Đề bài
Cho hàm số \[y = {x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2}\]. Khoảng cách \[d\] giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
A. \[d = 2\sqrt 5 \] B. \[d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\]
C. \[d = \sqrt 5 \] D. \[d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- Tính khoảng cách theo công thức \[AB = \sqrt {{{\left[ {{x_B} - {x_A}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_B} - {y_A}} \right]}^2}} \]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[y' = 3{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\]
\[y'' = 6x + 3\];\[y''\left[ 0 \right] = 3 > 0,y''\left[ { - 1} \right] = - 3 < 0\]
Do đó \[x = 0\] là điểm cực tiểu \[ \Rightarrow {y_{CT}} = 0 \Rightarrow O\left[ {0;0} \right]\] là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
\[x = - 1\] là điểm cực đại của hàm số \[ \Rightarrow {y_{CD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\] là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Vậy khoảng cách \[d = OA = \sqrt {{{\left[ { - 1} \right]}^2} + {{\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]}^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\].
Chọn D.