Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a] Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng [SBM].
b] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [SBM] và [SAC].
c] Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng [SAC].
d] Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng [ABM], từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng [SCD] và [ABM].
a]
Trong mặt phẳng [SDC], gọi N là giao điểm của SM và DC.
Ta có: \[ \left\{ \begin{align} & N\in SM\subset \left[ SBM \right] \\ & N\in CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow N=\left[ SBM \right]\cap CD \]
b] Giao tuyến của hai mặt phẳng [SBM] và [SAC] là giao tuyến của hai mặt phẳng [SBN] và [SAC]
Trong mặt phẳng [ABCD], gọi O là giao điểm của AC và BN
Ta có: \[ \left\{ \begin{align} & O\in AC \\ & O\in BN \\ \end{align} \right.\Rightarrow O\in \left[ SAC \right]\cap \left[ SBN \right] \]
Ta cũng có S là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng [SAC] và [SBN]
Do đó, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [SBN]
c] Ta có: \[SO \subset [SBN]; BM \subset [SBN]\]
Gọi I là giao điểm của SO và BM
Mà \[SO \subset [SAC]\] nên I thuộc [SAC]
Do vậy I là giao điểm của BM và [SAC]
d] Trong mặt phẳng [ABCD], gọi R là giao điểm của AB và DC.
Vì \[R\in AB\Rightarrow R\in \left[ ABM \right];\,R\in DC\Rightarrow R\in \left[ SDC \right] \]
Ta có: \[ \left\{ \begin{align} & M\in \left[ SDC \right] \\ & R\in \left[ SDC \right] \\ \end{align} \right.\Rightarrow MR\cap SC=P\\\]
Do vậy: \[ P\in MR\subset \left[ ABM \right]\Leftrightarrow P=SC\cap \left[ ABM \right]\]
Gọi Q là giao điểm của PM và SD trong mặt phẳng [SDC]
Khi đó, ta có: PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [ABM]
Ghi nhớ:
- Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Ta xác định đường thẳng trong mặt phẳng đồng phẳng với đường thẳng rồi tìm giao điểm.
- Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Ta xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.