Đề bài
Câu 1 [4 điểm] Rút gọn biểu thức:
a] \[A = \sqrt {45} + \sqrt {20} - 2\sqrt 5 .\]
b] \[B = \dfrac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} - \dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a - 2}}\] [với \[a \ge 0,\;\;a \ne 4\]].
Câu 2 [4 điểm]
a] Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\2x - y = 5\end{array} \right..\]
b] Cho hàm số \[y = \dfrac{1}{2}{x^2}\] có đồ thị \[\left[ P \right]\] và đường thẳng \[d:\;y = x - 2m.\] Vẽ đồ thị \[\left[ P \right].\] Tìm tất cả các giá trị của \[m\] sao cho \[d\] cắt \[\left[ P \right]\] tại điểm có hoành độ bằng \[ - 1.\]
Câu 3 [6 điểm] Cho phương trình \[{x^2} + 4x + m + 1 = 0\,\,\,[1]\] [với m là tham số].
a] Giải phương trình [1] với m = 2.
b] Tìm điều kiện của m để phương trình [1] có nghiệm.
c] Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình [1] có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn điều kiện \[\dfrac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \dfrac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} = - 3\].
Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AC [M khác A, C và điểm chính giữa AC], BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB.
a] Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp
b] Chứng minh CA là phân giác của góc MCK
c] Kẻ CP vuông góc với BM \[\left[ {P \in BM} \right]\] và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME = 2CP
Lời giải chi tiết
Câu 1:
\[\begin{array}{l}a]\;\;A = \sqrt {45} + \sqrt {20} - 2\sqrt 5 \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{3^2}.5} + \sqrt {{2^2}.5} - 2\sqrt 5 \\\;\;\;\;\;\;\;\; = 3\sqrt 5 + 2\sqrt 5 - 2\sqrt 5 \\\;\;\;\;\;\;\;\; = 3\sqrt 5 .\\b]\;\;B = \dfrac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} - \dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a - 2}}\;\;\;\left[ {a \ge 0,\;\;a \ne 4} \right]\\\;\;\;\;\;\;\;\, = \dfrac{{\sqrt a \left[ {\sqrt a + 2} \right]}}{{\sqrt a + 2}} - \dfrac{{\left[ {\sqrt a + 2} \right]\left[ {\sqrt a - 2} \right]}}{{\sqrt a - 2}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt a - \left[ {\sqrt a + 2} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt a - \sqrt a - 2\\\;\;\;\;\;\;\;\; = - 2\end{array}\]
Câu 2:
a] Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\2x - y = 5\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\2x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = x - 4\end{array} \right.\]\[\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right..\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \[\left[ {x;\;y} \right] = \left[ {1; - 3} \right].\]
b] Cho hàm số \[y = \dfrac{1}{2}{x^2}\] có đồ thị \[\left[ P \right]\] và đường thẳng \[d:\;y = x - 2m.\] Vẽ đồ thị \[\left[ P \right].\] Tìm tất cả các giá trị của \[m\] sao cho \[d\] cắt \[\left[ P \right]\] tại điểm có hoành độ bằng \[ - 1.\]
Ta có bảng giá trị:
|
\[x\] |
\[ - 2\] |
\[ - 1\] |
\[0\] |
\[1\] |
\[2\] |
|
\[y = \dfrac{1}{2}{x^2}\] |
\[2\] |
\[\dfrac{1}{2}\] |
\[0\] |
\[\dfrac{1}{2}\] |
\[2\] |
\[ \Rightarrow \] Đồ thị hàm số \[y = \dfrac{1}{2}{x^2}\] đi qua các điểm \[\left[ { - 2;2} \right];\,\,\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right];\,\,\left[ {0;0} \right];\,\,\left[ {1;\dfrac{1}{2}} \right];\]\[\,\,\left[ {2;2} \right]\]
Đồ thị:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng \[d\] và parabol \[\left[ P \right]\] là nghiệm của phương trình \[\dfrac{1}{2}{x^2} = x - 2m \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} - x + 2m = 0.\;\;\;\left[ 1 \right]\]
Để \[d\] cắt \[\left[ P \right]\] tại điểm có hoành độ bằng \[ - 1 \Leftrightarrow x = - 1\] là nghiệm của phương trình \[\left[ 1 \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left[ { - 1} \right]^2} - \left[ { - 1} \right] + 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2m = - \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{3}{4}.\end{array}\]
Vậy \[m = - \dfrac{3}{4}.\]
Câu 3.
a] Giải phương trình [1] với m = 2.
Thay \[m = 2\] vào \[[1]\]: \[{x^2} + 4x + 2 + 1 = 0 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0\]
Ta có : \[a - b + c = 1 - 4 + 3 = 0\]
\[ \Rightarrow \] Phương trình có hai nghiệm \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - 3\end{array} \right.\]
Vậy, với \[m = 2\] thì phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = - 1,\,\,{x_2} = - 3\].
b] Tìm điều kiện của m để phương trình [1] có nghiệm.
\[\Delta ' = {2^2} - [m + 1] = 4 - m - 1 \]\[\,= 3 - m\]
Để phương trình [1] có nghiệm thì \[\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\].
c] Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình [1] có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn điều kiện \[\dfrac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \dfrac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} = - 3\].
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\]
Áp dụng định lý Vi-et, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\,\,\left[ * \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow {x_2} = - 4 - {x_1}\] . Thay vào \[\dfrac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \dfrac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} = - 3\], ta có:
\[\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} - 1}}{{2\left[ { - 4 - {x_1}} \right]}} - \dfrac{{ - 4 - {x_1} - 1}}{{2{x_1}}} = - 3,\,\,\left[ {{x_1} \ne 0,\,\,{x_1} \ne 4} \right]\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} - 1}}{{2[ - 4 - {x_1}]}} - \dfrac{{ - 5 - {x_1}}}{{2{x_1}}} = - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}\left[ {{x_1} - 1} \right] - \left[ { - 4 - {x_1}} \right]\left[ { - 5 - {x_1}} \right]}}{{2{x_1}[ - 4 - {x_1}]}} = - 3\\ \Leftrightarrow {x_1}\left[ {{x_1} - 1} \right] - \left[ {4 + {x_1}} \right]\left[ {5 + {x_1}} \right] = - 3.2{x_1}[ - 4 - {x_1}]\\ \Leftrightarrow x_1^2 - {x_1} - 20 - 4{x_1} - 5{x_1} - x_1^2 - 24{x_1} - 6x_1^2 = 0\\ \Leftrightarrow - 6x_1^2 - 34{x_1} - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 + 17{x_1} + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 + 15{x_1} + 2{x_1} + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_1}\left[ {{x_1} + 5} \right] + 2\left[ {{x_1} + 5} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{x_1} + 5} \right]\left[ {3{x_1} + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 5\\{x_1} = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\]
Với \[{x_1} = - 5 \] \[\Rightarrow {x_2} = - 4 - {x_1} = - 4 + 5 = 1\]
Thay vào [*] ta có \[ - 5 = m + 1 \Leftrightarrow m = - 6\,\,\left[ {tm} \right]\]
Với \[{x_1} = - \dfrac{2}{3} \Rightarrow {x_2} = - 4 - {x_1} = - \dfrac{{10}}{3}\]
Thay vào [*] ta có \[\dfrac{{20}}{9} = m + 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{11}}{9}\,\,\left[ {tm} \right]\]
Vậy \[m = - 6\] hoặc \[m = \dfrac{{11}}{9}\].
Câu 4.
a] Chứng minh tứ giác CHKB là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác BCHK có:
\[\widehat {HCB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[\widehat {HKB} = {90^0}\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow \widehat {HCB} + \widehat {HKB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\].
Vậy tứ giác \[CHKB\] là tứ giác nội tiếp [đpcm].
b] Chứng minh CA là phân giác của góc MCK.
- Tứ giác BCHK nội tiếp nên \[\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\] [góc nội tiếp cùng chắn cung \[HK\]].
- \[\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\] [góc nội tiếp cùng chắn cung MA của đường tròn tâm [O]].
Do đó \[\widehat {ACK} = \widehat {MBA} = \widehat {MCA}\] hay \[CA\] là tia phân giác của \[\widehat {MCK}\] [đpcm].
c] Chứng minh ME = 2CP.
Xét \[\Delta CMA\] và \[\Delta CEB\] có:
\[MA = EB\left[ {gt} \right]\]
\[\widehat {MAC} = \widehat {EBC}\] [cùng chắn cung MC của đường tròn [O]]
\[CA = CB\] [\[\Delta CAB\] vuông cân]
Do đó \[\Delta CMA = \Delta CEB\left[ {c.g.c} \right]\]
\[ \Rightarrow CM = CE\] [cạnh tương ứng] \[ \Rightarrow \Delta CME\] cân tại \[C\].
Lại có \[\widehat {CMB} = \widehat {CAB} = {45^0}\] [cùng chắn cung \[CB\]] nên \[\widehat {CEM} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MCE} = {90^0}\].
Vậy \[\Delta CME\] vuông cân tại \[C\].
Mà \[CP \bot ME\,\,\left[ {gt} \right]\] nên \[CP\] là đường cao và cũng là đường trung tuyến của \[\Delta CME\].
Do đó \[PM = PE = CP \Rightarrow ME = 2CP\] [đpcm].