Đề bài
Câu 1: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x + 2}}.\]
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[3.\] D. \[4\]
Câu 2: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2}}.\]
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[3.\] D. \[4\]
Câu 3: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = a + b\sqrt 2 \,\,\left[ {a,b \in \mathbb{Q}} \right].\] Tính \[a + b\].
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[5.\] D. \[0\]
Câu 4: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}.\]
A. \[1.\] B. \[ - 2.\]
C. \[3.\] D. \[5\]
Câu 5: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {x - 2} \right]\].
A. \[7.\] B. \[ - 2.\]
C. \[3.\] D. \[0\]
Câu 6: Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - m\sqrt {{x^2} + 2} }}{{x + 2}} = 2.\]Tìm m.
A. \[1.\] B. \[ - 2.\]
C. \[3.\] D. \[4\]
Câu 7: Tìm m để hàm số \[y = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\quad \quad x \ne 2\\m\quad \quad \quad \quad x = 2\end{array} \right.\] liên tục tại \[x = 2?\]
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[4.\] D. \[ - 4\]
Câu 8: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 2} - 2x}}{{x - 1}}\].
A. \[ - \frac{1}{2}.\] B. \[2.\]
C. \[3.\] D. \[ - \frac{3}{2}.\]
Câu 9: Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = m;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left[ x \right] = n.\] Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f[x] + g[x]} \right]\]
A. \[m + n.\] B. \[m - n.\]
C. \[m.\] D. \[n\]
Câu 10: Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f[x] = 3.\]Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left[ x \right] + x} \right].\]
A. \[5.\] B. \[ - 2.\]
C. \[1.\] D. \[4\]
Câu 11: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left[ {{x^2} + 2x - 2} \right]}^5} - 1}}{{x - 1}}.\]
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[3.\] D. \[20\]
Câu 12: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{n + 1}}{{{n^2} + 2}}.\]
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[3.\] D. \[0\]
Câu 13: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{n + \sqrt {{n^2} + 1} }}{{n + 3}}.\]
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[3.\] D. \[4\]
Câu 14: Cho dãy số \[{u_n}\] thỏa \[\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = 2.\] Tính \[\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {{u_n} + \frac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}}} \right].\]
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[3.\] D. \[4\]
Câu 15: Cho dãy số \[{u_n},{v_n}\] thỏa \[\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{} {v_n} = 1.\]Tính \[\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {2{u_n} - 3{v_n}} \right].\]
A. \[1.\] B. \[2.\]
C. \[3.\] D. \[7\]
Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số\[y = {x^2} + 1\].
A. \[y' = {x^2} + 1\]
B. \[y' = 2x + 1\]
C. \[y' = 2x\]
D. \[y' = 2x - 1\]
Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số\[y = \sin 2x\].
A. \[y' = 2\sin x\]
B. \[y' = \sin 2x\]
C. \[y' = 2\cos x\]
D. \[y' = 2\cos 2x\]
Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số \[y = {\left[ {{x^2} + x} \right]^2}\].
A. \[y' = 3{\left[ {{x^2} + x} \right]^2}\]
B. \[y' = 2x + 1\]
C. \[y' = 2\left[ {2x + 1} \right]\]
D. \[y' = 2\left[ {{x^2} + x} \right]\left[ {2x + 1} \right]\]
Câu 19: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = {x^2} + mx\] [m là tham số]. Tìm m, biết \[f'\left[ 1 \right] = 3\].
A. \[m = 1.\] B. \[m = 2.\]
C. \[m = 3.\] D. \[m = 7\]
Câu 20: Cho hàm số \[y = \sin x\].Tính \[y''\left[ 0 \right].\]
A. \[y''\left[ 0 \right] = 0.\]
B. \[y''\left[ 0 \right] = 1.\]
C. \[y''\left[ 0 \right] = 2.\]
D. \[y''\left[ 0 \right] = - 2.\]
Câu 21: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đạo hàm trên tập số thực. Tìm hệ thức đúng?
A. \[f'\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left[ x \right] - f\left[ 1 \right]}}{{x - 1}}.\]
B. \[f'\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left[ x \right]}}{{x - 1}}.\]
C. \[f'\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left[ x \right]}}{x}.\]
D. \[f'\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left[ 1 \right]}}{{x - 1}}.\]
Câu 22: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đạo hàm đến cấp 2 trên tập số thực. Tìm hệ thức đúng?
A. \[f''\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left[ x \right] - f\left[ 1 \right]}}{{x - 1}}.\]
B. \[f''\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f'\left[ x \right] - f'\left[ 1 \right]}}{{x - 1}}.\]
C. \[f''\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left[ x \right]}}{x}.\]
D. \[f''\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left[ 1 \right]}}{{x - 1}}.\]
Câu 23: Tìm hệ số của x trong khai triển \[{\left[ {{x^2} + x + 2} \right]^2}\left[ {x + 1} \right]\] thành đa thức:
A. \[16.\] B. \[6.\]
C. \[8.\] D. \[2\]
Câu 24: Tìm hệ số của \[{x^2}\] trong khai triển \[{\left[ {{x^2} + x + 2} \right]^3}\] thành đa thức:
A. \[12.\] B. \[18.\]
C. \[19.\] D. \[20\]
Câu 25: Hàm số \[y = \left[ {1 + x} \right]\sqrt {1 - x} \]có đạo hàm \[y' = \frac{{ax + b}}{{2\sqrt {1 - x} }}\]. Tính \[a + b.\]
A. \[ - 2.\] B. \[2.\]
C. \[ - 3.\] D. \[1\]
Câu 26: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^2} + 3x + 1\] tại điểm có hoành độ bằng 1.
A. \[y = 5x\]
B. \[y = 5x + 5\]
C. \[y = 5x - 5\]
D. \[y = x\]
Câu 27: Hàm số \[y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{x}\] có đạo hàm \[y' = \frac{{ax + b}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}\]. Tìm \[\max \left\{ {a,b} \right\}.\]
A. \[2.\] B. \[ - 1.\]
C. \[ - 3.\] D. \[ - 7\]
Câu 28: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đạo hàm trên tập số thực, biết \[f\left[ {3 - x} \right] = {x^2} + x\]. Tính \[f'\left[ 2 \right]\].
A. \[f'\left[ 2 \right] = - 1.\]
B. \[f'\left[ 2 \right] = - 3.\]
C. \[f'\left[ 2 \right] = - 2.\]
D. \[f'\left[ 2 \right] = 3.\]
Câu 29: Tìm vi phân của hàm số \[y = {x^3}\].
A. \[dy = {x^2}dx\] B. \[dy = 3xdx\]
C. \[dy = 3{x^2}dx\] D. \[dy = - 3{x^2}dx\]
Câu 30: Giải phương trình \[f''\left[ x \right] = 0\], biết \[f\left[ x \right] = {x^3} - 3{x^2}\].
A. \[x = 0\] B. \[x = 2\]
C. \[x = 0,\,\,x = 2\] D. \[x = 1\]
Câu 31: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[s = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2\] [t được tính bằng giây, s được tính bằng mét]. Tìm gia tốc khi \[t = 2s\].
A. \[a = 12m/{s^2}.\] B. \[a = 6m/{s^2}.\]
C. \[a = - 9m/{s^2}.\] D. \[a = 2m/{s^2}\]
Câu 32: Tìm hệ số góc \[k\] của tiếp tuyến của đồ thị \[y = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 1\] tại điểm có hoành độ bằng 0.
A. \[k = - 3\] B. \[k = 2\]
C. \[k = 1\] D. \[k = 0\].
Câu 33: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[s = {t^2} - 2t + 2\][ t được tính bằng giây, s được tính bằng mét]. Tính vận tốc tại thời điểm \[t = 3s\].
A. \[v = 2m/s.\] B. \[v = 4m/s.\] C. \[v = - 2m/s.\] D. \[v = - 4m/s.\]
Câu 34: Tính \[d\left[ {\sin x - x\cos x} \right]\].
A. \[d\left[ {\sin x - x\cos x} \right] = x\sin xdx\]
B. \[d\left[ {\sin x - x\cos x} \right] = x\cos xdx\]
C. \[d\left[ {\sin x - x\cos x} \right] = \cos xdx\]
D. \[d\left[ {\sin x - x\cos x} \right] = \sin xdx\]
Câu 35: Cho tứ diện \[OABC\] có \[OA,\,\,OB,\,\,OC\] đôi một vuông góc với nhau và \[OA = OB = OC = 1\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\] [tham khảo hình vẽ bên]. Góc giữa hai đường thẳng \[OM\] và \[AB\] bằng:
A. \[{90^0}\] B. \[{30^0}\]
C. \[{60^0}\] D. \[{45^0}\]
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh bằng \[a\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[SD\] [tham khảo hình vẽ bên]. Tang của góc giữa đường thẳng \[BM\] và mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right]\] bằng:
A. \[\frac{2}{3}.\] B. \[\frac{1}{3}.\]
C. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\] D.\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
Câu 37: Cho tứ diện đều ABCD. Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
A. \[{30^0}.\] B. \[{45^0}\]
C. \[{60^0}\] D. \[{90^0}\]
Câu 38: Giải bất phương trình \[f'\left[ x \right] > 0\], biết \[f\left[ x \right] = 2x + \sqrt {1 - {x^2}} .\]
A. \[x \in \left[ { - 1;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right].\]
B. \[x \in \left[ { - 1;1} \right].\]
C. \[x \in \left[ { - 1;\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right].\]
D. \[x \in \left[ { - \frac{2}{{\sqrt 5 }};\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right].\]
[Đề toán này áp dụng từ câu 39 đến câu 50]
Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]. Đường thẳng \[SA\] vuông góc với mặt phẳng chứa đáy \[\left[ {ABCD} \right]\], độ dài cạnh \[SA\] bằng \[2a\] [Tham khảo hình vẽ bên].
Câu 39: Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right]\]?
A. \[SD\] B. \[SA\]
C. \[SB\] D. \[SC\]
Câu 40: Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\]?
A. \[AB\] B. \[AC\]
C. \[AD\] D. \[AS\]
Câu 41: Mặt phẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\]?
A.\[\left[ {SAB} \right]\] B. \[\left[ {SAC} \right]\]
C. \[\left[ {SAD} \right]\] D.\[\left[ {SCD} \right]\]
Câu 42: Khoảng cách từ \[S\] đến mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right]\]bằng:
A. \[SD\] B. \[SA\]
C. \[SB\] D. \[SC\]
Câu 43: Tính tang của góc tạo bởi hai đường thẳng \[SB\] và \[CD\].
A. \[3\] B. \[\sqrt 2 \]
C. \[\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\] D. \[2\]
Câu 44: Tính tang của góc tạo bởi đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right]\].
A. \[3\] B. \[\sqrt 2 \]
C. \[\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\] D. \[2\]
Câu 45: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[BC\].
A.\[a.\] B. \[\sqrt 2 a\]
C. \[2a\] D. \[3a\]
Câu 46: Tính côsin của góc tạo bởi mặt phẳng \[\left[ {SBD} \right]\] và mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right]\].
A.\[\frac{1}{3}.\] B. \[3.\]
C. \[\sqrt 2 .\] D. \[\frac{3}{{\sqrt 2 }}.\]
Câu 47: Tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng SB.
A.\[3a.\] B. \[\frac{3}{5}a.\]
C. \[\frac{{3\sqrt 5 }}{5}a.\] D. \[\frac{{\sqrt {21} a}}{3}.\]
Câu 48: Biết \[\overrightarrow {AC} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AD} + p\overrightarrow {AS} \]. Tính tổng \[m + n + p\]
A.\[3.\] B. \[2.\]
C. \[1.\] D. \[0\]
Câu 49: Tính khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left[ {SBC} \right]\].
A.\[a.\] B. \[\sqrt 2 a.\]
C. \[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}a.\] D. \[\frac{{\sqrt {21} }}{3}a.\]
Câu 50: Tính khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left[ {SBD} \right]\].
A.\[2a.\] B. \[\sqrt 2 a.\]
C. \[\frac{2}{3}a.\] D. \[\frac{3}{2}a.\]
Lời giải chi tiết
|
1. A |
2. B |
3. A |
4. C |
5. D |
|
6. A |
7. C |
8. D |
9. A |
10. A |
|
11. D |
12. D |
13. B |
14. C |
15. A |
|
16. C |
17. D |
18. D |
19. A |
20. A |
|
21. A |
22. B |
23. C |
24. B |
25. A |
|
26. A |
27. B |
28. B |
29. C |
30. D |
|
31. B |
32. A |
33. B |
34. A |
35. C |
|
36. B |
37. D |
38. C |
39. B |
40. C |
|
41. C |
42. B |
43. D |
44. B |
45. A |
|
46. A |
47. C |
48. B |
49. C |
50. C |
Câu 1 [NB]:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \[x\].
Cách giải:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = \frac{1}{1} = 1\].
Chọn A.
Câu 2 [NB]:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \[x\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}}\\ = \frac{{1 + 1}}{1} = 2\end{array}\].
Chọn B.
Câu 3 [TH]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
Hàm số \[y = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}\] có TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
\[ \Rightarrow \] Hàm số liên tục tại \[x = 1\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}\\ = \frac{{1 + \sqrt {{1^2} + 1} }}{{1 + 1}}\\ = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt 2 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\end{array}\]
Chọn A.
Câu 4 [TH]:
Phương pháp:
Phân tích, rút gọn, khử dạng \[\frac{0}{0}\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 2} \right]}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {x + 2} \right] = 3\end{array}\].
Chọn C.
Câu 5 [NB]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[x = {x_0}\]\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {x - 2} \right] = 2 - 2 = 0\].
Chọn D.
Câu 6 [TH]:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \[x\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - m\sqrt {{x^2} + 2} }}{{x + 2}} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + m\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\\ \Leftrightarrow 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1\end{array}\]
Chọn A.
Câu 7 [TH]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[x = {x_0}\]\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Cách giải:
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {x + 2} \right] = 4\\y\left[ 2 \right] = m\end{array} \right.\]
Hàm số liên tục tại \[x = 2\]\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = y\left[ 2 \right] \Leftrightarrow m = 4\].
Chọn C.
Câu 8 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp đểkhử dạng \[\frac{0}{0}\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 2} - 2x}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\sqrt {2x + 2} - 2x} \right]\left[ {\sqrt {2x + 2} + 2x} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {\sqrt {2x + 2} + 2x} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x + 2 - 4{x^2}}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {\sqrt {2x + 2} + 2x} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2\left[ {x - 1} \right]\left[ {2x + 1} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {\sqrt {2x + 2} + 2x} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2\left[ {2x + 1} \right]}}{{\sqrt {2x + 2} + 2x}}\\ = \frac{{ - 2.\left[ {2.1 + 1} \right]}}{{\sqrt {2.1 + 2} + 2.1}} = - \frac{3}{2}\end{array}\]
Chọn D.
Câu 9 [TH]:
Phương pháp:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left[ x \right] + g\left[ x \right]} \right]\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left[ x \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left[ x \right]\] .
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left[ x \right] + g\left[ x \right]} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left[ x \right]\\ = m + n\end{array}\].
Chọn A.
Câu 10 [TH]:
Phương pháp:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left[ x \right] + g\left[ x \right]} \right]\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left[ x \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left[ x \right]\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {f\left[ x \right] + x} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left[ x \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x\\ = 3 + 2 = 5\end{array}\].
Chọn A.
Câu 11 [VD]:
Phương pháp:
Phân tích, rút gọn, khử dạng \[\frac{0}{0}\].
Cách giải:
Chọn D.
Câu 12 [NB]:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \[{n^2}\].
Cách giải:
\[\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{n + 1}}{{{n^2} + 2}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{2}{{{n^2}}}}} = 0\].
Chọn D.
Câu 13 [TH]:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \[n\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\lim \frac{{n + \sqrt {{n^2} + 1} }}{{n + 3}}\\ = \lim \frac{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 + \frac{3}{n}}}\\ = \frac{{1 + 1}}{1} = 2\end{array}\]
Chọn B.
Câu 14 [VD]:
Phương pháp:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left[ x \right] + g\left[ x \right]} \right]\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left[ x \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left[ x \right]\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\lim \left[ {{u_n} + \frac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}}} \right]\\ = \lim {u_n} + \lim \frac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}}\\ = \lim {u_n} + \lim \frac{1}{{1 + \frac{3}{{{2^n}}}}}\\ = 2 + 1 = 3\end{array}\].
Chọn C.
Câu 15 [TH]:
Phương pháp:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left[ x \right] - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left[ x \right]\]
Cách giải:
\[\begin{array}{l}\lim \left[ {2{u_n} - 3{v_n}} \right]\\ = 2\lim {u_n} - 3\lim {v_n}\\ = 2.2 - 3.1 = 1\end{array}\].
Chọn A.
Câu 16 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {{x^n}} \right]' = n{x^{n - 1}}\,\,\left[ {x \ne - 1} \right]\].
Cách giải:
\[y = {x^2} + 1 \Rightarrow y' = 2x\].
Chọn C.
Câu 17 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {\sin kx} \right]' = k\cos kx\].
Cách giải:
\[y = \sin 2x \Rightarrow y' = 2\cos 2x\].
Chọn D.
Câu 18 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {{u^n}} \right]' = n{u^{n - 1}}u'\].
Cách giải:
Ta có: \[y' = 2\left[ {{x^2} + x} \right]\left[ {2x + 1} \right]\].
Chọn D.
Câu 19 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {\sin kx} \right]' = k\cos kx\].
Cách giải:
Ta có: \[f'\left[ x \right] = 2x + m\]
\[ \Rightarrow f'\left[ 1 \right] = 2 + m = 3 \Leftrightarrow m = 1\]
Chọn A.
Câu 20 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức
\[\begin{array}{l}\left[ {\sin x} \right]' = \cos x\\\left[ {\cos x} \right]' = - \sin x\end{array}\].
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {\sin x} \right]' = \cos x\\y'' = \left[ {\cos x} \right]' = - \sin x\end{array}\].
\[ \Rightarrow y''\left[ 0 \right] = - \sin 0 = 0\].
Chọn A.
Câu 21 [NB]:
Cách giải:
Hệ thức đúng là: \[f'\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left[ x \right] - f\left[ 1 \right]}}{{x - 1}}.\]
Chọn A.
Câu 22 [TH]:
Cách giải:
Chọn B.
Câu 23 [VDC]:
Phương pháp:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \[{\left[ {a + b} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}{\left[ {{x^2} + x + 2} \right]^2}\left[ {x + 1} \right]\\ = \left[ {x + 1} \right]\sum\limits_{k = 0}^2 {C_2^k{{\left[ {{x^2} + x} \right]}^k}{{.2}^{2 - k}}} \\ = \left[ {x + 1} \right]\sum\limits_{k = 0}^2 {C_2^k{2^{2 - k}}\sum\limits_{l = 0}^k {C_k^l{{\left[ {{x^2}} \right]}^l}{x^{k - l}}} } \\ = \left[ {x + 1} \right]\sum\limits_{k = 0}^2 {C_2^k{2^{2 - k}}\sum\limits_{l = 0}^k {C_k^l{x^{k + l}}} } \end{array}\]
Số hạng chứa \[x\] trong khai triển trên là: \[C_2^0{2^2}.C_0^0x + C_2^1{.2^1}.C_1^0\].
Vậy hệ số của số hạng chứa \[x\] trong khai triển trên là: \[C_2^0{2^2}.C_0^0 + C_2^1{.2^1}.C_1^0 = 8\].
Chọn C.
Câu 24 [VDC]:
Phương pháp:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \[{\left[ {a + b} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}{\left[ {{x^2} + x + 2} \right]^3}\\ = \sum\limits_{k = 0}^3 {C_3^k{{\left[ {{x^2}} \right]}^{3 - k}}{{\left[ {x + 2} \right]}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^3 {C_3^k{x^{6 - 2k}}\sum\limits_{l = 0}^k {C_k^l{x^l}{2^{k - l}}} } \end{array}\].
[với \[0 \le k \le 3;\,\,0 \le l \le 3;\,\,k,l \in \mathbb{Z}\]]
Hệ số của \[{x^2}\] trong khai triển trên ứng với: \[6 - 2k + l = 2\]\[ \Leftrightarrow 2k - l = 4\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 2;l = 0\\k = 3;l = 2\end{array} \right.\].
Vậy hệ số của \[{x^2}\] trong khai triển trên là: \[C_3^2C_2^0{2^2} + C_3^3C_3^2{.2^1} = 18\].
Chọn B.
Câu 25 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm \[\left[ {uv} \right]' = u'v - uv'\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}y' = \sqrt {1 - x} + \left[ {1 + x} \right]\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}\\ = \frac{{2\left[ {1 - x} \right] - 1 - x}}{{2\sqrt {1 - x} }} = \frac{{1 - 3x}}{{2\sqrt {1 - x} }}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = - 3 + 1 = - 2\end{array}\]
Chọn A.
Câu 26 [TH]:
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là:
\[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
Ta có: \[y' = 2x + 3 \Rightarrow y'\left[ 1 \right] = 5\] và \[y\left[ 1 \right] = 5\].
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1là: \[y = 5\left[ {x - 1} \right] + 5 = 5x\].
Chọn A.
Câu 27 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm \[\left[ {\frac{u}{v}} \right]' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\].
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = \frac{{\frac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}.x - \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^2}}}\\y' = \frac{{{x^2} + x - {x^2} - 2x - 3}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}\\ = \frac{{ - x - 3}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow \max \left\{ {a;b} \right\} = \max \left\{ { - 1; - 3} \right\}\\ = - 1\end{array}\]
Chọn B.
Câu 28 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp: \[\left[ {f\left[ u \right]} \right]' = u'.f'\left[ u \right]\].
Cách giải:
\[f\left[ {3 - x} \right] = {x^2} + x\]\[ \Rightarrow - f'\left[ {3 - x} \right] = 2x + 1\] .
Thay \[x = 1\] ta có \[ - f'\left[ 2 \right] = 2.1 + 1 = 3\]\[ \Rightarrow f'\left[ 2 \right] = - 3\].
Chọn B.
Câu 29 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính vi phân: \[dy = y'dx\].
Cách giải:
\[dy = d\left[ {{x^3}} \right] = \left[ {{x^3}} \right]'dx = 3{x^2}dx\].
Chọn C.
Câu 30 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {{x^n}} \right]' = n{x^{n - 1}}\,\,\left[ {x \ne - 1} \right]\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 6x \Rightarrow f''\left[ x \right] = 6x - 6\\ \Rightarrow f''\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\]
Chọn D.
Câu 31 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[a\left[ t \right] = s''\left[ t \right]\].
Cách giải:
Ta có: \[s'\left[ t \right] = 3{t^2} - 6t - 9\]\[ \Rightarrow s''\left[ t \right] = 6t - 6\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow a\left[ t \right] = s''\left[ t \right] = 6t - 6\\ \Rightarrow a\left[ 2 \right] = 6.2 - 6 = 6\,\,\left[ {m/{s^2}} \right]\end{array}\]
Chọn B.
Câu 32 [TH]:
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là \[k = f'\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
Ta có: \[y' = 3{x^2} - 4x - 3\].
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \[x = 0\] là \[k = y'\left[ 0 \right] = - 3\].
Chọn A.
Câu 33 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng mối quan hệ: \[v\left[ t \right] = s'\left[ t \right]\].
Cách giải:
Ta có: \[v\left[ t \right] = s'\left[ t \right] = 2t - 2\]\[ \Rightarrow v\left[ 3 \right] = 2.3 - 2 = 4\,\,\left[ {m/s} \right]\] .
Chọn B.
Câu 34 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính vi phân: \[dy = y'dx\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}d\left[ {\sin x - x\cos x} \right]\\ = \left[ {\sin x - x\cos x} \right]'dx\\ = \left[ {\cos x - \left[ {\cos x - x\sin x} \right]} \right]dx\\ = x\sin xdx\end{array}\].
Chọn A.
Câu 35 [VD]:
Phương pháp:
Gọi \[N\] là trung điểm của \[AC \Rightarrow MN\] là đường trung bình của tam giác
\[ \Rightarrow MN//AB\]\[ \Rightarrow \angle \left[ {OM;AB} \right] = \angle \left[ {OM;MN} \right]\].
Cách giải:
Gọi \[N\] là trung điểm của \[AC \Rightarrow MN\] là đường trung bình của tam giác
\[ \Rightarrow MN//AB\]\[ \Rightarrow \angle \left[ {OM;AB} \right] = \angle \left[ {OM;MN} \right]\].
Trong tam giác vuông \[OBC\] có \[OM = \frac{1}{2}BC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Trong tam giác vuông \[OAC\] có \[ON = \frac{1}{2}AC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
Trong tam giác vuông \[OAB\] có \[MN = \frac{1}{2}AB = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
\[ \Rightarrow OM = ON = MN = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Rightarrow \Delta OMN\] đều \[ \Rightarrow \angle OMN = {60^0}\].
Vậy \[\angle \left[ {OM;AB} \right] = {60^0}\].
Chọn C.
Câu 36 [VD]:
Phương pháp:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
Cách giải:
Gọi \[O = AC \cap BD\]. Do chóp \[S.ABCD\] đều \[ \Rightarrow SO \bot \left[ {ABCD} \right]\].
Trong \[\left[ {SBD} \right]\] kẻ \[MH//SO\,\,\left[ {H \in BD} \right]\]\[ \Rightarrow MH \bot \left[ {ABCD} \right]\].
\[ \Rightarrow \angle \left[ {BM;\left[ {ABCD} \right]} \right]\]\[ = \angle \left[ {BM;BH} \right] = \angle MBH\].
\[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]\[ \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2 \].
\[ \Rightarrow OB = OD = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Dễ thấy \[MH\] là đường trung bình của \[\Delta SOD\]
\[ \Rightarrow H\] là trung điểm của \[OD\] và \[MH = \frac{1}{2}SO\].
\[ \Rightarrow BH = \frac{3}{4}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\] và \[MH = \frac{1}{2}SO = \frac{1}{2}\sqrt {S{D^2} - O{D^2}} \]\[ = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].
Trong tam giác vuông \[BMH\] có: \[\tan \angle MBH = \frac{{MH}}{{BH}}\]\[ = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{1}{3}\].
Vậy \[\tan \angle \left[ {BM;\left[ {ABCD} \right]} \right] = \frac{1}{3}\].
Chọn B.
Câu 37 [TH]:
Phương pháp:
Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\]. Chứng minh \[AB \bot \left[ {CDM} \right]\].
Cách giải:
Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\].
\[\Delta ABC,\,\,\Delta ABD\] là các tam giác đều
\[ \Rightarrow CM \bot AB;\,\,DM \bot AB\]\[ \Rightarrow AB \bot \left[ {CDM} \right]\].
Mà \[CD \subset \left[ {CDM} \right] \Rightarrow AB \bot CD\].
Vậy \[\angle \left[ {AB;CD} \right] = {90^0}\].
Chọn D.
Câu 38 [VD]:
Phương pháp:
+] Tính \[f'\left[ x \right]\].
+] Giải BPT dạng \[\sqrt {f\left[ x \right]} > g\left[ x \right]\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] \ge 0\\g\left[ x \right] < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left[ x \right] \ge 0\\f\left[ x \right] > {g^2}\left[ x \right]\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Cách giải:
\[\begin{array}{l}DKXD:\,\, - 1 \le x \le 1\\f'\left[ x \right] = 2 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }}\\ = 2 - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\f'\left[ x \right] > 0\\ \Leftrightarrow 2 - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} > 0\,\,\left[ {x \in \left[ { - 1;1} \right]} \right]\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} - x > 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} > x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} > 0\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4\left[ {1 - {x^2}} \right] > {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5{x^2} < 4\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }} < x < \frac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\0 \le x < \frac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{2}{{\sqrt 5 }}\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy nghiệm của BPT là: \[x \in \left[ { - 1;\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right].\]
Chọn C.
Câu 39 [NB]:
Cách giải:
\[SA \bot \left[ {ABCD} \right]\,\,\left[ {gt} \right]\]
Chọn B.
Câu 40 [TH]:
Phương pháp:
\[\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left[ P \right]\].
Cách giải:
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left[ {SAB} \right]\].
Chọn C.
Câu 41 [TH]:
Phương pháp:
\[\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left[ P \right]\\d \subset \left[ Q \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ P \right] \bot \left[ Q \right]\].
Cách giải:
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left[ {SAB} \right]\].
Mà \[AD \subset \left[ {SAD} \right]\]\[ \Rightarrow \left[ {SAB} \right] \bot \left[ {SAD} \right]\].
Chọn C.
Câu 42 [NB]:
Phương pháp:
Khoảng cách từ \[S\] đến \[\left[ {ABCD} \right]\] bằng độ dài khoảng cách từ \[S\] đến hình chiếu của \[S\] lên \[\left[ {ABCD} \right]\].
Cách giải:
\[SA \bot \left[ {ABCD} \right]\]\[ \Rightarrow d\left[ {S;\left[ {ABCD} \right]} \right] = SA\].
Chọn B.
Câu 43 [TH]:
Phương pháp:
Ta có: \[CD//AB\]
\[ \Rightarrow \angle \left[ {SB;CD} \right]\] \[ = \angle \left[ {SB;AB} \right] = \angle SBA\]
Cách giải:
Ta có
\[CD//AB\]
\[ \Rightarrow \angle \left[ {SB;CD} \right]\] \[ = \angle \left[ {SB;AB} \right] = \angle SBA\]
\[\tan \angle SBA = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{2a}}{a} = 2\]
Vậy \[\tan \angle \left[ {SB;CD} \right] = 2\].
Chọn D.
Câu 44 [VD]:
Phương pháp:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
Cách giải:
Ta có \[SA \bot \left[ {ABCD} \right]\]
\[ \Rightarrow \angle \left[ {SC;\left[ {ABCD} \right]} \right]\] \[ = \angle \left[ {SC;AC} \right] = \angle SCA\]
\[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \].
\[ \Rightarrow \tan \angle SCA = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \].
Chọn B.
Câu 45 [TH]:
Phương pháp:
\[BC//AD \Rightarrow BC//\left[ {SAD} \right]\]
\[ \Rightarrow d\left[ {SA;BC} \right] = d\left[ {B;\left[ {SAD} \right]} \right]\]
Cách giải:
Ta có \[BC//AD \Rightarrow BC//\left[ {SAD} \right]\]
\[ \Rightarrow d\left[ {SA;BC} \right] = d\left[ {B;\left[ {SAD} \right]} \right]\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left[ {SAD} \right]\]
\[ \Rightarrow d\left[ {B;\left[ {SAD} \right]} \right] = AB = a\]
Vậy \[d\left[ {SA;BC} \right] = a\].
Chọn A.
Câu 46 [VD]:
Phương pháp:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
Gọi \[O = AC \cap BD\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\\BD \bot SA\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow BD \bot \left[ {SAO} \right] \Rightarrow BD \bot SO\].
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SBD} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = BD\\\left[ {SBD} \right] \supset SO \bot BD\\\left[ {ABCD} \right] \supset AO \bot BD\end{array} \right.\\ \Rightarrow \angle \left[ {\left[ {SBD} \right];\left[ {ABCD} \right]} \right]\\ = \angle \left[ {SO;AO} \right] = \angle SOA\end{array}\]
\[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]\[ \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Trong tam giác vuông \[SAO:\]
\[SO = \sqrt {S{A^2} + O{A^2}} \] \[ = \sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\]
Vậy \[\cos \angle SOA = \frac{{AO}}{{SO}}\]\[ = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{1}{3}\].
Chọn A.
Câu 47 [VD]:
Phương pháp:
Kẻ \[DH \bot SB\,\,\left[ {H \in SB} \right]\]\[ \Rightarrow d\left[ {D;SB} \right] = DH\].
Cách giải:
Gọi \[O = AC \cap BD\]
\[ \Rightarrow OB = OD = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Ta có \[SB = SD = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \]
\[ \Rightarrow \Delta SBD\] cân tại \[S \Rightarrow SO \bot BD\].
\[ \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} \]\[ = \sqrt {5{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\].
Trong tam giác vuông \[SOB:\]
\[\tan \widehat {SBO} = \frac{{SO}}{{OB}} = \frac{{\frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = 3\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \widehat {SBO} = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\widehat {SBO}}}} \\ = \frac{1}{{\sqrt {1 + {3^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\ \Rightarrow \sin \widehat {SBO} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\end{array}\].
Kẻ \[DH \bot SB\,\,\left[ {H \in SB} \right]\]\[ \Rightarrow d\left[ {D;SB} \right] = DH\].
Trong \[{\Delta _v}BDH\] có: \[DH = BD.\sin \widehat {SBO}\]\[ = a\sqrt 2 .\frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}a\].
Chọn C.
Câu 48 [TH]:
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc hình hình hành.
Cách giải:
Ta có \[ABCD\] là hình vuông \[ \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\\p = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow m + n + p = 1 + 1 + 0 = 2\end{array}\]
Chọn B.
Câu 49 [VD]:
Phương pháp:
Trong \[\left[ {SAB} \right]\] kẻ \[AH \bot SB\,\,\left[ {H \in SB} \right]\], chứng minh \[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = AH\].
Cách giải:
Trong \[\left[ {SAB} \right]\] kẻ \[AH \bot SB\,\,\left[ {H \in SB} \right]\] ta có
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SAB} \right]\\ \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\left[ {cmt} \right]\\AH \bot SB\end{array} \right.\\ \Rightarrow AH \bot \left[ {SBC} \right]\\ \Rightarrow d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = AH\end{array}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SAB\] ta có:
\[AH = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}\]\[ = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\]
Chọn C.
Câu 50 [VD]:
Cách giải:
Gọi \[O = AC \cap BD\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left[ {SAC} \right]\].
Trong \[\left[ {SAC} \right]\] kẻ \[AH \bot SO\,\,\left[ {H \in SO} \right]\]\[ \Rightarrow BD \bot AH\].
\[ \Rightarrow AH \bot \left[ {SBD} \right]\]\[ \Rightarrow d\left[ {A;\left[ {SBD} \right]} \right] = AH\].
\[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]\[ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \] \[ \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SAO\] ta có:
\[AH = \frac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }}\]\[ = \frac{{2a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }} = \frac{{2a}}{3}\].
Chọn C.