Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9

Một trong những phần quan trọng nhất chính là các hệ thức lượng trong tam giác vuông được áp dụng trong các bài tập Hình học. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu kỹ hơn về phần lý thuyết này và một số bài tập kèm theo. 

Bạn đang xem bài viết: Các hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có định lý sau:

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

b2  = a.b’ , c2  = a.c’

Xem thêm: [Toán 9]Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Một số hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông

Đối với đường cao trong tam giác ABC vuông tại A, ta cần ghi nhớ các định lý tiếp theo:

Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

 h2 = b’.c’

Định lý 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

b.c = a.h

Định lý 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao tương ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Lưu ý: Trong các bài tập tính toán, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không hi đơn vị được quy ước là cùng đơn vị đo.

Bài tập thực hành

Xem hình trên, tính x,y? 

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lưu ý:

•     Các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn luôn dương.
•   sin  < 1, cos  < 1
• Các tỉ số chỉ thay đổi khi độ lớn của góc nhọn đang xét thay đổi
• Nếu

thì vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng.

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Ta có định lý cần nhớ: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Ta có bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt

Lưu ý: Khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác bất kỳ, ta bỏ ký hiệu “^”. Thay vì viết cos Â, ta sẽ đổi thành cos A

Ta có các công thức dựa trên tỉ số lượng giác của một góc nhọn như sau:

 

Bài tập thực hành

 a. Cho tam giác MNP. Biết cosN=0,6. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc N. 

b. Cho tam giác PQE vuông tại P. Biết PQ=6, QE=10. Tính sin Q và cos Q.

Bảng lượng giác

Bảng lượng giác trong chương trình Hình học lớp 9 được lập ra dựa trên tính chất:

Ta có bảng VIII và bảng IX:

Bảng VIII

Bảng VIII được dùng để tính giá trị sin và cos của góc nhọn hoặc tìm góc khi biết sin và cos của góc đó.

Bảng IX

Bảng IX được dùng để tìm giá trị của tan các từ 0° đến 76° và cot các góc từ 14° đến 90°

Ngoài ra, Bảng X được dùng để tìm giá trị tan các góc 76° đến 89°59’ và cot các góc từ 1’ đến 14°

Cách dùng bảng lượng giác để làm bài tập

Sau đây sẽ là cách dùng bảng lượng giác  mà các bạn có thể áp dụng để làm bài tập nhé

a.  Tìm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho trước

• Bước 1: Tra số độ ở cột 1 đối với sin và tan [cột 13 đối với cos và cot]
• Bước 2: Tra số phút ở hàng 1 đối với sin và tan [hàng cuối đối với cos và cot]
• Bước 3: Lấy giá trị là giao hàng ghi số độ và cột ghi số phút.

b.  Tìm số đo của một góc nhọn có tỉ số lượng giác của góc đó

Để có được số đo góc cần tìm, ta cần tra giá trị của tỉ số lượng giác với bảng thích hợp sau đó dóng sang cột độ và hàng phút tương ứng với tỉ số.

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Ta có định lý:

Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:

1. Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề
2. Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cotan góc kề

Như vậy, ta có các hệ thức:

Bài tập thực hành:

Cho tam giác MNP vuông tại M, có NP=15. Tính độ dài MN, MP biết MN = MP.

 Tổng kết

Như vậy, bài viết vừa rồi đã điểm qua Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Hy vọng các bạn đã hiểu hơn về chương Hình học quan trọng này với sự tổng hợp kiến thức của Công Thức Toán Lý Hóa. Đừng quên hãy luyện tập thật nhiều để ghi nhớ nhé.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là kiến thức hình học nâng cao hơn liên quan đến công thức lượng giác. Với học sinh lớp 9, có lẽ phần kiến thức này sẽ là nền tảng cơ bản để có thể bước lên cấp 3. Hệ thức lượng giác bao gồm những phần kiến thức cơ bản nào? Ghi nhớ những gì để vận dụng tốt hơn? 

Nếu bạn đang muốn tìm tài liệu cho phần kiến thức này, thì ở bài viết bên dưới đây chúng tôi sẽ chia sẻ lượng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông đầy đủ nhất cho bạn, để có thể giúp bạn nhiều hơn trong học tập.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông phần kiến thức quan trọng lớp 9 bạn cần nắm

Cho ΔABC, góc A bằng 90 độ, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1] [AB]^2 = BH.BC hay c^2 = a.c’

[AC]^2 = CH.BC hay b^2 = a.b’

2] [AH]^2 = CH.BH hay h^2 = b’.c’

3] AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

5] [AB]^2 + [AC]^2 = [BC]^2 hay b^2 + c^2 = a^2 [Định lý Pytago]

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

1. a] Cho α,β là hai góc nhọn. 

Nếu α < β thì: sinα < sinβ; tanα < tanβ; cosα > cosβ; cotα > cotβ

1. b] sinα < tanα; cosα < cotα

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

– Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

– Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanB = b.cotC

Bạn có thể tham khảo bài học về Hệ thức lượng trong tam giác vuông tại đây:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Biết AH = 6 cm, HC – HB = 3,5 cm. Tính độ dài AB, AC.

Bài giải:

Ta có: [AH]^2 = BH.CH ⇒ BH.CH = 36

Mặt khác: CH – BH = 3.5 [1]

⇒ [CH – BH]^2 = 3.52 = 12.25

Ta có: [CH + BH]^2 = [CH – BH]^2 + 4BH.CH = 12.25 + 4.36 = 156.25

⇒ CH + BH = √156.25 = 12.5 [2]

Từ [1] và [2] ⇒ CH = 8; BH = 4.5

Ta có: AB^2 = BH.BC = 4.5.12.5 = 56.25 ⇒ AB = 7.5 [cm]

AC^2 = CH.BC = 8.12.5 = 100 ⇒ AB = 10 [cm]

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Đặt BC = a; CA = b; AB = c; AH = h; BD = x; CE = y. Chứng minh rằng:

1. a] [a^2].x = c^3; [a^2].y = b^3
2. b] a.x.y = h^3

Bài giải:

Xét ΔBDH và ΔBAC có:

 ⇒ a.x = c.c’

⇒ a.a.x = a.c.c’ hay [a^2].x = a.c.c’

Mặt khác a.c’ = c^2 nên [a^2].x = c.[c^2] ⇒ [a^2].x = c^3

Chứng minh tương tự, ta được [a^2].y = b^3

1. b] Ta có: [a^2].x.[a^2].y = c^3.b^3

Lại có: b.c = a.h nên a^4.xy = a^3.h^3

⇒ a.xy = h3

Bài tập 3. Góc nhọn

Cho tam giác ABC, Góc ABC lớn hơn 0 độ và nhỏ hơn 90 độ. Chứng minh diện tích tam giác ABC = 1/2.[AB.BC.SinB]

Bài giải:

Kẻ AH vuông góc với BC, H ∈ BC

Ta có: SABC = 1/2.AH.BC [1]

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

sinB = AH/AB ⇒ AH = AB.sinB [2]

Từ [1] và [2],ta có S = 1/2.[AB.BC.SinB]

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Biết AB : AC = 3 : 4  và AB + AC = 21 cm.

Tính các cạnh của tam giác ABC . 

Bài giải:

Theo giả thiết: AB : AC =  3 : 4 => suy ra AB/3 = AC/4 = [AB + AC]/[3 + 4]   

Do đó AB = 3 x 3 = 9 cm; AC = 3 x 4 = 12 cm. 

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có: [BC]^2 = [AB]^2 + [AC]^2 =      [9^2]. [12^2] = 225 cm , suy ra BC = 15 cm . 

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = x, AC = y, AH = 2, BC = 5. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài là?

Bài giải:

Ta có: x^2 + y^2 = 5^2 = 25 và x.y = 5.2 = 10 [*]

⇒ [x + y]^2 = 45 ⇒ x + y = 3√5 ⇒ x = 3√5 – y

Thay vào [*] ta được:

[3√5 – y]y = 10 ⇔ y = √5; y = 2√5

⇒ x = 2√5; x = √5

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác là √5.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = AC = y, AH = 5, BH = CH = x. Xác định x và y.

Bài giải:

Ta có: AH^2 = BH.CH ⇒ 5^2 = x^2 ⇒ x = 5

AB.AC = AH.BC ⇔ y^2 = 5.10 ⇔ y = 5√2

Bài 7: Cho tam giác ABC có góc B bằng 450, góc C bằng 300. Nếu AC = 8 thì AB bằng bao nhiêu?

Bài giải:

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

Xét tam giác AHC vuông tại H, góc ACH bằng 30 độ có:

AH = AC.sin⁡30 = 4 [cm]

Xét tam giác AHB vuông tại H, góc ABH bằng 45 độ có:

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại C có sin⁡A = 2/3 thì tan B bằng bao nhiêu?

Bài giải: Tam giác ABC vuông tại C có sin⁡A = 2/3

sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cos⁡A = √5/3

Do góc A cộng góc B bằng 900 nên

cosB = sinA = 2/3; sin⁡B = cos⁡A = √5/3

Bài 9: Cho tam giác ABC, góc A bằng 600, đường phân giác AD. Chứng minh rằng:

Ta có: SABC = SABD + SADC

Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD = BC. Chứng minh rằng sinA ≥ sinB.sinC.

Bài giải:

Vẽ AH vuông góc với BC

Gọi S là diện tích tam giác ABC

Xét các tam giác ABH và ACH vuông tại H, ta có:

AH = AB.sin⁡B = AC.sin⁡C

⇒ [AH]^2 = AB.AC.sin⁡B.sin⁡C

Ta có: AD ≥ AH [dấu bằng xảy ra khi D ≡ H]

Do đó: BC ≥ AH ⇔ BC.AH ≥ [AH]^2 = AB.AC.sin⁡B.sin⁡C [1]

Mặt khác, ta có: BC.AH = 2S = 2.1/2 AB.AC.sinA [2]

Từ [1] và [2] ⇒ AB.AC.sinA ≥ AB.AC.sin⁡B.sin⁡C

Hay sinA ≥ sin⁡B.sin⁡C

Dấu bằng xảy ra khi D trùng với H.

Hy vọng với nội dung lý thuyết về hệ thức lượng trong tam giác vuông mà lessonopoly  chúng tôi chia sẻ, bạn có thể ghi nhớ và vận dụng tốt hơn vào những dạng bài tập khác nhau. Kiến thức về toán học luôn tạo ra cho bạn một tư duy logic, một sự nhanh nhẹn, khơi gợi sự tò mò về những điều chưa biết đầy thú vị. Hãy bắt đầu với những kiến thức cơ bản như hệ thức lượng trong tam giác vuông bằng những bài tập ví dụ như ở trên bạn nhé.