.1 = 4 - 2 = 2 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 2 \cr & \Rightarrow {x_3} = {{ - \left[ { - 2} \right] + \sqrt 2 } \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \cr

& {x_4} = {{ - \left[ { - 2} \right] - \sqrt 2 } \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \cr} \]

Vậy phương trình có 4 nghiệm: \[{x_1} = {x_2} = 1;{x_3} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2};{x_4} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2}\]

b] \[{\left[ {x + {1 \over x}} \right]^2} - 4\left[ {x + {1 \over x}} \right] + 3 = 0\] 

Đặt \[x + {1 \over x} = t\] ta có phương trình: \[t^2 – 4t + 3t = 0\]

Phương trình có \[a + b + c = 1 – 4 + 3 =0\] nên có 2 nghiệm  \[{t_1} =1, {t_2}=3\]

Với  \[{t_1} =1\], ta có:

\[\eqalign{ & x + {1 \over x} = 1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \cr

& \Delta = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4 = - 3 < 0 \cr} \] 

Phương trình vô nghiệm

Với \[{t_2}= 3\], ta có

\[\eqalign{ & x + {1 \over x} = 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4 = 5 \cr

& \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}[TM] \cr} \] 

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \[ \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\]

Bài 60 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Bài 60. Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm [ghi kèm theo], hãy tìm nghiệm kia:

a] \[12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\]                  

b] \[2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} =  - 3\] 

c] \[{x^2} + x - 2 + \sqrt 2  = 0;{x_1} =  - \sqrt 2 \]         

d] \[{x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\]

Hướng dẫn làm bài:

a] \[12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\]              

Ta có: \[{x_1}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {1 \over 2}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {x_2} = {1 \over 6}\]

b] \[2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} =  - 3\] 

Ta có: \[{x_1}.{x_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow  - 3{{\rm{x}}_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow {x_2} = {{13} \over 2}\]

c] \[{x^2} + x - 2 + \sqrt 2  = 0;{x_1} =  - \sqrt 2 \]       

Ta có:  

\[\eqalign{ & {x_1}.{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 2 .{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr

& \Leftrightarrow {x_2} = {{\sqrt 2 - 2} \over { - \sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]} \over { - \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1 \cr} \]

d] \[{x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\]

Vì \[{x_1} = 2\] là một nghiệm của pt [1] nên

\[2^2- 2m.2 + m - 1 = 0\]

\[⇔ m = 1\]

Khi \[m = 1\] ta có: \[{x_1}{x_2} = m - 1\] [hệ thức Vi-ét]

\[⇔ 2.{x_2}= 0\] [vì \[{x_1} = 2\] và \[m = 1\]]

\[⇔ {x_2}= 0\]

Giaibaitap.me

Page 23

Bài 61 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Bài 61. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a] \[u + v = 12\]; \[uv = 28\] và \[u > v\]                      

b] \[u + v = 3; uv = 6\]

Hướng dẫn làm bài:

a] \[u + v = 12; uv = 28\] và \[u > v\]          

\[u\] và \[v\] là hai nghiệm của phương trình:

\[x^2 – 12x + 28 = 0\]

\[\Delta'= 36 – 28 = 8\]

\[ \Rightarrow {x_1} = 6 + 2\sqrt 2 ;{x_2} = 6 - 2\sqrt 2 \]

Vì \[6 + 2\sqrt 2  > 6 - 2\sqrt 2\] nên suy ra \[u = 6 + 2\sqrt 2 ;v = 6 - 2\sqrt 2\] 

b] \[u + v = 3; uv = 6\]

\[u\] và \[v\] là hai nghiệm của phương trình:

\[x^2 – 3x + 6 = 0\]

\[\Delta = [-3]^2 – 4.1.6 = 9 – 24 = -15 < 0\]

Phương trình vô nghiêmh suy ra không có 2 số \[u\] và \[v\] thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Bài 62. Cho phương trình \[7x^2 + 2[m – 1]x – m^2= 0\]

a] Với giá trị nào của \[m\] thì phương trình có nghiệm?

b] Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \[m\].

Giải

Xét phương trình \[7x^2 + 2[m – 1]x – m^2 = 0\] [1]

a] Phương trình có nghiệm khi \[\Delta’ ≥ 0\]

Ta có: \[\Delta’ = [m – 1]^2 – 7[-m^2] = [m – 1]^2 + 7m^2 ≥ 0\] với mọi \[m\]

Vậy phương trình [1] luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \[m\]

b] Gọi \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình [1]

Ta có:

\[\eqalign{ & x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{{\rm{x}}_1}{x_2} \cr & = \left[ {{{ - 2{{\left[ {m - 1} \right]}^2}} \over 7}} \right] - 2{{{{ { - m} }^2}} \over 7} \cr & = {{4{m^2} - 8m + 4} \over {49}} + {{2{m^2}} \over 7} \cr & = {{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}} \over {49}} \cr

& = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}} \cr} \] 

Vậy \[x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}\] .

Bài 63 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Bài 63. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

Giải

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là \[x\] % \[[x > 0]\].

Sau một năm dân số của thành phố là:

\[2 000 000 + 2 000 000 . {x \over {100}}= 2 000 000 + 20 000x\] [người]

Sau hai năm, dân số của thành phố là:

\[2000000 +20 000x + [2000 000 + 20 000x]. {x \over {100}}\]

\[= 2000 000 + 40 000x + 200x^2\] [người]

Ta có phương trình:

\[2 000 000 + 40 000x + 200x^2= 2 020 050\]

\[⇔ 4x^2 + 800x – 401 = 0\]

\[\Delta' = 400^2 – 4[-401] = 160 000 + 1 604\]

\[= 161 604 > 0\]

\[\sqrt\Delta'= \sqrt{161 604} = 402\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm:

\[{x_1} = {{ - 400 + 402} \over 4} = 0,5[TM]\]

\[{x_2} = {{ - 400 - 402} \over 4} =  - 200,5 < 0\] [loại]

Tỉ lệ tăng dẫn số trung bình hàng năm của thành phố là \[0,5\] %

Giaibaitap.me

Page 24

Bài 64 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Bài 64. Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?

Giải:

Gọi \[x\] là số dương mà đấu bài cho, \[x ∈ N*\]

Bạn Quân đã chọn số \[[x – 2]\] để nhân với \[x\].

Theo đề bài, ta có: \[x[x – 2] = 120\] hay \[x^2 – 2x – 120 = 0\]

Giải phương trình ta được \[x = 12\] [thỏa mãn] và \[x=-10\] [loại]

Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của \[x\] với \[x +2\]

Vậy kết quả đúng phải là: \[12.14 = 168\]

Bài 65 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Bài 65. Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn [Quảng Ngãi]. Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.

Giải:

Gọi \[x\] [km/h] là vận tốc của xe thứ nhất. Điều kiện \[x > 0\].

Khi đó vận tốc của xe lửa  thứ hai là \[x + 5\] [km/h].

Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: \[{{450} \over x}\] [giờ]

Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: \[{{450} \over {x + 5}}\] [giờ]

Vì xe lửa thứ hai đi sau \[1\] giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất \[1\] giờ. Ta có phương trình:

\[{{450} \over x} - {{450} \over {x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 5{\rm{x}} - 2250 = 0\] 

Giải phương trình ta được: \[{x_1} = 45\] [nhận]; \[{x_2} = -50\] [loại]

Vậy: Vận tốc của xe lửa thứ nhất là \[45\] km/h

Vận tốc của xe lửa thứ hai là \[50\] km/h.

Bài 66 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Bài 66. Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC [h.17]. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.

Giải:

Gọi \[x\] [cm] là độ dài của đoạn \[AK\]. Điều kiện \[0 < x < 12\]

Vì \[∆ABC\] đồng dạng \[∆AMN\] nên

\[\eqalign{ & {{MN} \over {BC}} = {{AM} \over {AB}} = {{AK} \over {AH}} = {x \over {12}} \cr

& \Rightarrow MN = {{16x} \over {12}} = {{4{\rm{x}}} \over 3} \cr} \]  

Ta có: \[MQ = KH = 12 – x\]

Do đó diện tich hình chữ nhật \[MNPQ\] là: \[\left[ {12 - x} \right]{{4{\rm{x}}} \over 3}\] 

Ta có phương trình:

\[\left[ {12 - x} \right]{{4{\rm{x}}} \over 3} = 36 \Leftrightarrow {x^2} - 12{\rm{x}} + 27 = 0\]

Giải phương trình ta được:

\[{x_1} = 9\] [nhận] hoặc \[{x_2} = 3\] [nhận]

Vậy độ dài của đoạn \[AK = 3cm\] hoặc \[9cm\]. Khi đó \[M\] sẽ có hai vị trí trên \[AB\] nhưng diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] luôn bằng \[36\] cm2

Giaibaitap.me

Page 25

• Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
• Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
• Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
• Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
• Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
• Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
• Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
• Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
• Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
• Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2

Page 26

• Giải bài 42, 43, 44, 45 trang 130, 131 SGK Toán 9...
• Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2
• Giải bài 34, 35, 36, 37 trang 125,126 SGK toán 9...
• Giải bài 30, 31, 32, 33 trang 124, 125 SGK toán 9...
• Giải bài 27, 28, 29 trang 119, 120 SGK toán 9 tập...
• Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 119 SGK toán 9 tập 2
• Giải bài 19, 20, 21, 22 trang 118 SGK toán 9 tập 2
• Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 117 SGK toán 9 tập 2
• Giải bài 12, 13, 14 trang 112, 113 SGK toán 9 tập...
• Giải bài 9, 10, 11 trang 112 SGK toán 9 tập 2